1 u est la suite définie pour tout entier naturel n par u n = 2n + 1

S’entraîner

Activités mentales

1 u est la suite définie pour tout entier naturel n par u n = 2n + 1

n + 1 . Calculer u ₄ .

2 u est la suite définie pour tout entier naturel n non nul par u n = √

n − 1.

Calculer les trois premiers termes de la suite.

3 u est la suite définie pour tout entier naturel n par u _n = (n − 5) ² + 2. Calculer u ₃ .

4 u est la suite définie pour tout entier naturel n par ( u ₀ = 3

u _{n + 1} = 2u n − 4 . Calculer u ₁ puis u ₂ .

5 u est la suite définie pour tout entier naturel n par





 u ₀ = 3 u _n + 1 = 1

u n + 1 . Calculer u ₁ , u ₂ et u ₃ .

6 u est la suite définie pour tout entier naturel n par ( u ₀ = 2

u _{n + 1} = (n + 1)u n

. 1) Calculer u ₁ puis u ₂ .

2) Écrire u _n en fonction de u _{n − 1} .

7 u est la suite définie pour tout entier naturel n non nul par u _n = 1 + 2 + ... + n.

Calculer les quatre premiers termes de cette suite.

8 u est la suite définie pour tout entier naturel n non nul par u n = 1 + 1

2 + 1 2 ² ... + 1

2 ⁿ .

Calculer les quatre premiers termes de cette suite.

9 Calculer.

1) ∑ ³

k = 0 k ² 2) ∑ ³

k = 0 ( − 1) ^k 3) ∑ ²

k = 0

k k + 1 4) ∑ ²

k = 0 (2k + 1) × ( − 1) ^k 10 Compléter.

1) 3 + 4 + 5 + ... + 9 = ∑ ^...

k = ... ...

2) 1 + 1 2 + 1

4 + 1 8 + 1

16 = ∑ ^...

k = ... ...

11 Soit (u n ) définie sur N par u ₀ = 1 et u _{n + 1} = f (u _n ). On a construit ci-dessous la courbe re- présentative de f et les premiers termes de la suite (u n ).

2 + 2 +

u 0

y = x

Lire graphiquement une valeur approchée de u ₄ . 12 On a construit ci-dessous la courbe représentative de f et les premiers termes de la suite (u n ).

Lire graphiquement une valeur approchée de u ₃ .

1 1 +

+ u 0

y = x

13 (u n ) est une suite arithmétique de raison r = 4 et de premier terme u ₀ = 16.

Donner le terme u ₆ .

14 u est une suite géométrique de raison q = − 3 et de premier terme u ₀ = 2.

Donner le terme u ₃ .

Mode de génération d’une suite

15 MÉTHODE 1 p. 109

Pour chacune des suites ci-dessous, calculer u ₁ , u ₂ et u ₃ . 1) u définie pour tout entier naturel n non nul par :

u n = 3n + 1 2n .

2) u définie pour tout entier naturel n par : u _n = 2 ×

1 2

n

.

3) u définie pour tout entier naturel n par : u _n = ∑ ⁿ

k = 0 2 ^k = 1 + 2 + 2 ² + 2 ³ + ... + 2 ⁿ .

S’entraîner

16 MÉTHODE 2 p. 110 CALC

1) Pour chacune des suites ci-dessous, calculer u ₀ , u ₁ et u ₂ .

a) u définie pour tout entier naturel n par : u _n = 2n ² − 5n

b) u définie pour tout entier naturel n par : u _n = (n + 1) × ( − 2) ⁿ

c) u définie pour tout entier naturel n par : u _n = ∑ ⁿ

i = 0 (2i + 1)

2) À l’aide de la calculatrice, contrôler les résultats des questions a) et b).

17 MÉTHODE 3 p. 111 MÉTHODE 4 p. 112 Pour chacune des suites ci-dessous :

1) Calculer u ₁ , u ₂ et u ₃ .

2) Écrire u n en fonction de u _{n − 1} .

3) À l’aide de la calculatrice, contrôler les résultats de la question 1.

• u définie pour tout entier naturel n par :







u ₀ = − 2 u _{n + 1} = 1

2 u _n + 3.

• u définie pour tout entier naturel n par : ( u ₀ = 2

u _n + 1 = − 2u n .

• u définie pour tout entier naturel n par : ( u ₀ = 1

u _{n + 1} = nu _n + 3.

