EXERCICE 1 :
On considère la suite (u
n) définie par
u
0= 0 et, pour tout entier naturel n, u
n+1= u
n+ 2n + 2.
1.
Caluleru
1 etu
2.u
1= u
0+ 2 × 0 + 2 = u
0+ 2 = 2 et u
2= u
1+ 2 × 1 + 2 = 2 + 4 = 6 2. On considère les deux algorithmes suivants :
Algorithme 1 Algorithme 2
Variables : nest un entier naturel Variables : nest un entier naturel
uest un réel uest un réel
Entrée : Saisir la valeur den Entrée : Saisir la valeur den
Traitement : uprend la valeur 0 Traitement : uprend la valeur 0
Pouriallant de 1 àn: Pouriallant de 0 àn−1 :
uprend la valeuru+ 2i+ 2 uprend la valeuru+ 2i+ 2
Fin Pour Fin Pour
Sortie : Afficheru Sortie : Afficheru
De es deuÆx algorithÆmes, lequel perÆmet d'affiher en sortie la valeur de
u
n, la valeur de lentiernaturel
n
étaÆnt entrée par lutili sateur?Il suffit de « faire tourner l’algorithme à la main » et utiliser un tableau de valeurs prises par les variables :
n u i
2 0 1
2 4 2
2 10 fin On trouve 10 pour u
2n u i
2 0 0
2 2 1
2 6 fin On trouve 6 pour u
2C’est donc l’algorithme de droite qui convient, pusqu’il donne la valeur de u
2calculé à la question 1. En fait, cette question s’appuie sur une erreur faite par l’élève dans le calcul des termes d’une suite définie par récurrence. En effet, dans u
n+1= u
n+ 2n + 2, n doit être remplacé par le rang de u
net non celui du terme u
n+1que l’on calcule.
3. (a)
Quelle on jeture peut-on faire quaÆnt au sen s de variation de la suite(u
n)
?La suite semble croissante.
En effet, pour tout n ∈ N , u
n+1− u
n= 2n + 2 et 2n + 2 > 0 pour tout n ∈ N . Comme u
n+1− u
n> 0, la suite (u
n)
n∈Nest croissante.
(b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n, u
n= an
2+ bn + c.
trouÆver les valeur s de
a, b
etc
à laide des iÆnforÆmation s fourÆnies.Encore un problème d’identification et en utilisant par exemple les trois premiers termes u
0, u
1et u
2, on obtient :
u
0= 0 = a × 0
2+ b × 0 + c u
1= 2 = a × 1
2+ b × 1 + c u
2= 6 = a × 2
2+ b × 2 + c
⇔
c = 0 a + b = 2 4a + 2b = 6
⇔
c = 0 a = 1 b = 1 On obtient donc la conjecture suivante : pour tout n ∈ N , u
n= n
2+ n
4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (v
n) par : v
n= u
n+1− u
n. (a)
ExpriÆmerv
n en fontion de lentier natureln
.∀ n ∈ N , v
n= u
n+1− u
n= u
n+ 2n + 2 − u
n= 2n + 2 (b) Pour tout entier naturel n, S
n=
n
X
k=0
v
k= v
0+ v
1+ · · · + v
n.
Démontrer que, pour tout entier naturel
n, S
n= (n + 1)(n + 2)
.
∀ n ∈ N , S
n= v
0+ v
1+ . . . + v
k+ . . . + v
n= (2 × 0 + 2) + (2 × 1 + 2) + . . . + (2 × k + 2) + . . . + (2 × n + 2)
= 2(0 + 1 + . . . + k + . . . + n) + 2 + 2 + . . . + 2 + . . . + 2
(n+1)termeségauxà 2
= 2 × n(n + 1)
2 + 2(n + 1)
= n(n + 1) + 2(n + 1)
S
n= (n + 1)(n + 2) (f actorisation) Si l’on utilise le symbole de sommation X
, cela donne :
∀ n ∈ N , S
n=
n
X
k=0
v
k=
n
X
k=0
(2 × k + 2)
= 2
n
X
k=0
k +
n
X
k=0
2
= 2 × n(n + 1)
2 + 2(n + 1)
= n(n + 1) + 2(n + 1)
S
n= (n + 1)(n + 2) (f actorisation)
(c)
Démontrer que, pour tout entier natureln, S
n= u
n+1− u
0, pui s expriÆmeru
n en fontion den
.∀ n ∈ N , S
n= v
0+ v
1+ . . . + v
k+ . . . + v
n= (u
1− u
0) + (u
2− u
1) + . . . + (u
k+1− u
k) + . . . + (u
n+1− u
n)
= u
n+1− u
0(somme ”télescopique”)
On a donc, grâce aux questions précédentes, pour tout n, S
n= u
n+1− 0 = (n + 1)(n + 2)
⇔ u
n+1= (n + 1)(n + 1 + 1), soit en remplaçant n + 1 par n :
∀ n ∈ N
∗, u
n= n(n + 1) = n
2+ n et u
0= 0, la conjecture est démontrée pour tout n.
