DETERMINER LA PRIMALITE D UN ENTIER. Question préliminaire : démontrer que : « tout nombre entier naturel n

DETERMINER LA PRIMALITE D UN ENTIER.

Question préliminaire : démontrer que : « tout nombre entier naturel n, supérieur ou égal à 2, admet au moins un diviseur premier, son plus petit diviseur d dans autre que 1 » en envisageant les deux cas suivants :

 n est premier

 n n’est pas premier (on raisonnera par l’absurde en supposant que d le plus petit diviseur de n strictement supérieur à 1 n’est pas premier)

1. Soit n, k, p et q des entiers naturels, p premier.

a. Montrer que si n n’est pas divisible par p, alors n n’est pas divisible par kp. (on raisonnera par contraposée)

b. En déduire sans calcul que 197 n’est pas divisible par 28.

c. Montrer qu’il suffit alors de tester des diviseurs premiers pour évaluer la primalité de 197.

2. On suppose de plus dans cette question que n = pq avec p  q.

a. Montrer alors que p  n

b. En déduire que si 197 n’est pas premier, il possède alors un diviseur inférieur ou égal à 197 . 3.

a. Combien reste-t-il de divisions à faire pour savoir si 197 est premier ? b. 197 est-il premier ?

4. 317 et 737 sont-ils premiers ? 5. Le crible d’Eratosthène.

Eratosthène : vers 276 av JC – vers 194 av JC.

Considéré comme le premier géographe de l’Histoire, il est aussi astronome, philosophe et mathématicien.

Né à Cyrène, une ancienne ville grecque (actuellement en Lybie), il s’installe à Athènes, où il côtoie des disciples de Platon, puis est appelé à Alexandrie par le souverain Lagide Ptolémée III. Il devient le troisième conservateur de la bibliothèque d’Alexandrie.

Célèbre pour son crible, Eratosthène a également proposé le premier procédé connu de calcul du rayon de la terre. Son calcul était remarquablement exact. Il a abordé des domaines aussi variés que la géométrie, l’arithmétique, la philosophie, la musique.

Crible d’Eratosthène : Pour déterminer les nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier n :

 Écrire tous les entiers de 2 à n,

 Enlever (ou barrer) les multiples de 2 sauf 2,

 Repérer le plus petit nombre nom barré, c'est à dire 3, et barrer les multiples de 3 sauf 3, etc...

 Test d'arrêt : On s'arrête dès qu'on a atteint n .

Voici le tableau des 100 premiers entiers naturels non nuls.

1. Appliquez l’algorithme précédent pour n = 100.

2. Expliquer pourquoi les nombres non barrés sont les nombres premiers inférieurs à 100.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 6. Un autre algorithme.

a. Ecrire un algorithme demandant à l utilisateur d entrer un nombre entier N et affichant si N est premier ou non.

Aide : pour déterminer dans un programme à la calculatrice si un nombre D divise un nombre N, on vérifie si N/D est un entier, c'est-à-dire si Ent(N/ D) = N/D

b. Programmer cet algorithme sur votre calculatrice et déterminer si 21 457 est un nombre premier.

CORRECTION

6. Entrer N p prend la valeur 1

Pour i allant de 1 à Ent( N ) Si ent(N/i)=N/i

p prend la valeur 0 Fin Si

Fin Pour Si p = 1

Afficher "N est premier"

Sinon

Afficher "N n est pas premier"

Fin Si

12584 = 2 2 2 11 11 13

UNE INFINITE DE NOMBRES PREMIERS ?

Objectif : montrer qu il existe une infinité de nombres premiers (d après bac).

Cette démonstration a été faite par Euclide, au 3 ^ème siècle avant J.C.

1. On suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers notés p 1 , p 2 , ..., p n .

On considère le nombre E produit de tous les nombres premiers augmenté de 1 : E p 1 p 2 ... p n 1.

Démontrer que E est un entier supérieur ou égal à 2, et qu aucun des nombres p 1 , p 2 , ..., p n ne divise E.

2. En utilisant le fait que E admet un diviseur premier conclure.