18 Suite définie par une relation de récurrence Pour chacune des suites ci-dessous :

1) Calculer u ₁ , u ₂ et u ₃ .

2) Écrire u _n en fonction de u _{n − 1} pour les questions a) et b).

a) u définie pour tout entier naturel n par : ( u ₀ = − 3

u _{n + 1} = − u _n − 5.

b) u définie pour tout entier naturel n par : ( u ₀ = 7

u _n + 1 = (n + 1)u n − 4.

c) u définie pour tout entier naturel n par :



 

  u ₀ = 2 u ₁ = − 1

u _n + 2 = 2u n − u _n + 1 .

19 CALC

1) Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer son mode de génération et ses quatre premiers termes : a) u définie sur N par u _n = n ³

b) v définie sur N par

( v ₀ = − 5 v _{n + 1} = 2v n + 4 c) w définie sur N ∗ par w _n = 1 + 1

2 + ... + 1 2) À l’aide de la calculatrice, contrôler les résultats pré- n

cédents.

20 CALC

1) Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer son mode de génération et ses quatre premiers termes : a) u définie sur N par u _n = 2

u _{n − 1} + 1 et u ₀ = 1 ; b) v définie sur N par v n = sin n π

3 .

2) À l’aide de la calculatrice, contrôler les résultats pré- cédents.

21 INFO

On souhaite calculer à l’aide d’un tableur les premiers termes d’une suite v.

1) En recopiant la formule écrite en C2 vers la droite, quelle valeur obtient-on dans la case D2 ?

2) Définir la suite v.

22 INFO

Soit u la suite définie pour tout entier naturel n par : ( u ₀ = − 3

u _n + 1 = u n 2 + 3u n .

Que doit-on écrire dans les cellules B2 et C2 pour qu’en étirant vers la droite le contenu de la cellule B2, on ob- tienne les premiers termes de la suite u ?

23 Même énoncé que l’exercice 22 pour la suite w définie pour tout entier naturel n par :

( w ₀ = 4

w _{n + 1} = 5w n − 2n.

S’entraîner

24 Soit la suite (u n ) définie pour tout n ∈ N par ( u ₀ = 1

u _{n + 1} = 0, 5u _n + 2.

On donne la feuille de calcul ci-dessous.

1) Quelle est la formule entrée dans la cellule C2 et re- copiée vers la droite ?

2) Quelle est la formule entrée dans la cellule C3 et re- copiée vers la droite ?

25 On considère la suite (u n ) définie sur N par : u n = 2n ² + ( − 1) ⁿ .

1) Écrire u _{n + 1} en fonction de n.

2) Écrire u _2n en fonction de n.

26 On considère la suite (v n ) définie sur N par : v _n = ( − 2) ^{n − 1}

3 ⁿ .

1) Écrire v _{n − 1} en fonction de n.

2) Écrire u _{n + 2} en fonction de n.

27 Soit w _n = cos n π 3

.

1) Calculer les 6 premiers termes de la suite.

2) Soit n un entier naturel. Exprimer w _{n + 6} en fonction de w _n .

28 Soit (u n ) la suite définie sur N par u n = − 2n + 7 . 1) Exprimer u _{n + 1} en fonction de n.

2) Exprimer u _n + 1 en fonction de u n .

29 Soit (u n ) la suite définie sur N par v n = 2 ⁿ . 1) Exprimer v _{n + 1} en fonction de n.

2) Exprimer v _n + 1 en fonction de v n .

30 Dans chaque cas, exprimer u n en fonction de u _{n − 1} . 1) (u _n ) est la suite définie sur N par u ₀ = 3 et

u _n + 1 = 3u n + 5n − 1

2) (u n ) est la suite définie sur N ∗ par u _n = 2 et u _n + 2 = (n + 1) u _n + 1 + 5

31 ALGO

On considère les deux suites de nombres suivants : a) 4 ; 2 ; 0 ; − 2 ; . . .

b) 4 ; 2 ; 1 ; 0,5 ; . . .

1) Pour chacune des deux suites de nombres, quels semblent-être les deux termes suivants ?

2) Conjecturer une relation de récurrence permettant de passer d‘un terme au suivant.

3) Conjecturer la forme explicite de chacune de ces suites si le premier terme est u ₀ .

4) Les algorithmes suivants permettent de calculer et afficher les premiers termes des suites précédentes.

Associer l’algorithme correspondant à chacune des suites a) et b).

