Soit la suite (u n ) n ∈N définie par u n = 5n 1 + n 2 .

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EXERCICE 1 (4,5 points)

Soit la suite (u n ) n ∈N définie par u _n = 5n 1 + n ² .

1. Montrer que u _n 6 3 quel que soit l’entier naturel n en étudiant le signe de u _n − 3.

2. Quelle est la fonction f associée à la suite (u n ) n ∈N ? Étudier les variations de f sur [0; +∞[ et en déduire le sens de variation de la suite (u n ) n∈ N .

On rappelle que si f = u

v sur I et f est dérivable sur I alors f

= u

v − uv

v

3. Déterminer la limite de la suite (u n ) n ∈N .

• • •

EXERCICE 2 (10 points)

Soit (u n ) la suite définie sur N par : u 0 = − 3

2 et u _n +1 = 2

3 u _n − 1.

Partie A :

1. Calculer u 1 , u 2 et u 3 .

2. On a donné, en annexe, la courbe de la fonction de passage f qui permet d’écrire u _n +1 = f (u n ).

(a) Donner sans justification, l’expression de f(x) pour x appartenant à R .

(b) Construire, en laissant visibles les traits de construction, les quatre premiers termes de la suite (u n ) sur l’axe des abscisses.

(c) Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation de la suite (u n ) et sur les valeurs prises par les termes de la suite ?

3.(a) Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N , −3 6 u n+1 6 u n 6 0.

(b) Dans quelle mesure la démonstration précédente valide les conjectures de la question 2.c ?

(c) On change la valeur de u 0 , désormais on prend u 0 = −5. Le sens de variation de (u n ) est-il le même ? Expliquer (on ne demande pas de prouver le résultat)

Partie B :

On définit la suite (v n ) par v n = 2u n + 6.

1. Démontrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 2

3 et de premier terme v 0 = 3.

2. Donner l’expression de v _n en fonction de n, pour tout n ∈ N . En déduire l’expression de u _n en fonction de n, pour tout n ∈ N .

3. On pose, pour tout n ∈ N , S n = v 0 + v 1 + v 2 + . . . + v n . Exprimer S n en fonction de n.

4. En déduire l’expression de T n = u 0 + u 1 + u 2 + . . . + u n en fonction de n.

• • •

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EXERCICE 3 (3,5 points)

On considère la suite (u n ) définie par :







u 0 = 1 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = n + 1

2n + 4

u n .

On définit la suite (v n ) par : pour tout entier naturel n, v _n = (n + 1)u n .

La feuille de calcul ci-contre présente les valeurs des premiers termes des suites (u n ) et (v n ), arrondies au cent-millième.

1.(a) Conjecturer la nature de la suite (v n ) n∈ N .

(b) Démontrer cette conjecture et en déduire l’expres- sion de v n en fonction de n.

(c) Quelle est la limite de la suite (v n ) n∈ N ?

2. Exprimer u n en fonction de n. Déterminer la limite de la suite (u n ).

A B C

1 n u _n v _n

2 0 1,000 00 1,000 00

3 1 0,250 00 0,500 00

4 2 0,083 33 0,250 00

5 3 0,031 25 0,125 00

6 4 0,012 50 0,062 50

7 5 0,005 21 0,031 25

8 6 0,002 23 0,015 63

9 7 0,000 98 0,007 81

10 8 0,000 43 0,003 91

11 9 0,000 20 0,001 95

• • •

EXERCICE 4 (2 points)

1. On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u _n = 2n ² n + 1 . Déterminer deux entiers naturels a et b non nuls tels que :

Pour tout n appartenant à N , u _n = an + b + 2 n + 1

2. En utilisant les opérations sur les limites, prouver que (u n ) diverge et déterminer sa limite.

3. QUESTION BONUS : (2 points)

On considère l’intervalle I = [100; +∞[.

(a) Justifier qu’il existe un entier naturel n 1 « à partir duquel » tous les termes u n sont dans I (c’est à dire n > n 1 implique u _n ∈ [100; +∞[).

(b) Déterminer n 1 à la calculatrice.

(c) Retrouver n 1 par le calcul.

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Graphique pour l’exercice 2

1

1 O

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