Mathématiques en Première ES Enseignement de spécialité
David ROBERT 2007–2008
Sommaire
Progression 1
1 Compléments sur les fonctions 3
1.1 Activités . . . . 3
1.2 Fonctions affines par morceaux . . . . 5
1.3 Interpolation linéaire. . . . 5
1.3.1 Le principe. . . . 5
1.3.2 Un exemple . . . . 6
1.4 Exercices et problèmes . . . . 6
1.4.1 Exercices . . . . 6
1.4.2 Problèmes . . . . 8
Devoir surveillé n°1 : Fonctions affines par morceaux – Interpolation linéaire 11 2 Vecteurs de l’espace 13 2.1 Activités . . . . 13
2.2 Vecteurs de l’espace . . . . 14
2.3 Définition vectorielle d’une droite et d’un plan . . . . 14
2.4 Vecteurs coplanaires . . . . 15
2.5 Repérage dans l’espace. . . . 15
2.6 Exercices . . . . 16
Devoir surveillé n°2 : Géométrie dans l’espace 19 3 Matrices 21 3.1 Activités . . . . 21
3.2 Définitions . . . . 22
3.3 Égalité de deux matrices . . . . 22
3.4 Addition de matrices . . . . 22
3.4.1 Matrices opposées, différence de deux matrices . . . . 23
3.5 Multiplication de matrices. . . . 23
3.5.1 Multiplication d’une matrice ligne par une matrice colonne. . . . 23
3.5.2 Multiplication d’une matrice par une matrice colonne . . . . 23
3.5.3 Multiplication de deux matrices . . . . 24
3.5.4 Propriétés de la multiplication des matrices . . . . 24
3.5.5 Inverse d’une matrice . . . . 24
3.6 Exercices . . . . 24
Devoir surveillé n°3 : Matrices 29 Devoir surveillé n°3 bis : Matrices 31 4 Équations cartésiennes de plans et de droites 33 4.1 Équation cartésienne d’un plan. . . . 33
4.1.1 Équation cartésienne d’un plan . . . . 33
4.1.2 Vecteur normal à un plan . . . . 33
4.1.3 Propriétés des plans et équations cartésiennes . . . . 34
4.1.4 Équations particulières . . . . 34
4.2 Système d’équations cartésiennes d’une droite . . . . 34
4.2.1 Un exemple . . . . 34
4.2.2 Système d’équations cartésiennes d’une droite . . . . 35
SOMMAIRE Première ES spécialité – 2 007–2 008
4.2.3 Système d’équations cartésiennes des axes. . . . 35
4.3 Exercices . . . . 35
Devoir surveillé n°4 : Équations cartésiennes 39 5 Systèmes linéaires d’équations 41 5.1 Rappel du chapitre 3 : Inverse d’une matrice . . . . 41
5.2 Écriture matricielle d’un système linéaire d’équations . . . . 41
5.3 Exercices . . . . 41
6 Fonctions de deux variables 43 6.1 Activités . . . . 43
6.2 Fonctions de deux variables et surface. . . . 47
6.3 Lectures graphiques . . . . 48
6.4 Tracer les lignes de niveau . . . . 48
6.5 Exercices . . . . 50
Devoir surveillé n°5 : Systèmes – Fonctions de deux variables 55
Progression
Mois Sem Intitulé du chapitre
Sept 1 Compléments sur les fonctions (6 sem)
2 3 4
Oct 5
6
7 Géométrie dans l’espace 0 : rappels (3,5 sem) 8
Vacances d’automne du sam 27 oct au jeu 8 nov Nov 9 (3 j)
10
11 Matrices 1 : Définitions, sommes, produits (5 sem) 12
Déc 13
14 15
Vacances de Noël du sam 22 déc au lun 7 jan
Jan 16 Géométrie dans l’espace 1 : Vecteurs, repérage, distance, orthogonalité (6 sem) 17
18 19
Fév 20
21
Vacances d’hiver du sam 16 fév au lun 3 mar
Mars 22 Matrices 2 : inverse, résolutions de problèmes (4 sem) 23
24 25
Avr 26 Géométrie dans l’espace 2 : Fonctions de deux variables (6 sem) 27
Vacances de printemps du sam 12 avr au lun 28 avr
Mai 28
29 30 31 32
Juin 33
1
Chapitre 1
Compléments sur les fonctions
Sommaire
1.1 Activités . . . . 3
1.2 Fonctions affines par morceaux . . . . 5
1.3 Interpolation linéaire . . . . 5
1.3.1 Le principe. . . . 5
1.3.2 Un exemple . . . . 6
1.4 Exercices et problèmes. . . . 6
1.4.1 Exercices . . . . 6
1.4.2 Problèmes . . . . 8
1.1 Activités
Activité 1.1 (Rappels de Seconde). 1. Les fonctionsf,g,h,ketmsont définies surRpar :
• f(x)=3x2−1 ;
• g(x)=2x2−x(1+2x)+3 ;
• h(x)=x 5−4 ;
• k(x)= x+1 x2+4;
• m(x)=10.
