= 0 et, pour tout entier naturel n, u

(1)

EXERCICE 1 :

On considère la suite (u

n

) définie par

u

0

= 0 et, pour tout entier naturel n, u

n+1

= u

n

+ 2n + 2.

1.

^Caluler

u

1 ^et

u

2^.

u

1

= u

0

+ 2 × 0 + 2 = u

0

+ 2 = 2 et u

2

= u

1

+ 2 × 1 + 2 = 2 + 4 = 6 2. On considère les deux algorithmes suivants :

Algorithme 1 Algorithme 2

Variables : nest un entier naturel Variables : nest un entier naturel

uest un réel uest un réel

Entrée : Saisir la valeur den Entrée : Saisir la valeur den

Traitement : uprend la valeur 0 Traitement : uprend la valeur 0

Pouriallant de 1 àn: Pouriallant de 0 àn−1 :

uprend la valeuru+ 2i+ 2 uprend la valeuru+ 2i+ 2

Fin Pour Fin Pour

Sortie : Afficheru Sortie : Afficheru

De es deuÆx algorithÆmes, lequel perÆmet d'affiher en sortie la valeur de

u

n^, ^la ^valeur ^de ^lenti^er

naturel

n

^étaÆnt ^entrée ^par lutili sateur?

Il suffit de « faire tourner l’algorithme à la main » et utiliser un tableau de valeurs prises par les variables :

n u i

2 0 1

2 4 2

2 10 fin On trouve 10 pour u

2

n u i

2 0 0

2 2 1

2 6 fin On trouve 6 pour u

2

C’est donc l’algorithme de droite qui convient, pusqu’il donne la valeur de u

₂

calculé à la question 1. En fait, cette question s’appuie sur une erreur faite par l’élève dans le calcul des termes d’une suite définie par récurrence. En effet, dans u

n+1

= u

n

+ 2n + 2, n doit être remplacé par le rang de u

n

et non celui du terme u

n+1

que l’on calcule.

3. (a)

^Quelle ^{on jeture} ^peut-ôn ^faire ^quaÆnt âu ^{sen s} ^de ^variatiôn ^de ^la ^suite

(u

n

)

^?

La suite semble croissante.

En effet, pour tout n ∈ N , u

n+1

− u

n

= 2n + 2 et 2n + 2 > 0 pour tout n ∈ N . Comme u

n+1

− u

n

> 0, la suite (u

n

)

n∈N

est croissante.

(b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n, u

n

= an

²

+ bn + c.

trouÆver les valeur s de

a, b

^et

c

^à ^laide ^des iÆnforÆmation s fourÆnies.

Encore un problème d’identification et en utilisant par exemple les trois premiers termes u

0

, u

1

et u

2

, on obtient :







u

0

= 0 = a × 0

²

+ b × 0 + c u

1

= 2 = a × 1

²

+ b × 1 + c u

₂

= 6 = a × 2

²

+ b × 2 + c

⇔





 c = 0 a + b = 2 4a + 2b = 6

⇔





 c = 0 a = 1 b = 1 On obtient donc la conjecture suivante : pour tout n ∈ N , u

n

= n

²

+ n

4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (v

n

) par : v

n

= u

n+1

− u

n

. (a)

^ExpriÆm^er

v

n ^en ^fontion ^de ^lentier ^naturel

n

^.

∀ n ∈ N , v

n

= u

n+1

− u

n

= u

n

+ 2n + 2 − u

n

= 2n + 2 (b) Pour tout entier naturel n, S

n

=

n

X

k=0

v

k

= v

0

+ v

1

+ · · · + v

n

.

Démontrer que, pour tout entier naturel

n, S

n

= (n + 1)(n + 2)

(2)

.

∀ n ∈ N , S

n

= v

0

+ v

1

+ . . . + v

k

+ . . . + v

n

= (2 × 0 + 2) + (2 × 1 + 2) + . . . + (2 × k + 2) + . . . + (2 × n + 2)

= 2(0 + 1 + . . . + k + . . . + n) + 2 + 2 + . . . + 2 + . . . + 2

(n+1)termeségauxà 2

= 2 × n(n + 1)

2 + 2(n + 1)

= n(n + 1) + 2(n + 1)

S

n

= (n + 1)(n + 2) (f actorisation) Si l’on utilise le symbole de sommation X

, cela donne :

∀ n ∈ N , S

n

=

n

X

k=0

v

k

=

n

X

k=0

(2 × k + 2)

= 2

n

X

k=0

k +

n

X

k=0

2 = 2 × n(n + 1)

2 + 2(n + 1)

= n(n + 1) + 2(n + 1)

S

n

= (n + 1)(n + 2) (f actorisation)

(c)

^Démontr^er ^que, ^pour ^tout ^entier ^naturel

n, S

n

= u

n+1

− u

0^, ^{pui s} ^expriÆmer

u

n ^en ^fontion ^de

n

^.