ALGORITHME 1

ALGORITHME 2

32 ALGO

On considère une suite (u _n ) dont un terme, d’indice choisi par l’utilisateur, est calculé à l’aide de l’algo- rithme ci-dessous.

1) La suite (u n ) est-elle définie par sa forme explicite ou par récurrence ?

2) Définir la suite (u n ).

S’entraîner

33 ALGO

On considère une suite (u _n ) étudiée à l’aide de l’algo- rithme ci-dessous.

1) Comment est définie cette suite ? 2) Que fait cet algorithme ?

3) Modifier cet algorithme pour qu’il n’affiche que le terme dont l’indice a été choisi par l’utilisateur.

34 La spirale de Pythagore

On considère OA ₁ A ₂ un triangle rectangle en A ₁ tel que OA ₁ = A ₁ A ₂ = 1.

On construit ensuite une suite de points A _n , n ∈ N ∗

tels que OA n A _n + 1 soit un triangle rectangle en A n et que A _n A _{n + 1} = 1.

Soit (u n ) la suite définie par u n = OA n pour tout n ∈ N ∗ .

1) Calculer u ₂ et u ₃ . 2) Définir la suite (u _n ) par

récurrence.

3) Conjecturer la forme ex- plicite de la suite (u n ).

x

x

x x

A

A

A

A

x

O

Représentation graphique

35 MÉTHODE 1 p. 109

Représenter graphiquement les trois premiers termes des suites ci-dessous définies par :

1) u n = n ² pour tout n ∈ N 2) u n = 5

n pour tout n ∈ N ∗

3) u _n = ( − 2) ⁿ pour tout n ∈ N

36 Représenter graphiquement les cinq premiers termes des suites ci-dessous dans un repère adapté.

1) u définie pour tout entier naturel n par : u _n = 5 − 2n.

2) u définie pour tout entier naturel n par : u n = 1

2 n ² − 1.

37 Représenter graphiquement les cinq premiers termes des suites ci-dessous dans un repère adapté.

1) u définie pour tout entier naturel n non nul par : u n = 4 ×

1 2

₂ .

2) u définie pour tout entier naturel n non nul par : u n = n − 1

n + 1 .

38 MÉTHODE 3 p. 111

Construire les trois premiers termes des suites ci- dessous définies pour tout entier naturel n par une re- lation de récurrence :

1)

( u ₀ = 2 u _n + 1 = (u n ) ²

dans un repère orthogonal (1 cm pour deux unités en abscisse et 1 cm pour 10 unités en ordonnées).

2)





 u ₀ = 1 u _{n + 1} = − 1

2 u _n + 5

dans un repère orthonormé d’unité 1 cm.

39 Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les premiers termes d’une suite (u _n ).

+ 2 2 +

u ₀

1) Quel est le premier terme de la suite ?

2) Par quelle relation de récurrence est définie (u _n ) ? 3) Lire graphiquement la valeur de u ₂ .

4) Vérifier par le calcul.

S’entraîner

40 Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les premiers termes d’une suite (u _n ).

1 1

0

y = x

u 0

u 1 u 3 u 2

1) Quel est le premier terme de la suite ?

2) Par quelle relation de récurrence est définie (u _n ) ? 3) Lire graphiquement la valeur de u ₂ .

4) Vérifier par le calcul.

Suites arithmétiques

41 MÉTHODE 5 p. 113

Déterminer si les suites (u n ) ci-dessous sont arithmé- tiques. Si oui, donner le premier terme et la raison.

1) u n = 4n + 7 3) u n = n 2 + 5 2) u _n = n ² + 1 4) u _n = 8 ⁿ

42 Déterminer si les suites (u n ) ci-dessous sont arith- métiques. Si oui, donner le premier terme et la raison.

1) u _n = n + 1

n 3) u _n = n ² + 3n + 2 n + 2 2) u _n = 2n + 5

2 4) u _n = n ² + 1

n + 2 43 MÉTHODE 6 p. 113

Déterminer si les suites (u n ) ci-dessous, définies pour tout n ∈ N , sont arithmétiques. Si oui, donner la rai- son.

1)

( u ₀ = 3 u _{n + 1} = 2u n

2)

( u ₀ = − 1

u _{n + 1} = − 2 + 2u n

3)





 u ₀ = 1

u _n + 1 = u n 2 − 1 2 4)

( u ₀ = 1 000 u _n + 1 = 1 + u n

44 MÉTHODE 7 p. 114

Dans chacun des cas suivants, (u n ) est une suite arith- métique de raison r. Écrire (u n ) en fonction de n.