Lesquelles sont des fonctions affines ?
2. f,g,hetksont les focntions définies surRpar :
• f(x)=2x+1 ;
• g(x)= −1 ;
• h(x)= −x+3 ;
• k(x)=13x−2.
Tracer les courbes représentatives de ces fonctions dans un même repère.
3. f est une fonction affine. Compléter le tableau suivantsanschercher l’expresssion algébrique def(x) :
x 2 6 10 −2 4
f(x) 5 2
4. f est la fonction affine telle quef(2)=7 etf(5)=3. Trouver l’expression def(x) pour tout réelx.
5. (a) f est la fonction définie sur [−4;+∞[ représentée par la courbe page suivante. Cette courbe est la réunion de quatre éléments. Quelle est leur nature ?
(b) Pour chaque élément de la courbe, donner une équation de la droite dont il fait partie et préciser dans quel intervalle variex.
Activité 1.2 (Envois de colis).
Les tarifs d’envois de colis en France métropolitaine pratiqués par une entreprise de connectique sont donnés dans le tableau page suivante.
1. Quel est le prix à payer pour l’envoi d’un colis de 2,5 kg en Chronopost ?
2. Quel est le prix à payer pour l’envoi d’un colis de 12 kg en Colissimo + recommandé ?
3. Quel est le prix à payer pour l’envoi d’un colis de 9 kg en Colissimo + recommandé + contre-remboursement ? 4. Représenter ces tarifs, pour un poids inférieur ou égal à 15 kg, sur un même graphique en portant le poids (en kg)
en abscisse et le prix (en€) en ordonnée.
3
1.1 Activités Première ES spécialité – 2 007–2 008
FIG. 1.1 – Courbe de l’activité1.1
O ~ı
~
x y
TAB. 1.1 – Tarifs postaux vers la France et Monaco
Poids jusqu’à Colissimo +
recommandé
Colissimo + recommandé + Contre-
rembrousement
Chronopost
2 kg 16 31 38
3 kg 17 32
5 kg 19 33 46
7 kg 20 35
10 kg 23 38 59
15 kg 25 40 72
30 kg 32 47 110
Activité 1.3 (À vélo).
Un cycliste part pour la ville A à 6 h afin de rendre visite à un ami dans la ville B. Il quitte son ami à 14 h. Le graphique de la présente page représente la distanced(t) (en km) à laquelle le cycliste se trouve de A en fonction de l’heuret.
FIG. 1.2 – Courbe de l’activité1.3
50 100
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Heuret d(t) (en km)
1. À l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes : (a) Quelle est la distance entre A et B ?
(b) Combien de temps met le cycliste pour parvenir en B ? (c) Le cycliste s’arrête-t-il en route ?
(d) Combien de temps passe-t-il chez son ami ?
Première ES spécialité – 2 007–2 008 1.2 Fonctions affines par morceaux
(e) Le trajet se compose d’une partie plate, de la montée et de la descente d’un col, puis une nouvelle partie plate. À quelle distance de A se trouve vraisemblablement le début de la montée au col ? Le sommet du col ? La fin de la descente du col vers B ?
(f) Quelle est la vitesse du cycliste sur les parties plates ? En montée ? En descente ? 2. Compléter le graphique en utilisant les renseignements donnés ci-dessous :
• Pour 14≤t≤16 :d(t)= −30t+550 ;
• Pour 16≤t≤19 :d(t)= −10t+230 ;
• Ensuite, le cycliste se repose 30 min ;
• Pour 19 h 30≤t≤19 h 40 :d(t)= −60t+1210 ;
• Pour 19 h 40≤t≤20 h 40 :d(t)= −30t+620.