∀ n ∈ N , S

n

= v

0

+ v

1

+ . . . + v

k

+ . . . + v

n

= (u

1

− u

0

) + (u

2

− u

1

) + . . . + (u

k+1

− u

k

) + . . . + (u

n+1

− u

n

)

= u

n+1

− u

0

(somme ”télescopique”)

On a donc, grâce aux questions précédentes, pour tout n, S

n

= u

n+1

− 0 = (n + 1)(n + 2)

⇔ u

n+1

= (n + 1)(n + 1 + 1), soit en remplaçant n + 1 par n :

∀ n ∈ N

^∗

, u

n

= n(n + 1) = n

²

+ n et u

0

= 0, la conjecture est démontrée pour tout n.

(3)

EXERCICE 2 :

1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C

₁

de la fonction f . Sur l’une d’entre elles, la courbe C

₂

de la fonction dérivée f

^′

est tracée convenablement. Laquelle ?

^Expliquer ^le ^hoiÆx ^effetué.

Si l’on note β ( − 1 < β < 0) la valeur en laquelle le minimum de f est réalisé, on peut dresser le tableau de variations de f ,

x Signe de f

^′

(x) Variations

de f

−∞ β + ∞

− 0 +

ts ts

f (β) f (β)

ts ts

• Dans la situation 3, si C

₂

est la courbe de f

^′

, on aurait par exemple f

^′

( − 2) > 0. Or le tableau de variations précédent est en contradiction avec cette valeur puisque f

^′

(x) < 0 sur l’intervalle ] − ∞ ; β [ (β > − 1 > − 2). on élimine donc la situation 3.

• Dans la situation 2, si C

₂

est la courbe de f

^′

, on aurait par exemple f

^′

( − 1) = 0. Or le tableau de variations précédent est encore en contradiction avec cette valeur puisque f

^′

(x) < 0 sur l’intervalle ] − ∞ ; β[ (β > − 1).

on élimine donc la situation 2.

• Par élimination, c’est dans la situation 1 que f et f

^′

sont représentées. En particulier, f

^′

(0) = 1.

Situation 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3

−1

−2

−3

C

₁

C

₂

O

Situation 2 (C₂ est une droite)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2 1 2 3 4

−1

−2

−3

C

₁

C

₂

O

Situation 1

12 3 45 6 78 9

−1

−2 1 2 3 4

−1

−2

−3

C

₁

C

₂

O

b

A

∆

2.

^Équati^on ^réduite ^de ^la ^droite

∆

^taÆngente ^à ^la ^ourbe

C

₁ en

A

^(0,2).

∆ : y = f

^′

(0)(x − 0) + f (0) ⇔ ∆ : y = x + 2

(4)

EXERCICE 3 :

On considère la suite numérique (u

n

) définie sur N par :

u

0

= 2 et pour tout entier naturel n, u

n+1

= − 1

2 u

²_n

+ 3u

n

− 3 2 . Partie A : Conjecture

1.

^{Valeur s} ^exates, ^donÆnées ^en ^{fration s} irrédutibles, de

u

1 ^et

u

2

.

• u

1

= − 1

2 u

²₀

+ 3u

0

− 3 2 = 5

2 • u

₂

= − 1

2 u

²₁

+ 3u

1

− 3 2 = 23

8

2.

^DonÆner ^uÆne ^valeur ^{a p proh}^ée ^à

10

⁻⁵ ^près ^des ^terÆmes

u

3 ^et

u

4

.

u

3

≈ 2, 99219 et u

4

≈ 2, 99997 arrondies à 10

⁻⁵

près

3. (u

n

)

_n>0

semble croissante et tendre vers 3 lorsque n tend vers + ∞ . Partie B : Validation des conjectures

1.

^Pôur ^tout êntiêr ^naturel

n, v

n+1

= − 1 2 v

²_n^?

v

n+1

= u

n+1

− 3

= − 1

2 u

²_n

+ 3u

n

− 3 2 − 3

= − 1

2 u

²_n

+ 3u

n

− 9 2

= − 1

2 (u

²n

− 6u

n

+ 9)

= − 1

2 (u

n

− 3)

²

= − 1 2 v

_n²

2.

^Pôur ^tout êntiêr ^naturel

n, − 1 6 v

n

6 0

^.

(a)

^Démontrêr ^que, ^pour ^tout êntiêr ^naturel

n, v

n+1

− v

n

= − v

n

1 2 v

n

+ 1

Pour tout entier naturel n, v

n+1

− v

n

= − 1

2 v

_n²

− v

n

= − v

n

1 2 v

n

+ 1

(b)

^En ^déduire ^le ^s^{en s} ^de ^variation ^de ^la ^suite

(v

n

) .

