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= 0 et, pour tout entier naturel n, u

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

EXERCICE 1 :

On considère la suite (u

n

) définie par

u

0

= 0 et, pour tout entier naturel n, u

n+1

= u

n

+ 2n + 2.

1.

Caluler

u

1 et

u

2.

u

1

= u

0

+ 2 × 0 + 2 = u

0

+ 2 = 2 et u

2

= u

1

+ 2 × 1 + 2 = 2 + 4 = 6 2. On considère les deux algorithmes suivants :

Algorithme 1 Algorithme 2

Variables : nest un entier naturel Variables : nest un entier naturel

uest un réel uest un réel

Entrée : Saisir la valeur den Entrée : Saisir la valeur den

Traitement : uprend la valeur 0 Traitement : uprend la valeur 0

Pouriallant de 1 àn: Pouriallant de 0 àn1 :

uprend la valeuru+ 2i+ 2 uprend la valeuru+ 2i+ 2

Fin Pour Fin Pour

Sortie : Afficheru Sortie : Afficheru

De es deuÆx algorithÆmes, lequel perÆmet d'affiher en sortie la valeur de

u

n, la valeur de lentier

naturel

n

étaÆnt entrée par lutili sateur?

Il suffit de « faire tourner l’algorithme à la main » et utiliser un tableau de valeurs prises par les variables :

n u i

2 0 1

2 4 2

2 10 fin On trouve 10 pour u

2

n u i

2 0 0

2 2 1

2 6 fin On trouve 6 pour u

2

C’est donc l’algorithme de droite qui convient, pusqu’il donne la valeur de u

2

calculé à la question 1. En fait, cette question s’appuie sur une erreur faite par l’élève dans le calcul des termes d’une suite définie par récurrence. En effet, dans u

n+1

= u

n

+ 2n + 2, n doit être remplacé par le rang de u

n

et non celui du terme u

n+1

que l’on calcule.

3. (a)

Quelle on jeture peut-on faire quaÆnt au sen s de variation de la suite

(u

n

)

?

La suite semble croissante.

En effet, pour tout n ∈ N , u

n+1

u

n

= 2n + 2 et 2n + 2 > 0 pour tout n ∈ N . Comme u

n+1

u

n

> 0, la suite (u

n

)

n∈N

est croissante.

(b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n, u

n

= an

2

+ bn + c.

trouÆver les valeur s de

a, b

et

c

à laide des iÆnforÆmation s fourÆnies.

Encore un problème d’identification et en utilisant par exemple les trois premiers termes u

0

, u

1

et u

2

, on obtient :

u

0

= 0 = a × 0

2

+ b × 0 + c u

1

= 2 = a × 1

2

+ b × 1 + c u

2

= 6 = a × 2

2

+ b × 2 + c

c = 0 a + b = 2 4a + 2b = 6

c = 0 a = 1 b = 1 On obtient donc la conjecture suivante : pour tout n ∈ N , u

n

= n

2

+ n

4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (v

n

) par : v

n

= u

n+1

u

n

. (a)

ExpriÆmer

v

n en fontion de lentier naturel

n

.

n ∈ N , v

n

= u

n+1

u

n

= u

n

+ 2n + 2 − u

n

= 2n + 2 (b) Pour tout entier naturel n, S

n

=

n

X

k=0

v

k

= v

0

+ v

1

+ · · · + v

n

.

Démontrer que, pour tout entier naturel

n, S

n

= (n + 1)(n + 2)

(2)

.

n ∈ N , S

n

= v

0

+ v

1

+ . . . + v

k

+ . . . + v

n

= (2 × 0 + 2) + (2 × 1 + 2) + . . . + (2 × k + 2) + . . . + (2 × n + 2)

= 2(0 + 1 + . . . + k + . . . + n) + 2 + 2 + . . . + 2 + . . . + 2

(n+1)termeségauxà 2

= 2 × n(n + 1)

2 + 2(n + 1)

= n(n + 1) + 2(n + 1)

S

n

= (n + 1)(n + 2) (f actorisation) Si l’on utilise le symbole de sommation X

, cela donne :

n ∈ N , S

n

=

n

X

k=0

v

k

=

n

X

k=0

(2 × k + 2)

= 2

n

X

k=0

k +

n

X

k=0

2

= 2 × n(n + 1)

2 + 2(n + 1)

= n(n + 1) + 2(n + 1)