3. D’après les données ci-dessus, ses vitesses en montée, en descente et en terrain plat sont-elles les mêmes au retrour qu’à l’aller ?
4. Au bout de combien de temps a-t-il parcouru la moitié de la distance AB à l’aller ? À quelle heure repasse-t-il à cet endroit ?
Activité 1.4 (Mortalité infantile).
Le tableau de la présente page donne, pour quelques années, le taux de mortalité infantile, c’est-à-dire la proportion d’enfants qui décèdent avant l’âge d’un an, calculée pour 1000 naissances vivantes.
TAB. 1.2 – Mortalité infantile
Années 1930 1935 1950 1955
Taux de mortalité 78,8%% 67,6%% 47,2%% 34,2%%
1. Tracer un repère, où les années figureront en abscisse et les taux de mortalité en ordonnée (unités : 1,5 cm pour 5 ans et 0,5 cm pour 10%%) et y représenter le tableau ci-dessus.
2. Pour estimer les taux de mortalité en 1940 et 1945, une personne utilise la droite passant par les points corres- pondants à 1935 et 1950.
Déterminer graphiquement les estimations qu’elle trouve, puis vérifier par le calcul.
3. Une autre personne choisit de procéder de même, mais en traçant la droite passant par les points correspondants à 1930 et 1955. Faire les calculs correspondants.
4. Une troisième fait les calculs équivalents entre 1935 et 1955. Faire ces calculs.
5. Comparer les différentes estimations obtenues.
6. d’autres sources reprennent les données ci-dessus et les complètent pour le années 1940 et 1945 : 86,6%%et 110%%. Analyser la différence entre les valeurs estimées ci-dessus et les valeurs réelles.
1.2 Fonctions affines par morceaux
Définition 1.1. Une fonction définie sur la réunion d’un nombre fini d’intervalles et qui, sur chacun de ces intervalles, coïncide avec une fonction affine est appeléefonction affine par morceaux.
Propriété 1.1. Dans un repère, la courbe repésentative d’une fonction affine par morceaux est une réunion de segments de droites ou de demi-droites.
1.3 Interpolation linéaire
1.3.1 Le principe
Dans certains cas on ne connaît que certaines valeurs d’une grandeur (relevés de température, horaires de marées, tables de remboursements, etc.) et l’on peut être amené à vouloirestimerdes valeurs intermédiaires (la température entre deux relevés, la hauteur de l’eau à une certaine heure, le remboursement selon un taux non renseigné, etc.). La façon la plus simple de procéder est de considérer les deux valeurs connues les plus proches et de considérer que la progression est affine entre ces deux valeurs. Cette méthode est appeléeinterpolation linéaire.
La valeur obtenue n’est qu’une valeur approchée, les phénomènes observés n’étant que rarement affines (l’évolu- tion de la température, la hauteur de l’eau en fonction de l’heure, le montant des remboursements en fonction du taux, etc. ne sont pas des fonctions affines), mais, dans beaucoup de cas, cette estimation est suffisante.
David ROBERT 5
1.4 Exercices et problèmes Première ES spécialité – 2 007–2 008
1.3.2 Un exemple
Un tableau donne les hauteurs des marées heure par heure dans un port de Bretagne et en particulier les deux infor- mations suivantes :
• à 6h la hauteur de l’eau sera de 6,20 m ; • à 7h de 6,82 m.
On cherche une estimation de la hauteur de l’eau à 6h45.
Graphiquement
En plaçant les deux points correspondants aux deux relevés dans un repère, on peut obtenir une première estima- tion graphique (la moins précise) :
FIG. 1.3 – Interpolation linéaire graphique
Heure Hauteur de l’eau
6 7
6,2 6,82
6h45
6,66 ×
×
×
A
B M
En obtenant l’expression de la fonction affine
On cherche la fonction affinef(x)=mx+poùxest l’heure (en h) etf(x) la hauteur (en m) telle quef(6)=6,2 et f(7)=6,82.
On sait quem=f(7)−f(6)
7−6 =0,62 et quef(6)=0,62×6+p=6,2⇔p=2,48 doncf(x)=0,62x+2,48.
Enfin, 6h45=6,75h doncf(6,75)=0,62×6,75+2,48=6,665 m.