1) u ₀ = − 3 r = 1 2) u ₀ = 20 r = − 2 2 3) u ₁ = − 1

2 r = − 6

4) u ₄ = 4 r = 1

5

45 Dans chacun des cas suivants, (u n ) est une suite arithmétique de raison r. Écrire (u n ) en fonction de n.

1) u ₀ = 3 r = − 3

2) u ₀ = − 1 000 r = 250 3) u ₁ = 1

3 r = 3

4) u ₄ = 0 r = − 1

2

46 Soient deux termes d’une suite arithmétique (u n ).

Écrire (u n ) en fonction de n et déterminer u ₄ . 1) u ₅ = 4 u ₁₀ = 49

2) u ₆ = 17 u ₁₀ = 15 3) u ₁₀ = 90 u ₁₀₀ = 99

47 On connaît deux termes d’une suite arithmétique (v n ) : v _{10 000} = − 26 et v _{20 000} = − 16.

Déterminer v _{4 000} . 48

1) Parmi les constructions ci-dessous lesquelles concernent des suites arithmétiques ?

2) Donner le premier terme et la formule de récurrence de chaque suite.

a)

1 1

•

•

• •

•

•

u ₀ u ₁ u ₂

C

G

D B

S’entraîner

b)

1 1

• • •

u ₀ u ₁ u ₂

c)

1 1

u ₀ u ₁

d)

1 1 u ₀ u ₁

u ₂

49 Le but de l’exercice est de calculer S = 2 + 6 + 10 + 14 + ... + 30.

1) Montrer que S = u ₀ + u ₁ + .. + u ₇ où (u n ) est une suite arithmétique que l’on définira.

2) En déduire que S = 8 × 2 + 4 × (0 + 1 + ... + 7).

3) Terminer le calcul de S.

50 Calculer les sommes suivantes en utilisant la mé- thode proposée dans l’exercice 49 .

1) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 31 2) 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 34 3) ∑ ⁸

i = 0 2i 4) ∑ ⁸

k = 2 (3 + 2k)

Suites géométriques

51 MÉTHODE 8 p. 115

Déterminer si les suites (u _n ), définies pour tout n ∈ N ci-dessous, sont géométriques. Si oui, donner le premier terme et la raison.

1) u n = − 4 × 3 ⁿ 2) u _n = 3 3) u _n = 3 ⁿ

2 ^{n + 2} 4) u _n = 8 ^{n + 2}

52 Déterminer si les suites u ci-dessous sont géomé- triques. Si oui, donner le premier terme et la raison.

1) Pour tout n ∈ N , u n = ( − 2) ⁿ 2) Pour tout n ∈ N , u _n = 4n 3) Pour tout n ∈ N ∗ , u _n = 2

n − 3 ⁿ 4) Pour tout n ∈ N , u _n = 4 ^{n − 1}

53 MÉTHODE 9 p. 115

Déterminer si les suites (u n ) ci-dessous sont géomé- triques. Si oui, donner la raison.

1)







u ₀ = − 1 u _{n + 1} = u _n − 1

4 u _n 2)

( u ₀ = 2

u _{n + 1} = 3 + 2u _n 3)



 

 

u ₀ = 1 3 u _{n + 1} = 1

2u n

54 MÉTHODE 10 p. 116

Dans chacun des cas suivants, (u n ) est une suite géo- métrique de raison q. Écrire (u n ) en fonction de n.

1) u est définie sur N par u ₀ = − 1

2 et sa raison q = − 3 2) u est définie sur N par u ₀ = − 3 et sa raison q = 0,02 3) u est définie sur N ∗ par u ₁ = − 1 000 et sa raison

q = − 1

4) u est définie pour tout entier naturel 10 n ≥ 4 par u ₄ = 7 et sa raison q = 9

55 Soient deux termes d’une suite géométrique (u n ) définie sur N . Écrire (u n ) en fonction de n. Attention, il peut y avoir plusieurs suites possibles.

1) u ₁ = − 4 u ₂ = − 28 2) u ₅ = 1

3 u ₇ = 1

3) u ₁₀ = 8 u ₈ = 2 27

S’entraîner

56 Soient deux termes d’une suite géométrique (u n ) définie sur N . Écrire (u _n ) en fonction de n. Attention, il peut y avoir plusieurs suites possibles.

