Cours de mathématiques – Enseignement de spécialité de Première Générale

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Cours de mathématiques –

Enseignement de spécialité de Première Générale

Table des matières

Cours de mathématiques – Enseignement de spécialité de Première Générale...1

Chapitre 1 – Fonctions polynômes du second degré...4

I – Définitions...4

II – Racines d’un trinôme du second degré...4

a) Factorisation d’un trinôme...4

b) Somme et produit des racines d’un trinôme du second degré...5

III – Forme canonique d'un trinôme du second degré...6

a) Discriminant d'un trinôme du second degré...6

b) Racines et factorisation d'un trinôme du second degré...7

c) Signe d'un trinôme...8

IV – Variations d’une fonction polynôme du second degré...8

a) Forme canonique et sens de variation...8

b) Représentation graphique...9

c) Relations entre racines et sommet...10

V – Tableau récapitulatif des trinômes du second degré...11

Chapitre 2 – Probabilités conditionnelles...12

I – Rappels sur les probabilités...12

a) Loi de probabilité sur un ensemble fini...12

b) Évènement...12

c) Union et intersection d'évènements...13

d) Calcul de la probabilité d'une union...14

e) Probabilité de l'évènement contraire...14

II – Probabilités conditionnelles...15

a) Définition d'une probabilité conditionnelle...15

b) Indépendance de deux évènements...15

c) Utilisation d’un arbre de probabilité...16

III – Formule des probabilités totales...17

a) Partition d’un univers...17

b) Formule des probabilités totales...17

Chapitre 3 – Dérivation...19

I – Nombre dérivé d'une fonction en un réel...19

II – Tangente à une courbe en un point...20

III – Fonction dérivée...21

a) Dérivées des fonctions de référence...21

b) Somme de fonctions dérivables et produit d'une fonction dérivable par une constante...22

c) Produit de deux fonctions dérivables...22

d) Inverse d'une fonction dérivable...23

e) Quotient de deux fonctions dérivables...23

f) Composition d’une fonction affine par une fonction dérivable...24 Enseignement de spécialité de Première Générale : 1/58

(2)