Par comparaison des coefficients directeurs
Les droites (AM) et (AB) ont même coefficient directeur donc : yM−yA
xM−xA=yB−yA
xB−xA⇔yM−6,2 0,75 =0,62
1 ⇔yM−6,2=0,62×0,75⇔yM=6,2+0,465=6,665
1.4 Exercices et problèmes
1.4.1 Exercices
Exercice 1.1.
f est la fonction définie surRpar :
f(x)=
x+4 si x< −3
5 si −3≤x≤2
−2x+1 si x>2 1. Calculerf(−5),f(−3),f(0),f(2) etf(3).
2. Représenter cette fonction dans un repère approprié.
Exercice 1.2.
La courbe ci-dessous est la représentation graphique d’une fonctionf affine par morceaux définie sur [−4; 6]. Déter- miner l’expression def.
Exercice 1.3.
Une usine stocke une certaine matière pour une fabrication. Le graphique page ci-contre donne, pendant 48h, le niveau du stock en tonnes en fonction du tempsten heures.
1. Comment expliquer les segments horizontaux, ainsi que le saut ?
Première ES spécialité – 2 007–2 008 1.4 Exercices et problèmes
FIG. 1.4 – Courbe de l’exercice1.2
O ~ı
~
x y
FIG. 1.5 – Courbe de l’exercice1.3
500 1000
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
O t
Stock (en t)
David ROBERT 7
1.4 Exercices et problèmes Première ES spécialité – 2 007–2 008
2. À quel moment de la journée le produit est-il le plus utilisé ?
3. Déterminer l’expression de la quantité stockéeQ(t) en fonction detpourt∈[0; 48].
4. Déterminer l’expression de la quantité totaleU(t) utilisée à partir de l’heure 0 en fonction detpourt∈[0; 48] et la représenter dans un repère.
Exercice 1.4.
Le 28 juillet 2004, les taux d’ozone (enµg/m3) relevés dans la région de Saint Étienne ont évolué de la façon donnée par le tableau suivant :
taux 42 109 164 188 194 180 132
heure 10 12 14 16 18 20 22
Par interpolation linéaire :
1. estimer graphiquement le taux d’ozone à 11h30 ;
2. estimer par le calcul le taux d’ozone toutes les 30 min entre 12h et 14h ;
3. estimer par le calcul l’intervalle sur lequel le taux est supérieur 180µg/m3dans la journée.
1.4.2 Problèmes
Problème 1.1 (Comparaison de tarifs).
Le tableau de la présente page présente un extrait des tarifs des forfaits non bloqués pour téléphones portables, propo- sés par une société de téléphonie fictive.
TAB. 1.3 – Tarifs téléphoniques
Forfait Min comprises dans le forfait Coût du forfait (en€) Par min de dépassement (en€)
1 90 33 0,30
2 180 43 0,25
3 300 57 0,18
Pour les forfaits 1, 2 et 3 on désigne, respectivement, parf1(x),f2(x) etf3(x) le prix à payer en euros pour une durée totale de communications dexminutes.
1. (a) Exprimerf1(x) en fonction dexlorsque 0≤x≤90 puis lorsquex>90.
(b) Dans un repère orthogonal, représenter graphquement la fonctionf1pourxcompris entre 0 et 400.
2. Exprimerf2(x) etf3(x) en fonction dexet représenter sur le graphique précédent ces deux fonctions.
3. Lire sur le graphique quel est le tarif le plus avantageurx en fonction de la durée mensuelle des communications.
Problème 1.2.
Le tableau de la présente page donne des informations sur les distances d’arrêt d’un véhicule sur route sèche selon la vitesse.
TAB. 1.4 – Distance de freinage pour le problème1.2 vitesseven km/h
distance parcourue pendant le temps de
réaction
distance parcourue pendant le temps de
freinage
dt(v)
50 16
90 52
130 109
140 123
180 207,5
On se pose la question suivante : « un automobiliste roulant à 80 km/h voit surgir un obstacle à 60 m devant lui.
Pourra-t-il s’arrêter à temps ? »
1. Le temps de réactiony0est de 0,8 s. Compléter la deuxième colonne en arrondissant au dixième de mètre puis la quatrième,dt(v) étant la distance totale parcourue entre l’apparition de l’obstacle et l’arrêt.
