(1)(2)
Terminale S Devoir maison n ◦ 2 2018 - 2019
A rendre avant le vendredi 12 octobre
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EXERCICE 1 Soit la suite (u n ) n∈ N définie par :
u 0 = 2 et pour tout n > 1, u n = u n−1 + 4 n + 1 Exprimer u n en fonction de n.
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EXERCICE 2 La fonction d’Ackerman, notée A est une fonction de deux entiers naturels définie ainsi :
• A (0 , n ) = n + 1 pour tout n ∈ N ;
• A ( m + 1 , 0) = A ( m, 1) pour tout m ∈ N ;
• A(m + 1, n + 1) = A(m, A(m + 1, n)) pour tous m et n de N . 1. Calculer A(0, 0), A(0, 1) et A(1, 0).
2. Calculer A ( m, n ) pour m 6 3 et n 6 5.
On présentera les résultats dans un tableau à double entrée.
3. Émettre des conjectures sur les expressions de A (1 , n ) et A (2 , n ) en fonction de n et les démon- trer.
4. Démontrer que
A (3 , n ) = 2 n+3 − 3 pour tout n > 0.
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EXERCICE 3 OA 0 B 0 est un triangle équilatéral de côté 4.
On appelle A 1 le milieu du segment [A 0 B 0 ] et B 1 le symétrique de A 1 par rapport à la droite (OB 0 ).
On construit de même les points A 2 et B 2 , A 3 et B 3 , . . . , A n et B n .
Comment évoluent la longueur A n A n+1 et la longueur de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 . . . A n lorsque n tend vers +∞ ?
b
A 0
b
B 0
b
O
b
A 1
b
B 1
b
A 2
b
B 2
b