1) u ₆ = 14 u ₇ = − 28 2) u ₇ = 5

6 u ₈ = 5

3) u ₃ = − 75 u ₅ = − 12 1 875

57 Soient deux termes d’une suite géométrique (v _n ) tels que v ₇ = 16 384 et v ₉ = 1 048 576.

Déterminer les valeurs possibles pour v ₁₂ .

58 Soient deux termes d’une suite géométrique (v n ) tels que v ₄ = 25 et v ₇ = 200.

Déterminer une valeur possible pour v ₉ .

59 Parmi les constructions ci-dessous, lesquelles concernent des suites géométriques ?

1)

2 2

u ₀ u ₁ u ₂ u ₃ 2)

0 2

u ₀ u ₁ 2 u ₂ u ₃

3)

u ₀ u ₁

u ₂ u ₃

u ₄ 1

1

4)

1 1

u ₀ u ₁ u ₂

60 Le but de l’exercice est de calculer : S = 2 + 1 + 1

2 + 1

4 + . . . + 1 64 .

1) Montrer que S = u ₀ + u ₁ + . . . + u ₇ où (u n ) est une suite géométrique que l’on définira.

2) En déduire que S = 2 × 1 + 1 2 + . . . +

1 2

₇ ! . 3) Terminer le calcul de S.

61 Calculer les sommes suivantes en utilisant la mé- thode de l’exercicce 60 :

1) 1 + 0, 9 + 0, 81 + 0, 729 + 0, 6561 2) 100 + 10 + 1 + ... + 10 ^{− 6} 3) ∑ ⁸

i = 2 2 ⁱ 4) ∑ ⁷

k = 2

3 × 0, 2 ^k

Approfondir

62

A ₁ A ₂

A ₃

A ₄ Sur un cercle quelconque, on place n points distincts A ₁ , A ₂ , ..., A _n et on s’intéresse au nombre de segments que l’on peut tracer entre ces n points.

On nommera u _n ce nombre de segments possibles.

1) Déterminer u ₁ , u ₂ et u ₃ .

2) Établir une relation de récurrence permettant de dé- finir la suite u.

63 D’après BAC INFO

On considère la suite (u n ) définie pour tout entier natu- rel non nul n par :

( u ₀ = 1

n × u _n = (n + 1) × u _{n − 1} + 1 1) Calculer u ₁ , u ₂ et u ₃ .

2) Quelle conjecture peut-on émettre sur la forme expli- cite de cette suite ?

3) Pour confirmer cette conjecture, on calcule à l’aide d’un tableur les premiers termes de cette suite.

Quelle formule faut-il entrer en C2 et étirer vers la droite pour calculer des termes de la suite ?

Remarque : le résultat conjecturé pourra se démontrer en Ter- minale.

64 D’après Bac ALGO

La population de l’Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s’élevait à 81 751 602 habitants au premier janvier 2011.

De plus, on sait qu’en 2011, le nombre de naissances en Allemagne ne compensait pas le nombre de décès, et sans tenir compte des flux migratoires, on estime le taux d’évolution de la population allemande à − 0,22 %.

On admet que cette évolution reste constante les années suivantes.

Les résultats seront arrondis à l’unité.

P ARTIE A : À l’aide d’un algorithme On propose l’algorithme ci-après.

1. Entrée

2. Saisir un nombre entier naturel non nul S 3. Initialisation

4. Affecter à U la valeur 81 751 602 5. Affecter à N la valeur 0

6. Traitement

7. Tant que U > S

8. Affecter à U la valeur 0,9978 × U 9. Affecter à N la valeur N + 1 10. Fin tant que

11. Sortie 12. Afficher N

On saisit en entrée le nombre 81 200 000.

1) Recopier et compléter le tableau suivant en arrondis- sant les valeurs à l’unité.

Étape Initialisation Étape 1 Étape 2 . . . Test U > S

U N

2) Quel nombre obtient-on en sortie ? 3) Expliquer le rôle de cet algorithme.

P ARTIE B : Par le calcul

On note u n l’effectif de la population de l’Allemagne au premier janvier 2011 + n.

1) Déterminer u ₀ et u ₁ .

2) a) Déterminer la nature de la suite (u _n ).

b) En déduire l’expression de u n en fonction de n.