2. Placer les points de coordonnées (v;dt(v)) obtenus dans le tableau et les joindre par des segments de droites.
3. Utiliser une interpolation linéaire pour répondre à la question.
Première ES spécialité – 2 007–2 008 1.4 Exercices et problèmes
4. En réalité, la distance de freinageds’exprime en fonction devsous la formed(v)=av2+t0. Trouveraen utilisant la distance de freinage à 50 km/h.
Calculer alors la distance de freinage à 80 km/h avec cette deuxième modélisation. Conclure.
Problème 1.3 (Impôt sur le revenu).
On trouve sur le site de l’administration fiscale (http://www.impots.gouv.fr/) les informations résumées dans le tableau de la présente page qui permettent de déterminer le montant de l’impôt sur le revenu.
TAB. 1.5 – Taux marginal d’imposition selon les tranches pour le problème1.3 Tranches de revenus nets imposables Taux marginal d’imposition
De 0 à 5 614€ 0,00 %
De 5 614 à 11 198€ 5,50 %
De 11 198 à 24 872€ 14,00 %
De 24 872 à 66 679€ 30,00 %
Au-delà de 66 679€ 40,00 %
Pour calculer le montant de l’impôt sur le revenu on procède de la manière suivante : le revenu net imposable est découpé en tranches et le montant de chaque tranche est imposé au taux indiqué.
Ainsi si un célibataire déclare 16000€de revenu net imposable, les 5614 premiers euros sont imposés à 0%, les 11198−5614=5584 euros suivants sont imposés à 5,50 %, enfin les 16000−11198=4802 derniers euros sont imposés à 14,00%. Le célibataire devra donc payer 5614×1000 +5584×5,50100+480210014 =979,40€.
On appelle taux réel d’imposition le pourcentage que représente l’impôt sur le revenu payé du revenu net impo- sable. Dans l’exemple ci-dessus979,4016000≈0,0612=6,12100; le taux réel d’imposition est donc de 6,12 %.
1. Déterminer pour les montants nets imposables suivants le montant de l’impôt sur le revenu et le taux réel d’im- position :
• 10000€; • 20000€; • 40000€; • 80000€.
2. De façon générale, on noteRle revenu net imposable en euros pour l’année 2007 etf(R) le montant de l’impôt sur le revenu.
(a) Vérifier que si 5614≤R≤11198,f(R)=0,055R−308,77.
(b) Vérifier que si 11198≤R≤24872,f(R)=0,14R−1260,60.
(c) Exprimerf(R) en fonction deRpour chacune des autres tranches et vériier les résultats obtenus à la ques- tion précédente.
3. (a) Représenter la fonction f dans un repère orthogonal (unités : 4 cm pour 4000 €en abscisse, 1 cm pour 1000€en ordonnée ; prévoir une feuille entière et bien placer les montants des impôts aux changement de tranches).
(b) Trouver graphiquement une valeur approchée du montant de l’impôt correspondant à un revenu net impo- sable de 25000€pour un célibataire.
(c) Trouver le revenu net imposable d’une personne qui doit payer un impôt de 12000€.
4. M. Faure se rend compte que l’année précédente il avait déclaré 24000€alors que cette année il va en déclarer 25000. Il pense que l’augmentation de son revenu net imposable va disparaître dans ses impôts. Quelle part des 1000€est versée à l’État ?
5. Mme Smet explique qu’elle séjourne en Suisse parce que le fisc français lui prend plus 50% de ce qu’elle gagne.
Peut-il s’agir de l’impôt sur le revenu ?
6. Une des déductions d’impôt en France (ce n’est pas le cas dans la plupart des autres pays européens) provient des enfants à charge. Si un célibataire a un enfant à charge son revenu imposable est divisé par 1,5 et l’on calcule ensuite comme précédemment.
(a) Refaire les calculs de la question en supposant que le foyer est maintenant constitué d’un célibataire ayant un enfant à charge.
(b) La réduction d’impôt obtenue est-elle plus grande pour un célibataire modeste ou un célibataire aisé ? Et proportionnellement ?
Problème 1.4.
Un élève recopie les données pour la population française fournie sur le site de l’INED (www.ined.fr) dans le tableau page suivante.