EXERCICE 2 :
1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C
1de la fonction f . Sur l’une d’entre elles, la courbe C
2de la fonction dérivée f
′est tracée convenablement. Laquelle ?
Expliquer le hoiÆx effetué.Si l’on note β ( − 1 < β < 0) la valeur en laquelle le minimum de f est réalisé, on peut dresser le tableau de variations de f ,
x Signe de f
′(x) Variations
de f
−∞ β + ∞
− 0 +
ts ts
f (β) f (β)
ts ts
• Dans la situation 3, si C
2est la courbe de f
′, on aurait par exemple f
′( − 2) > 0. Or le tableau de variations précédent est en contradiction avec cette valeur puisque f
′(x) < 0 sur l’intervalle ] − ∞ ; β [ (β > − 1 > − 2). on élimine donc la situation 3.
• Dans la situation 2, si C
2est la courbe de f
′, on aurait par exemple f
′( − 1) = 0. Or le tableau de variations précédent est encore en contradic- tion avec cette valeur puisque f
′(x) < 0 sur l’intervalle ] − ∞ ; β[ (β > − 1).
on élimine donc la situation 2.
• Par élimination, c’est dans la situation 1 que f et f
′sont représentées. En particulier, f
′(0) = 1.
Situation 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3
−1
−2
−3
C
1C
2O
Situation 2 (C2 est une droite)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2 1 2 3 4
−1
−2
−3
C
1C
2O
Situation 1
12 3 45 6 78 9
−1
−2 1 2 3 4
−1
−2
−3
C
1C
2O
b
A
∆
2.
Équation réduite de la droite∆
taÆngente à la ourbeC
1 enA
(0,2).∆ : y = f
′(0)(x − 0) + f (0) ⇔ ∆ : y = x + 2
EXERCICE 3 :
On considère la suite numérique (u
n) définie sur N par :
u
0= 2 et pour tout entier naturel n, u
n+1= − 1
2 u
2n+ 3u
n− 3 2 . Partie A : Conjecture
1.
Valeur s exates, donÆnées en fration s irrédutibles, deu
1 etu
2.
• u
1= − 1
2 u
20+ 3u
0− 3 2 = 5
2
• u
2= − 1
2 u
21+ 3u
1− 3 2 = 23
8
2.
DonÆner uÆne valeur a p prohée à10
−5 près des terÆmesu
3 etu
4.
u
3≈ 2, 99219 et u
4≈ 2, 99997 arrondies à 10
−5près
3. (u
n)
n>0semble croissante et tendre vers 3 lorsque n tend vers + ∞ . Partie B : Validation des conjectures
1.
Pour tout entier natureln, v
n+1= − 1 2 v
2n?v
n+1= u
n+1− 3
= − 1
2 u
2n+ 3u
n− 3 2 − 3
= − 1
2 u
2n+ 3u
n− 9 2
= − 1
2 (u
2n− 6u
n+ 9)
= − 1
2 (u
n− 3)
2= − 1 2 v
n22.
Pour tout entier natureln, − 1 6 v
n6 0
.(a)
Démontrer que, pour tout entier natureln, v
n+1− v
n= − v
n1 2 v
n+ 1
Pour tout entier naturel n, v
n+1− v
n= − 1
2 v
n2− v
n= − v
n1 2 v
n+ 1
(b)
En déduire le sen s de variation de la suite(v
n) .
∀ n ∈ N , − 1 6 v
n6 0
− 1 2 6 1
2 v
n6 0
− 1
2 + 1 6 1
2 v
n+ 1 6 1 1
2 6 1
2 v
n+ 1 6 1
∀ n ∈ N , v
n∈ [ − 1; 0] donc v
nest négatif et donc − v
n> 0 et − v
n1 2 v
n+ 1
> 0 ⇔ v
n+1− v
n> 0, ce qui prouve que la suite (v
n)
n>0est croissante.
3. On note ℓ la limite de la suite (v
n). On admet que ℓ appartient à l’intervalle [ − 1 ; 0] et vérifie l’égalité : ℓ = − 1 2 ℓ
2.
DéterÆmiÆner la valeur de