∀ n ∈ N , − 1 6 v

n

6 0

− 1 2 6 1

2 v

n

6 0

− 1

2 + 1 6 1

2 v

n

+ 1 6 1 1

2 6 1

2 v

n

+ 1 6 1

∀ n ∈ N , v

n

∈ [ − 1; 0] donc v

n

est négatif et donc − v

n

> 0 et − v

n

1 2 v

n

+ 1

> 0 ⇔ v

n+1

− v

n

> 0, ce qui prouve que la suite (v

n

)

n>0

est croissante.

3. On note ℓ la limite de la suite (v

n

). On admet que ℓ appartient à l’intervalle [ − 1 ; 0] et vérifie l’égalité : ℓ = − 1 2 ℓ

²

.

DéterÆmiÆner la valeur de

ℓ

^.

ℓ = − 1

2 ℓ

²

⇔ ℓ + 1

2 ℓ

²

= 0 ⇔ ℓ

1 + 1 2 ℓ

⇔ ℓ = 0 ou ℓ = − 2. Comme la valeur ℓ = − 2 n’est pas dans l’intervalle

[ − 1, 0] donc ℓ = 0.

(5)

EXERCICE 4 : 101 p 129 (Odyssée 1S - Hatier)

a. h est la hauteur de la boîte et x la longueur d’un côté de la base carrée de l’emballage.

h × x

²

= 1000 ⇔ h = 1000 x

²

b. Le patron est un rectangle de dimensions 4x par h + 2 × x

2 + 2 × 0, 8 = h + x + 1, 6. En utilisant la question précédente, on peut écrire h + x + 1, 6 = 1000

x

²

+ x + 1, 6.

Ainsi, l’aire du patron est égale à 4x × 1000

x

²

+ x + 1, 6

= 4000

x + 4x

²

+ 6, 4x

c. La fonction f n’est autre que la fonction qui exprime l’aire du patron précédemment calculée en fonction de x.

f est une somme de fonctions dérivables sur ]0; + ∞ [ donc f est dérivable sur ]0; + ∞ [.

f = 4u + 32

5 v + 4000w donc f

^′

= 4u

^′

+ 32

5 v

^′

+ 4000w

^′

avec u : x 7→ x

²

, v : x 7→ x et w : x 7→ 1

x dont les dérivées sont u

^′

: x 7→ 2x, v

^′

: x 7→ 1 et w

^′

: x 7→ − 1

x

²

Ainsi, ∀ x > 0, f

^′

(x) = 8x + 32

5 − 4000

x

²

mais 8x + 32

5 − 4000

x

²

= 40x

³

5x

²

+ 32x

²

5x

²

− 20000

5x

²

= 8(5x

³

+ 4x

²

− 2500) 5x

²

et donc ∀ x > 0, f

^′

(x) = 8g(x)

5x

²

avec g(x) = 5x

³

+ 4x

²

− 2500. Comme ∀ x > 0, 8 > 0, 5x

²

> 0, f

^′

(x) a le même signe que g(x).

d. L’objectif de la question est l’étude du signe de g(x) pour pouvoir trouver le signe de f

^′

(x) et par conséquent, les variations de f .

g est une fonction polynôme donc dérivable sur ]0; + ∞ [ et ∀ x > 0,

g

^′

(x) = 15x

²

+ 8x = x(15x + 8). x > 0, par conséquent 15x + 8 > 0 donc g

^′

(x) > 0 (produit).

x Signe de g

^′

(x) Variations

de g

0 + ∞

+

− 2500

ts ts α ≈ 7, 6

0

10 2900

L’existence de α est liée au fait que f (0) = − 2500 < 0 et que, par exemple f (10) = 2900 > 0 (la courbe de g traverse donc l’axe des abscisses ; on ne parlera pas encore d’une propriété nécessaire qui est la continuité de la fonction g sur R (TS))

Il reste maintenant à utiliser ce résultat intermédiaire pour connaître le signe de f

^′

(x) sur ]0; + ∞ [.

On résume cela dans un tableau de variations (le signe de f

^′

(x) est celui de g(x) cf.Q.c), x

Signe de f

^′

(x) Variations

de f

0 α + ∞

− 0 +

ts

f (α) f (α)

+ ∞ + ∞

e. f (α) ≈ f (7, 6) représente le minimum de la fonction f sur ]0; + ∞ [ (en effet la dérivée de f s’annule en changeant

de signe et f est successivement décroissante puis croissante). Comme f représente l’aire du carton nécessaire à

la réalisation de la boîte, le choix de x = α ( ≈ 7, 6) comme côté de la base carrée permet de minimiser la quantité

de carton à utiliser. On peut répondre oui à la quesiton posée concernant les dimensions du modèle « jus de

fruit ».