1. Représenter graphiquement ces données dans un graphique approprié.
David ROBERT 9
1.4 Exercices et problèmes Première ES spécialité – 2 007–2 008
TAB. 1.6 – Données (en milliers) recopiées sur le site de l’INED pour le problème1.4
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
56 710 56 978 57 242 57 470 59 661 57 847 58 029 58 210 58 398 58 620
2. Que remarque-t-on sur ce graphique ? Comment l’expliquer ? Comment y remédier ?
3. Un élève retourne sur le site et lit, pour l’année 1994, une population de 57 661. Il lit aussi sur le site que les recensements n’ont été faits qu’en 1990 et en 1999 ; pour les autres années, on a appliquer les formules données par un modèle. Ce modèle correspond-il à une interpolation linéaire ? Justifier.
Nom : Mardi 9 octobre – 2h00
Devoir surveillé n°1
Fonctions affines par morceaux – Interpolation linéaire
EXERCICE1 4 points
f est la fonction définie sur [−4;+∞[ par :
f(x)=
−x−1 si −4≤x≤ −1 1 si −1<x<2 1
3x+2 si x≥2 Représenter cette fonction dans le repère ci-dessous.
1 2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5
1 2 3 4 5 6
-1 -2 -3 -4 -5
-6 O ~ı
~
x y
EXERCICE2 4 points
La courbe ci-dessous est la représentation graphique d’une fonctionf affine par morceaux définie sur [−6; 4].
Déterminer l’expression def.
O ~ı
~
x y
David ROBERT 11
Nom : Mardi 9 octobre – 2h00
EXERCICE3 6 points
Le tableau suivant indique les températures relevées toutes les 4 heures dans une ville au cours d’une journée. On heuret 0 h 4 h 8 h 12 h 16 h 20 h 24 h
températureT 6° 4° 7° 9° 14° 11° 7°
appellef la fonction qui à l’heuretassocie la températuref(t).
1. Représenter la courbe d’interpolation def dans le repère ci-dessous.
5 10 15
4 8 12 16 20 24
t T
2. Par lecture graphique évaluer la température à 7 h.
3. Par identification des coefficients directeurs, évaluer l’intervalle pendant lequel la température était supérieure à 11°.
4. À l’aide d’une équation de droite, évaluer la température toutes les heures entre 12 h et 16 h.
EXERCICE4 6 points
Benoit part de chez lui à 14 heures à vélo pour rendre visite à son ami Paul qui habite à 8 km de chez Benoit. Au bout de 25 min, Benoit, qui a parcouru 5 km, s’arrête 15 min pour un achat. Puis il repart et arrive à 14 h 50 chez Paul où il reste 1 h 30. Il revient ensuite directement chez lui et arrive à 17 h 00.
1. Représenter dans le repère ci-dessous le trajet de Benoit. On notera en abscisses le temps écoulé depuis le départ à 14 h (en min) t en ordonnées la distance séparant Benoit de son domicile (en km).
1 2 3 4 5 6 7 8
60 120 180
min km
2. d est la fonction qui, à la durée x(en min), associe la distanced(x) (en kilomètres) qui sépare Benoit de son domicile. Exprimerd(x) en fonction dex. On supposera les vitesses constantes.
3. À quelle distance de chez lui, Benoit est-il à 14 h 20 ? à 16 h 30 ? Justifier par le calcul.
4. À quels moments Benoit est-il à 6 km de chez lui ? Justifier par le calcul.
5. À quelle vitesse roulait Benoit à son retour ?
6. Comment aurait été modifiée la courbe si, au lieu de la distance à son domicile, on avait représenté la distance totale parcourue par Benoit ?
Chapitre 2
Vecteurs de l’espace
Sommaire
2.1 Activités . . . 13
2.2 Vecteurs de l’espace. . . 14
2.3 Définition vectorielle d’une droite et d’un plan . . . 14
2.4 Vecteurs coplanaires . . . 15
2.5 Repérage dans l’espace. . . 15
2.6 Exercices . . . 16
2.1 Activités
Activité 2.1 (Sections planes).
Il s’agit dans cette activité de déterminer quelles peuvent être les intersections d’unplanet d’un solide usuel.1Plus précisément, on s’attachera à déterminer l’intersection du plan avec chacune des faces, l’ensemble formant une figure plane, puisqu’incluse dans le plan, qu’on appellera parfois latracedu plan sur le solide. Il s’agit avant tout de développer unsavoir-faire, aucune notion ou propriété nouvelle n’étant au programme.