3) En supposant que cette évolution de − 0,22 % se confirme :

a) calculer l’effectif de la population de l’Allemagne au premier janvier 2035 ;

b) à l’aide de la table de la calculatrice, déterminer en quelle année la population de l’Allemagne pas- sera au-dessous du seuil de 81 200 000 habitants.

65 Des parents déposent 40 euros à la banque à la naissance de leur fils et ils décident qu’ils déposeront une fois par an de l’argent, en mettant chaque année 10 euros de plus que l’année précédente.

1) Quel sera le montant du dépôt la deuxième année ? la dixième année ?

2) Quelle somme y aura-t-il au total pour les 18 ans de

leur fils ?

Approfondir

66 La population d’une ville augmente de 1 % chaque année. En 2000, la ville comportait 110 000 habi- tants. En 2014, combien la ville comportait-elle d’habi- tants ?

67

On prend cinq jeux de 54 cartes pour faire un très haut château de cartes. Combien peut-on faire d’étages au château ?

68 Soit (u n ) la suite définie pour tout entier n par u _{n + 1} = 2u n + 5 et u ₀ = 1.

1) Calculer u ₁ , u ₂ et u ₃ .

2) Montrer que (u _n ) n’est ni arithmétique, ni géomé- trique.

3) On pose v _n = u _n + 5 pour tout entier naturel n.

Montrer que (v n ) est une suite géométrique. Donner sa raison et son premier terme.

4) Exprimer v n en fonction de n.

5) En déduire (u n ) en fonction de n.

69 Soit (u _n ) la suite définie pour tout entier n par u _n + 1 = − 3u n + 8 et u ₀ = 6.

1) Calculer u ₁ , u ₂ et u ₃ .

2) On pose v _n = u _n − 2 pour tout entier naturel n.

Montrer que (v _n ) est une suite géométrique. Donner sa raison et son premier terme.

3) Exprimer v _n en fonction de n.

4) En déduire (u n ) en fonction de n.

70 Soit (u n ) la suite définie pour tout entier n par ( u ₀ = 2

u _{n + 1} = 3u n + 2n + 1.

On admet que, pour tout entier n, u _n 6 = 0.

1) Calculer u ₁ , u ₂ et u ₃ .

2) La suite (u n ) est-elle arithmétique ? est-elle géomé- trique ?

3) On pose v _n = u _n − n pour tout entier naturel n.

Montrer que (v n ) est une suite géométrique. Donner sa raison et son premier terme.

4) Exprimer v n en fonction de n.

5) En déduire (u n ) en fonction de n.

71 Déterminer les réels a, b, c sachant que ce sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique et que ( a + b + c = 54

abc = 5 670.

72 Soit (u n ) la suite définie pour tout entier n par





 u ₀ = 2 u _{n + 1} = u _n

1 + 2u n .

On admet que, pour tout entier n, u _n 6 = 0.

1) Calculer u ₁ , u ₂ et u ₃ . 2) On pose v _n = 1

u _n pour tout entier naturel n.

3) Montrer que (v n ) est une suite arithmétique. Donner sa raison et son premier terme.

4) Exprimer v n en fonction de n.

5) En déduire l’expression du terme général de (u n ) en fonction de n.

73 Soit (u n ) la suite définie pour tout entier n par





 u ₀ = 5 u _{n + 1} = 10u n

10 + u _n .

On admet que, pour tout entier n, u _n > 0.

1) Calculer u ₁ , u ₂ et u ₃ . 2) On pose v _n = 5

u _n pour tout entier naturel n. Montrer que (v n ) est une suite arithmétique. Donner sa raison et son premier terme.

3) Exprimer v n en fonction de n.

4) En déduire l’expression du terme général de (u n ) en fonction de n.

74 Déterminer les réels a, b, c sachant que ce sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique et que ( a + b + c = 84

a ² + b ² + c ² = 2 370.

75 Déterminer sept nombres pairs consécutifs tels que la somme de ces nombres est égale à 98.

76 Les images ci-dessous indiquent le début de la construction de zones coloriées que l’on peut prolonger indéfiniment. Tous les rectangles ont la même largeur mais des longueurs différentes.

Ainsi, le premier rectangle est un carré de côté 2 car- reaux, le deuxième rectangle a pour dimensions 2 car- reaux par 4 carreaux, . . .

u ₀ u ₁ u ₂ u ₃ u ₄

1) Est-ce que la suite (u n ) des aires est arithmétique ? 2) Est-ce que la suite (v _n ) des périmètres est arithmé-

tique ?