Pour tout entier naturel n 1, on pose u n  

DEVOIR A LA MAISON N°12. TS3.

Pour le mercredi 4 février 2015.

DIFFICILE

Pour tout entier naturel n 1, on pose u n  

 

1 ¹

1²  

 

1 ¹

2²  

 

1 ¹

3² ...

 

 

1 ¹

n² et v n  

 

1 ¹

n u n . 1. En utilisant le fait que u _n 0 pour tout entier n non nul et en calculant u n 1

u n

, étudier le sens de variation de la suite ( ) ^{u n .}

2. Etudier le sens de variation de la suite ( ) ^{v n .}

3. En observant que pour tout entier n non nul, on a u _n v _n , montrer que la suite ( ) ^u n est majorée.

4. Montrer que la suite ( ) ^u n converge. On note L sa limite.

5. Montrer que ( ) ^v n converge vers L.

6. Montrer que pour tout n de *, on a u n L v n . 7. Etudier le sens de variation de la suite ( ^{v n u n} ) ^.

8. En utilisant un tableur, donner un encadrement de L d amplitude 10 ³ .

Remarques : Il n’est pas possible de calculer L avec exactitude. Cela signifie que l’on ne peut que déterminer des valeurs approchées de L.

Il est vraisemblable que L soit un nombre irrationnel.

Plus, il est très vraisemblable que l’on ne puisse pas exprimer L à l’aide des symboles usuels et que L soit un nombre transcendant (chercher la définition). La démonstration dépasse le programme de Terminale et n’est peut-être pas possible en l’état actuelle des connaissances mathématiques.

POUR PREPARER LE BAC.

I. Résoudre dans les équations suivantes. Donner les solutions sous forme algébrique.

1. (iz 1)² 1 2. z 1

z 1

3. 2 z (1 i) z 2 3 i 4. 2 iz

z 1 3

II. f est la fonction définie par f (x ) 2 1 e ^x . Construire le tableau de variation de f en faisant

apparaître les limites aux bornes de l ensemble de définition.

DEVOIR A LA MAISON N°12. TS3.

Pour le mercredi 4 février 2015.

DIFFICILE

Pour tout entier naturel n 1, on pose u n  

 

1 ¹

1²  

 

1 ¹

2²  

 

1 ¹

3² ...

 

 

1 ¹

n² et v n  

 

1 ¹

n u n . Dans toute la correction, n désigne un entier naturel non nul.

1. u n 1

u _n 1 1

( n 1)² > 1 donc u n 1 u n car u n 0. La suite ( ) ^{u n} est donc croissante.

2. v n 1 v n

 

 

1 ¹

n 1 u

n 1  

 

1 ¹

n u n

 

 

1 ¹

n 1 u

n  

 

1 ¹

(n 1) ²  

 

1 ¹

n u

n

u n

 

 

1 ¹

n 1 1 (n 1) ³

1

(n 1) ² 1 ¹ n = u n

n( n 1)² n n( n 1) ( n 1) ³ n( n 1) ³

u n

 

  1

n (n 1) ³ < 0 car u n 0. La suite ( ) ^{v n} est donc décroissante.

3. 1 1

n > 0 donc v n u n .

Pour tout n de *, on a u n v n v 0 donc la suite ( ) ^{u n} est majorée par v 0 .

4. La suite ( ) ^u n est croissante et majorée par v 0 . Elle converge donc vers un réel L.

5. v n  

 

1 ¹

n u

n

. lim

n

1 ¹

n 1 et lim

n

u n L donc lim

n

v n L : ( ) ^{v n} converge vers L.

6. D après le cours sur les suites, toute suite croissante est majorée par sa limite et toute suite décroissante est minorée par sa limite. Alors : pour tout n de *, on a u _n L v _n .

7. ( ^{v n 1 u n 1} ) ( ^{v n u n} ) ( ^{v n 1 v n} ) ( ^{u n 1 u n} ) ^.

La suite ( ) ^{v n} est décroissante donc v n 1 v n 0.

La suite ( ) ^u n est croissante donc u _{n 1} u _n 0 donc ( ^u n 1 u _n ) 0.

Alors ( ^{v n 1 v n} ) ( ^{u n 1 u n} ) 0. La suite ( ^{v n u n} ) est donc décroissante.

8. A l aide d un tableur, on calcule v n ; u n et v n u n pour n de 1 à 10 0000.

On a v n u n 10 ³ à partir de n 3676. On a alors 3,675 L 3,676

POUR PREPARER LE BAC.

I. Résoudre dans les équations suivantes :

1. ( iz 1)² 1 i z 1 i ou iz 1 i z i 1

i 1 i ou z −i −1

i −1 i

S 1 i−1 i } 2. z 1

z 1 z² 1 z et z ≠ 0 z² z 1 0 et z ≠ 0 = 3 donc l équation a deux solutions : z 1

1 i 3 2 et z 2

1 i 3

2 . Ce ne sont pas des VI.

S   

 

1 i 3 

2

1 i 3 2 .

3. On pose z x iy avec x et y des réels.

2 z (1 i ) z 2 3i 2(x i y) (1 i)(x iy ) 2 3i

 

 x y 2

3 y x 3

 

 ^x ₂ ³

y ¹

2 S   

 

3 

2

1

2 i

4. 2 iz

z 1 3 2iz 3 z 3 et z ≠ 0 (2 i 3)z 3 et z ≠ 0 z 3 2i 3

6

13 i 9 13 . S   

 

6 

13 i 9 13

II. f est la fonction définie par f (x ) 2 1 e ^x . Construire le tableau de variation de f en faisant apparaître les limites aux bornes de l ensemble de définition.

f est définie et dérivable sur (car pour tout réel x, 1 e ^x 1 0).

f (x) e ^x

2 1 e ^x < 0 donc f est décroissante sur . lim

x

e ^x et lim

X

X donc lim

x

1 e ^x + et lim

x

f (x ) lim

x

e ^x 0 donc lim

x

1 e ^x = 1 et lim

x

f (x ) 2−1 1.