1. Sections planes d’un tétraèdre
Dans le fichierTetraedre.g3w, qui s’ouvre avec le logiciel Geospace, on a représenté un tétraèdreABCD.
Jest le point tel que−→B J=1 3
−−→BD.
Dans chacun des cas suivants, placer les pointsIetK, puis, à l’aide des propriétés de géométrie dans l’espace vues en Seconde, construire sur le dessin en perspective la trace du plan (I JK) sur le tétraèdreABCD.
Attendre l’autorisation du professeur avant de passer au cas suivant.
(a) −→DI=1 3
−−→D A et CK−−→=1 3
−−→CD (b) −→DI=1
3
−−→D A et −−→AK=1 3
−→AC
(c) −→DI=1 3
−−→D A etK centre de gravité deABC (d) −→AI=1
3
−−→AD et −−→CK=1 3
CB−→
2. Sections planes d’un cube
Dans le fichierCube.g3w, qui s’ouvre avec le logiciel Geospace, on a représenté un cubeABCDEFGH.
Iest le point tel que−→E I=1 3
−−→E HetJest le milieu de [HG].
Dans chacun des cas suivants, placer le pointK, puis, à l’aide des propriétés de géométrie dans l’espace vues en Seconde, construire sur le dessin en perspective la trace du plan (I JK) sur le cubeABCDEFGH.
Attendre l’autorisation du professeur avant de passer au cas suivant.
(a) −−→DK =1 3
−−→DH (b) −−→DK =1
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−−→DC
(c) K=C
(d) Kmilieu de [BC]
Activité 2.2 (Vecteurs égaux).
ABCDEFGHest un cube représenté sur la figure2.1page suivante. Les pointsP etQsont tels que :−→EP=−→EG+−−→F Het
−−→BQ=−−→B H+−→EC.
1. (a) Construire le pointP.
1Conformément au programme, on se limitera aux cubes et aux tétraèdres.
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2.2 Vecteurs de l’espace Première ES spécialité – 2 007–2 008
(b) Exprimer le vecteur−→EPen fonction du vecteur−−→E H.
2. Construire le pointQet expliquer pourquoi les vecteurs−−→BQet−→BCsont colinéaires.
3. (a) Expliquer pourquoi−−→HP=CQ−−→.
(b) Quelle est la nature du quadrilatèreHPQC? Activité 2.3.
ABCDest un tétraèdre représenté sur la figure2.2de la présente page.I,J,KetLsont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BC], [CD] et [AD].
1. (a) Exprimer le vecteur−IL→en fonction du vecteur−−→BD. (b) Exprimer le vecteur−→JK en fonction du vecteur−−→BD. (c) Que peut-on en conclure pour les pointsI,J,KetL? 2. (a) Exprimer le vecteur−→IKen fonction des vecteurs−→ACet−−→BD.
(b) Que peut-on alors dire de ces trois vecteurs ? FIG. 2.1 – Figure de l’activité2.2
A B
D C
E F
G H
FIG. 2.2 – Figure de l’activité2.3
A
B
C D
2.2 Vecteurs de l’espace
Les définitions et propriétés concernant les vecteurs vues en Seconde dans le plan s’étendent naturellement à l’es- pace.
Il en va ainsi :
• de la définition d’un vecteur (direction, sens, norme) ;
• de la somme de deux vecteurs ;
• du produit d’un vecteur par un réel ;
• de la colinéarité de deux vecteurs ;
• de l’orthogonalité de deux vecteurs.
2.3 Définition vectorielle d’une droite et d’un plan
Définition 2.1. SoitAun point de l’espace et~vun vecteur non nul de l’espace.
La droite∆passant parAet ayant la même direction que celle de~vest l’ensemble des pointsMde l’espace tels que
−−→AM=x~v.
On pourra éventuellement noter∆=(A;~v).
Remarques. • Une telle définition est tout à fait valable dans le plan.
• ~vet tous les vecteurs colinéaires à~v) sont appelésvecteurs directeurs de∆.
• Le couple (A;~v) définit aussi un repère de∆, c’est-à-dire qu’à tout pointM∈∆, on peut associer un unique réelx permettant de repérerMpar rapport àA: le réel tel que−−→AM=x~v.
