BACCALAUREAT GENERAL
Bac blanc - Février 2017 - Lycée Bertran de Born
Mathématiques
Série S
Obligatoire durée : 4 heures coefficient : 7 Spécialité durée : 4 heures coefficient : 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.
Le candidat n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité doit traiter les exercices communs et l’exercice pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.
Le candidat ayant suivi l’enseignement de spécialité doit traiter les exercices communs et l’exercice pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7
EXERCICE 1 ( 3 points) Commun à tous les candidats
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes
Il est rappelé que tout nombre complexez s’écrit de manière unique sous la forme z=a+ ib où a etb sont des nombres réels.
1. Montrer que pour tout nombre complexez, z′ :zz′ =z×z′. 2. On considère l’affirmation suivante :
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé, les points A,B etC d’affixes respectives zA=√
2 + 3i ,zB = 1 + i et zC =−4i ne sont pas alignés.
Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant votre réponse.
3. On considère l’équation :
(E) z3−(10−i)z2+ (26−10i)z+ 26i = 0 oùz est un nombre complexe.
(a) Déterminer les nombres réelsa, b etc tels que, pour tout nombre complexez on ait : z3−(10−i)z2+ (26−10i)z+ 26i = (z+ i) az2+bz+c
(b) En déduire les solutions de l’équation (E).
• • •
EXERCICE 2 ( 5 points)
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Partie A Étude d’une fonction.
On considère la fonction f définie sur ]1; +∞[ par f(x) = x
ln(x)
Sur l’annexe qui figure en page 7 du sujet, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe Creprésen- tative de la fonction f et la droite Dd’équation y=x.
1. Calculer les limites de la fonctionf en +∞et en 1.
2. Étudier les variations de la fonctionf sur l’intervalle ]1; +∞[.
3. En déduire que six>e alors f(x)>e.
Partie B Étude d’une suite récurrente.
On considère la suite (un) définie par
u0 = 5
un+1=f(un), ∀n∈N
1. Sur l’annexe (page 6 du sujet), en utilisant la courbeC et la droiteD, placer les pointsA0,A1
et A2 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0 ,u1 etu2.
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite (un) ?
2. (a) Montrer que, pour tout entiernnaturel, on a : un>e.
(b) Déterminer les variations de la suite (un).
(c) En déduire que la suite (un) est convergente.
(d) Déterminer sa limite l.
3. On donne l’algorithme suivant :
Variables : X réel et Y entier Initialisations : Affecter 5 àX et 0 àY. Traitement : Tant que X >2,72.
Affecter X/ln(X) à X.
Affecter Y + 1 àY. Sortie : Afficher Y.
A l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l’algorithme.
Que représente cette valeur pour la suite (un)n∈N? Pourquoi est-on sûr que la boucle de l’algorithme s’arrêtera ?
n 0 1 2 3 4 5
un 5 3,1066746728 2,7406525323 2,7183726346 2,7182818300 2,7182818285
• • •
EXERCICE 2 ( 5 points)
Candidats AYANT SUIVI l’enseignement de spécialité
On considère la suite (un) définie par u0 = 3, u1= 8 et, pour tout nsupérieur ou égal à 0 : un+2 = 5un+1−6un.
1. Calculeru2 etu3.
2. Pour tout entier natureln>2, on souhaite calculer un à l’aide de l’algorithme suivant : Variables : a, betc sont des nombres réels
ietnsont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2
Initialisation :aprend la valeur 3 b prend la valeur 8 Traitement : Saisir n
Pour ivariant de 2 àn faire cprend la valeura aprend la valeurb bprend la valeur . . . Fin Pour
Sortie : Afficher b
(a) Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant :
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15
un 4502 13378 39878 119122 356342 1066978 3196838 9582322 28730582 (b) Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite (un) ?
3. Pour tout entier natureln, on noteCn la matrice colonne
un+1
un
.
On noteA la matrice carrée d’ordre 2 telle que, pour tout entier naturel n,Cn+1=ACn. DéterminerA et prouver que, pour tout entier natureln, Cn=AnC0.
4. SoientP =
2 3 1 1
, D=
2 0 0 3
etQ=
−1 3 1 −2
. CalculerQP.
On admet queA=P DQ.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nuln,:An=P DnQ.
5. A l’aide des questions précedentes, établir que : Pour tout entier naturel non nuln,
An =
−2n+1+ 3n+1 3×2n+1−2×3n+1
−2n+ 3n 3×2n−2×3n
. En déduire une expression deunen fonction de n.
La suite (un) a-t-elle une limite ?
• • •
EXERCICE 4 ( 3 points)
Commun à tous les candidats On considère l’équation (E1) :
ex−xn= 0
où x est un réel strictement positif etnun entier naturel non nul.
1. Montrer que l’équation (E1) est équivalente à l’équation (E2) : ln(x)−x
n = 0.
2. Pour quelles valeurs denl’équation (E1) admet-elle deux solutions ?
EXERCICE 5 ( 5 points) Commun à tous les candidats
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f(x) = 5e−x−3e−2x+x−3.
On note Cf la représentation graphique de la fonction f et D la droite d’équation y =x−3 dans un repère orthogonal du plan.
Partie A : Positions relatives de Cf et D
Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par g(x) =f(x)−(x−3).
1. Justifier que, pour tout réelx de l’intervalle [0 ; +∞[, g(x)>0.
2. La courbeCf et la droite Dont-elles un point commun ? Justifier.
Partie B : Étude de la fonction g
On noteM le point d’abscissex de la courbeCf,N le point d’abscissexde la droite Det on s’intéresse à l’évolution de la distanceM N.
1. Justifier que, pour toutx de l’intervalle [0 ; +∞[, la distanceM N est égale àg(x).
2. On noteg′ la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Pour toutx de l’intervalle [0 ; +∞[, calculerg′(x).
3. Montrer que la fonctiong possède un maximum sur l’intervalle [0 ; +∞[ que l’on déterminera.
En donner une interprétation graphique.
• • •
EXERCICE 6 ( 4 points)
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0,000 1 près.
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie.
On obtient les résultats suivants :
• si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ;
• si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.
On note :
M l’évènement : « l’animal est porteur de la maladie » ; T l’évènement : « le test est positif ».
1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
2. Un animal est choisi au hasard.
(a) Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ? (b) Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058.
3. Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ?
4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif.
(a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
(b) Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 euros et le coût de l’abattage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1 000 euros. On suppose que le test est gratuit.
D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :
Coût 0 100 1 000
Probabilité 0,940 5 0,058 0 0,001 5
(a) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager.
(b) Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d’engager ?
————————————————— • FIN• ———————————————————–
Annexe de l’exercice 2 obligatoire à rendre avec votre copie.
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
x y
C
D
1
1 O