S

n

= (n + 1)(n + 2) (f actorisation)

(c)

Démontrer que, pour tout entier naturel

n, S

n

= u

n+1

u

0, pui s expriÆmer

u

n en fontion de

n

.

n ∈ N , S

n

= v

0

+ v

1

+ . . . + v

k

+ . . . + v

n

= (u

1

u

0

) + (u

2

u

1

) + . . . + (u

k+1

u

k

) + . . . + (u

n+1

u

n

)

= u

n+1

u

0

(somme ”télescopique”)

On a donc, grâce aux questions précédentes, pour tout n, S

n

= u

n+1

− 0 = (n + 1)(n + 2)

u

n+1

= (n + 1)(n + 1 + 1), soit en remplaçant n + 1 par n :

n ∈ N

, u

n

= n(n + 1) = n

2

+ n et u

0

= 0, la conjecture est démontrée pour tout n.

(3)

EXERCICE 2 :

1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C

1

de la fonction f . Sur l’une d’entre elles, la courbe C

2

de la fonction dérivée f

est tracée convenablement. Laquelle ?

Expliquer le hoiÆx effetué.

Si l’on note β ( − 1 < β < 0) la valeur en laquelle le minimum de f est réalisé, on peut dresser le tableau de variations de f ,

x Signe de f

(x) Variations

de f

−∞ β + ∞

− 0 +

ts ts

f (β) f (β)

ts ts

• Dans la situation 3, si C

2

est la courbe de f

, on aurait par exemple f

( − 2) > 0. Or le tableau de variations précédent est en contradiction avec cette valeur puisque f

(x) < 0 sur l’intervalle ] − ∞ ; β [ (β > − 1 > − 2). on élimine donc la situation 3.

• Dans la situation 2, si C

2

est la courbe de f

, on aurait par exemple f

( − 1) = 0. Or le tableau de variations précédent est encore en contradic- tion avec cette valeur puisque f

(x) < 0 sur l’intervalle ] − ∞ ; β[ (β > − 1).

on élimine donc la situation 2.

• Par élimination, c’est dans la situation 1 que f et f

sont représentées. En particulier, f

(0) = 1.

Situation 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3

−1

−2

−3

C

1

C

2

O

Situation 2 (C2 est une droite)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2 1 2 3 4

−1

−2

−3

C

1

C

2

O

Situation 1

12 3 45 6 78 9

−1

2 1 2 3 4

1

2

3

C

1

C

2

O

b

A

2.

Équation réduite de la droite

taÆngente à la ourbe

C

1 en

A

(0,2).

∆ : y = f

(0)(x − 0) + f (0) ⇔ ∆ : y = x + 2

(4)

EXERCICE 3 :

On considère la suite numérique (u

n

) définie sur N par :

u

0

= 2 et pour tout entier naturel n, u

n+1

= − 1

2 u

2n

+ 3u

n

− 3 2 . Partie A : Conjecture

1.

Valeur s exates, donÆnées en fration s irrédutibles, de

u

1 et

u

2

.

u

1

= − 1

2 u

20

+ 3u

0

− 3 2 = 5

2

u

2

= − 1

2 u

21

+ 3u

1

− 3 2 = 23

8

2.

DonÆner uÆne valeur a p prohée à

10

−5 près des terÆmes

u

3 et

u

4

.

u

3

≈ 2, 99219 et u

4

≈ 2, 99997 arrondies à 10

5

près

3. (u

n

)

n>0

semble croissante et tendre vers 3 lorsque n tend vers + ∞ . Partie B : Validation des conjectures

1.

Pour tout entier naturel

n, v

n+1

= − 1 2 v

2n?

v

n+1

= u

n+1

− 3

= − 1

2 u

2n

+ 3u

n

− 3 2 − 3

= − 1

2 u

2n

+ 3u

n

− 9 2

= − 1

2 (u

2n

− 6u

n

+ 9)

= − 1

2 (u

n

− 3)

2

= − 1 2 v

n2

2.

Pour tout entier naturel

n, − 1 6 v

n

6 0

.

