est la suite définie par u

Terminale S Devoir surveillé n˚1 2016 - 2017

EXERCICE 1 (5 points)

(u

)

est la suite définie par u

= 1 et ∀ n ∈ N , u

= u

+ 2.

1. Quelle est la nature de (u

) ? Prouver que u

= 1 + 2n, pour tout n ∈ N . 2. La suite (v

) est définie par : v

= 1 et ∀ n ∈ N , v

= v

+ u

.

(a) Calculer v

, v

, v

et v

.

(b) Démonter par récurence que : ∀ n ∈ N , v

= 1 + n

(c) Étudier la monotonie de (v

).

• • •

EXERCICE 2 (6 points)

Soit (u

)

la suite définie sur N par : u

= 0 et u

= 3 √ u

+ 4.

1. Calculer u

, u

et u

.

2. On a donné, en annexe, la courbe de la fonction f qui vérifie u

= f (u

). (f définie sur [0; + ∞ [) (a) Donner sans justification, l’expression de f (x) pour x > 0.

(b) Construire, en laissant visibles les traits de construction, les quatre premiers termes de la suite (u

) sur l’axe des abscisses.

(c) Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation de la suite (u

) et sur les valeurs prises par les termes de la suite ?

3. (a) Démontrer par récurrence que ∀ n ∈ N , 0 6 u

6 u

6 16.

(b) Dans quelle mesure la démonstration précédente valide les conjectures de la question 2.c ? (c) On change la valeur de u

, désormais on prend u

= 25. Le sens de variation de (u

) est-il le

même ? Expliquer (on ne demande pas de prouver le résultat)

• • •

EXERCICE 3 (5 points)

Le 1

septembre 2015, un ensemble scolaire compte 3 000 élèves.

Une étude statistique interne a montré que chaque 1

septembre :

• 10 % de l’effectif quitte l’établissement ;

• 250 nouveaux élèves s’inscrivent.

On cherche à modéliser cette situation par une suite (u

) où, pour tout entier naturel n, u

représente le nombre d’élèves le 1

septembre de l’année 2015 + n.

1. Justifier qu’on peut modéliser la situation avec la suite (u

) telle que u

= 3 000 et, pour tout entier naturel n, u

= 0, 9 u

+ 250.

2. Pour tout entier naturel n, on pose v

= u

− 2 500.

(a) Démontrer que la suite (v

) est géométrique.

(b) Exprimer, pour tout entier naturel n, v

en fonction de n.

En déduire, pour tout entier naturel n, u

en fonction de n.

3. Démontrer que pour tout entier naturel n, u

− u

= − 50 × 0, 9

. En déduire le sens de variation de la suite (u

).

4. La capacité optimale d’accueil est de 2 800 élèves. Ainsi, au 1

septembre 2015, l’ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.

Déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l’ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.

Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 3

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EXERCICE 4 (3 points)

Soit (u

) la suite définie pour tout entier naturel n, par u

= − 700 × 0, 75

+ 1 200.

On souhaite écrire un algorithme qui permette de déterminer le rang n du premier terme de la suite strictement supérieur à 1 190.

On propose trois algorithmes :

Algorithme 1 Algorithme 2

Affecter à n la valeur 0 Affecter à n la valeur 0

Affecter à U la valeur 500 Affecter à U la valeur 500

Tant que U 6 1 190 Tant que U 6 1 190

Affecter à n la valeur n + 1 Affecter à U la valeur

Affecter à U la valeur − 700 × 0, 75

+ 1 200

− 700 × 0, 75

+ 1 200 Affecter à n la valeur n + 1

Fin Tant que Fin Tant que

Afficher n Afficher n

Algorithme 3

Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 500 Tant que U 6 1 190

Affecter à U la valeur

− 700 × 0, 75

+ 1 200 Fin Tant que

Affecter à n la valeur n + 1 Afficher n

Parmi ces trois algorithmes, déterminer lequel convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.

• • •

EXERCICE 5 (4 points)

Soit l’inéquation suivante :

1

x − 5 + 1 x + 3 > 1

4 (E)

1. Préciser le domaine de validité de l’inéquation (E) 2. Résoudre (E) sur son domaine de validité

• • •

EXERCICE 6 ( BONUS )

On considère la suite (u

)

définie par : u

= 2n 3 + n

1. Prouver que : ∀ n ∈ N , u

> 0.

2. Conjecturer la limite ℓ de la suite (u

)

.

3. Déterminer le plus petit entier n

tel que : ∀ n ∈ N , n > n

= ⇒ u

∈ [0; ℓ + 10

]

4. Prouver, en utilisant la définition d’une suite convergente, que la suite (u

)

admet 0 comme limite.

Lycée Bertran de Born - Périgueux 2 sur 3

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Graphique pour l’exercice 2

x y

y = f (x)

1 1 O

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