Soit la suite u définie par u

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Devoir n˚5

Durée : 1 heure. Calculatrices autorisées

I) 6 points

Soit la suite u définie par u

₁

= 2 et, pour tout n > 1, u

_n

= 2u

_n

− 1 1 + u

_n

n + 1 1. Calculer sous forme de fractions irréductibles u

2

, u

3

, u

4

et u

5

On vérifiera que u

₅

= 1, 2

2. Conjecturer l’écriture directe de u

_n

en fonction de n pour n > 1 3. Démontrer cette conjecture par récurrence

II) 4 points

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x

³

+ x − 2.

Soit u la suite définie par u

₀

= 2 et u

_n+1

= f (u

_n

) pour tout n > 0 1. Démontrer que, pour tout n entier naturel, u

_n

> 2

2. Déterminer le sens de variation de la suite u

III) 4 points

Soit u la suite définie par u

0

= −2 et u

n+1

= 1 2 u

n

− 1

2

1. Démontrer que la suite v définie par v

_n

= u

_n

+ 1 est une suite géométrique 2. Déterminer u

_n

en fonction de n et déterminer la limite de la suite u.

IV) 6 points

Soit la suite u définie par la donnée de u

₀

et, pour tout n entier naturel, u

_n+1

= u

_n

+ an + b, avec a et b des constantes réelles.

On pose, pour tout n entier naturel, v

_n

= u

_n+1

− u

_n

1. Calculer de deux façons différentes la somme s

_n

= v

₀

+ v

₁

+ · · · + v

_n−1

(en fonction de a, b et u

0

)

2. En déduire l’expression de u

n

en fonction de n (et en fonction de a, b et u

0

)