(a)

Démontrer que, pour tout entier naturel

n, v

n+1

v

n

= − v

n

1 2 v

n

+ 1

Pour tout entier naturel n, v

n+1

v

n

= − 1

2 v

n2

v

n

= − v

n

1 2 v

n

+ 1

(b)

En déduire le sen s de variation de la suite

(v

n

) .

n ∈ N , − 1 6 v

n

6 0

− 1 2 6 1

2 v

n

6 0

− 1

2 + 1 6 1

2 v

n

+ 1 6 1 1

2 6 1

2 v

n

+ 1 6 1

n ∈ N , v

n

∈ [ − 1; 0] donc v

n

est négatif et donc − v

n

> 0 et − v

n

1 2 v

n

+ 1

> 0 ⇔ v

n+1

v

n

> 0, ce qui prouve que la suite (v

n

)

n>0

est croissante.

3. On note la limite de la suite (v

n

). On admet que appartient à l’intervalle [ − 1 ; 0] et vérifie l’égalité : = − 1 2

2

.

DéterÆmiÆner la valeur de

.

= − 1

2

2

+ 1

2

2

= 0 ⇔

1 + 1 2

= 0 ou = − 2. Comme la valeur = − 2 n’est pas dans l’intervalle

[ − 1, 0] donc = 0.

(5)

EXERCICE 4 : 101 p 129 (Odyssée 1S - Hatier)

a. h est la hauteur de la boîte et x la longueur d’un côté de la base carrée de l’emballage.

h × x

2

= 1000 ⇔ h = 1000 x

2

b. Le patron est un rectangle de dimensions 4x par h + 2 × x

2 + 2 × 0, 8 = h + x + 1, 6. En utilisant la question précédente, on peut écrire h + x + 1, 6 = 1000

x

2

+ x + 1, 6.

Ainsi, l’aire du patron est égale à 4x × 1000

x

2

+ x + 1, 6

= 4000

x + 4x

2

+ 6, 4x

c. La fonction f n’est autre que la fonction qui exprime l’aire du patron précédemment calculée en fonction de x.

f est une somme de fonctions dérivables sur ]0; + ∞ [ donc f est dérivable sur ]0; + ∞ [.

f = 4u + 32

5 v + 4000w donc f

= 4u

+ 32

5 v

+ 4000w

avec u : x 7→ x

2

, v : x 7→ x et w : x 7→ 1

x dont les dérivées sont u

: x 7→ 2x, v

: x 7→ 1 et w

: x 7→ − 1

x

2

Ainsi, ∀ x > 0, f

(x) = 8x + 32

5 − 4000

x

2

mais 8x + 32

5 − 4000

x

2

= 40x

3

5x

2

+ 32x

2

5x

2

− 20000

5x

2

= 8(5x

3

+ 4x

2

− 2500) 5x

2

et donc ∀ x > 0, f

(x) = 8g(x)

5x

2

avec g(x) = 5x

3

+ 4x

2

− 2500. Comme ∀ x > 0, 8 > 0, 5x

2

> 0, f

(x) a le même signe que g(x).

d. L’objectif de la question est l’étude du signe de g(x) pour pouvoir trouver le signe de f

(x) et par conséquent, les variations de f .

g est une fonction polynôme donc dérivable sur ]0; + ∞ [ et ∀ x > 0,

g

(x) = 15x

2

+ 8x = x(15x + 8). x > 0, par conséquent 15x + 8 > 0 donc g

(x) > 0 (produit).

x Signe de g

(x) Variations

de g

0 + ∞

+

− 2500

− 2500

ts ts α ≈ 7, 6

0

10

2900

L’existence de α est liée au fait que f (0) = − 2500 < 0 et que, par exemple f (10) = 2900 > 0 (la courbe de g traverse donc l’axe des abscisses ; on ne parlera pas encore d’une propriété nécessaire qui est la continuité de la fonction g sur R (TS))

Il reste maintenant à utiliser ce résultat intermédiaire pour connaître le signe de f

(x) sur ]0; + ∞ [.

On résume cela dans un tableau de variations (le signe de f

(x) est celui de g(x) cf.Q.c), x

Signe de f

(x) Variations

de f

0 α + ∞

− 0 +

ts

f (α) f (α)

+ ∞ + ∞

e. f (α) ≈ f (7, 6) représente le minimum de la fonction f sur ]0; + ∞ [ (en effet la dérivée de f s’annule en changeant

de signe et f est successivement décroissante puis croissante). Comme f représente l’aire du carton nécessaire à

la réalisation de la boîte, le choix de x = α ( ≈ 7, 6) comme côté de la base carrée permet de minimiser la quantité

de carton à utiliser. On peut répondre oui à la quesiton posée concernant les dimensions du modèle « jus de

fruit ».

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