Première ES spécialité – 2 007–2 008 2.4 Vecteurs coplanaires
Définition 2.2. SoitAun point de l’espace et~uet~vdeux vecteurs non nuls et non colinéaires de l’espace.
Le planP contenantAet deux représentants de~uet~vd’origineAest l’ensemble des pointsMde l’espace tels que
−−→AM=x~u+y~v.
On pourra éventuellement noterP =(A;~u,~v).
Remarque. Le triplet (A;~u,~v) définit un repère deP, c’est-à-dire qu’à tout pointM∈P, on peut associer un unique couple (x;y) permettant de repérerMpar rapport àA: le couple tel que−−→AM=x~u+y~v.
2.4 Vecteurs coplanaires
Définition 2.3(Coplanarité de vecteurs). Des vecteurs sont dits coplanaires si l’on peut trouver des représentants de ces vecteurs tels que leurs origines et leurs extrémités sont coplanaires.
Deux vecteurs sont toujours coplanaires puisqu’en prenant des représentants de ces vecteurs ayant la même origine on obtient trois points et trois points sont forcément coplanaires. La question ne se pose que lorsqu’il y a trois vecteurs (ou plus) et dans ce cas on a la propriété suivante :
Propriété 2.1. Soient trois vecteurs~u,~v etw. Ces trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si il existe un triplet~ (a;b;c)6=(0; 0; 0)tel que a~u+b~v+cw~=~0.
On l’admettra.
Remarque. Cette propriété n’est valable qu’avec trois vecteurs. Pour quatre vecteurs on trouve toujours (a;b;c;d)6=
(0; 0; 0; 0) tel quea~u+b~v+cw~+d~x=~0 (admis). Il faudra donc, dans ce cas, montrer que trois d’entre eux sont copla- naires, par exemple~u,~vetw, puis que le dernier est aussi coplanaire avec les précédents, par exemple~ ~u,~vet~x.
Cette propriété est équivalente à la suivante, beaucoup plus facile à utiliser dans les démonstrations :
Propriété 2.2. Soient trois vecteurs~u,~v etw. Ces trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si il existe un couple~ (α;β)tel que~u=α~v+βw (ou bien~ ~v=α~w+β~u, ou bienw~=α~u+β~v).
Démonstration de l’équivalence des deux propriétés.
• Supposons qu’il existe un triplet (a;b;c)6=(0;0;0) tel quea~u+b~v+cw~=~0.
Ayant (a;b;c)6=(0; 0; 0), l’un au moins des trois réels est non nul. On peut supposer que c’esta.
Alorsa~u= −b~v−cw~⇔~u= −ba~v−caw.~
• Supposons qu’il existe un couple (α;β) tel que~u=α~v+βw.~ Alors~u−α~v−β~w=~0 donc le triplet (1;−α;−β) convient.
♦ On a les conséquences suivantes à la coplanarité de trois vecteurs :
Propriété 2.3. Soit A, B, C, D, E et F des points distincts de l’espace tels que A, B et C non alignés.
• Il existe(a;b)tels que−−→AD=a−→AB+b−→AC si et seulement si A, B, C et D sont coplanaires.
• Il existe(a;b)tels que−→EF=a−→AB+b−→AC si et seulement si la droite(EF)est parallèle au plan(ABC) Preuve. • Le premier point découle de la définition des vecteurs coplanaires.
• (EF)//(ABC)⇔il existe une droite parallèle à (EF) contenu dans le plan (ABC)⇔−→EF=a−→AB+b−→AC.
♦
2.5 Repérage dans l’espace
De la même façon qu’on a défini un repère pour le plan, on définit un repère dans l’espace de la façon suivante : Définition 2.4. Un repère³
O;~ı,~,~k´
est un repère de l’espace si les pointsO,I,JetK tels queOI−→= −→ı,−→O J= −→ et
−−→OK=−→k ne sont pas coplanaires.
Oest appeléorigine du repèreet³
−
→ı;−→;−→ k´
est appelée labase du repère.
Si les droites (OI), (O J) et (OK) sont perpendiculaires, le repère est ditorthogonal.
Si le repère est orthogonal et quek−→ık = k−→k = k−→
kk, le repère est ditorthonormal(ou orthonormé).
David ROBERT 15