IV – Dérivée et sens de variation...24

a) Dérivée d'une fonction monotone...24

b) Sens de variation d'une fonction dérivable sur un intervalle...25

V – Extrema locaux et dérivée...26

Chapitre 4 – Suites numériques...27

I – Définition...27

II – Suites définies par une relation explicite...27

III – Suites définies par une relation de récurrence...28

IV – Sens de variation d'une suite numérique...29

V – Comportement d'une suite à l'infini...30

a) Divergence et limite...30

b) Suite convergente...31

c) Suite divergente sans limite...31

Chapitre 5 – Trigonométrie...32

I – Enroulement sur le cercle trigonométrique...32

a) Le cercle trigonométrique...32

b) Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique...33

c) Mesure d’angle en radians...34

II – Cosinus et sinus...34

a) Cosinus et sinus d'un réel...34

b) Cosinus et sinus d'angles associés...35

c) Valeurs usuelles...36

d) Représentation graphique des fonctions cosinus et sinus...37

Chapitre 6 – Calcul vectoriel et produit scalaire...38

I – Définition et expression du produit scalaire...38

a) Norme d'un vecteur...38

b) Définition du produit scalaire...38

c) Orthogonalité et produit scalaire...39

II – Propriétés du produit scalaire...40

a) Produit scalaire et norme...40

b) Expression analytique du produit scalaire...41

c) Bilinéarité du produit scalaire et conséquences...42

III – Applications du produit scalaire...42

a) Relation d'Al-Kashi...42

b) Caractérisation d’un cercle...42

Chapitre 7 – Variables aléatoires...43

I – Notion de variable aléatoire...43

a) Variable aléatoire...43

b) Loi de probabilité d'une variable aléatoire...43

II – Espérance, variance, écart-type d'une variable aléatoire...44

a) Définitions...44

b) Linéarité de l’espérance...45

III – Loi de probabilité et distribution des fréquences...45

Chapitre 8 – Suites arithmétiques et géométriques...46

I – Suites arithmétiques...46

a) Définition...46

b) Sens de variation...46

c) Terme général d'une suite arithmétique...46

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a) Définition...47

b) Terme général d'une suite géométrique...47

c) Sens de variation...48

d) Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique...48

Chapitre 9 – Fonction exponentielle...49

I – La fonction exponentielle...49

a) Définition...49

b) Propriété fondamentale...49

c) Propriétés algébriques...50

II – Notation exponentielle...51

a) Notation...51

b) Lien avec les suites géométriques...51

III – Étude de la fonction exponentielle...53

a) Signe et sens de variation...53

b) Représentation graphique...53

c) Composition de la fonction exponentielle et d’une fonction affine...54

Chapitre 10 – Droites et cercles dans un repère...55

I – Équations cartésiennes de droites...55

a) Vecteur directeur d’une droite...55

b) Vecteur normal à une droite...56

II – Équations cartésiennes de cercles...58

a) Cercle défini par son centre et son rayon...58

b) Cercle défini par un diamètre...58

c) Équation développée d’un cercle...58

Enseignement de spécialité de Première Générale : 3/58

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Chapitre 1 – Fonctions polynômes du second degré

I – Définitions

Définition : On appelle fonction polynôme du second degré (ou trinôme du second degré) toute fonction P définie sur ℝ pour laquelle il existe des réels a≠0, b, c tels que, pour tout

x∈ℝ, on ait : P(x)=a x²+ b x+c.

L'expression a x²+ b x+c est appelée un polynôme du second degré. Il s’agit de sa forme déve- loppée.

Exemple : La fonction carré f est une fonction polynôme du second degré, puisque pour tout x∈ℝ on a f (x)=x²=1 x²+0 x+0. On a ici a=1, b=0, c=0.

Définition : Soient P un polynôme du second degré et ^x0 un réel.

On dit que ^x0 est une racine réelle de P lorsque P(x₀)=0. Exemple : Soit _P(x)=3 x²−2 x−5.

P(0)=−5 donc 0 n'est pas une racine de P. P

(

⁵³

)

⁼⁰^donc ⁵³ est une racine de P.

II – Racines d’un trinôme du second degré

a) Factorisation d’un trinôme

Propriété admise : Soit P(x)=a x²+b x+c (avec ^a≠⁰) un trinôme du second degré.

Si le réel ^x1 est une racine de P, alors P peut se factoriser par ^x−^x1 sous la forme P(x)=a(x−x1) (x−x2).

Remarques :

• Le réel ^x2 est alors également une racine de P, puisque P(x₂)=a(x₂−x₁)(x₂−x₂)=0.

• a désigne le même réel dans les deux expressions.

• x₁ et ^x2 peuvent désigner le même réel.

• Un trinôme du second degré possède au plus deux racines. En effet, s’il en possède une no- tée ^x1, alors il existe ^x2 tel que P(x)=a(x−x1)(x−x2). Résolvons P(x)=0 : comme

a≠0, on divise par a : (x−x₁)(x−x₂)=0⇔x−x₁=0 ou ^x−^x2=0⇔x=x₁ ou ^x^=x2. On a donc deux racines (si ^x1≠x₂) ou une seule (si ^x1=x₂).

(5)

Exemple : Soit P(x)=2 x²−11 x−51. Déterminons ses racines.

On remarque que P(−3)=2×(−3)²−11×(−3)−51=0 donc ⁻³ est une racine évidente.

On en déduit qu’il existe ^x2∈ℝ tel que ^P(^x)=2⁽^{x−(−3))(x−}^x2)=2(x+3)(x−x₂). Pour déterminer ^x2, on développe et on compare avec la forme développée de P(x) :

P(x)=2(x+3)(x−x₂)=(2 x+6)(x−x₂)=2 x²−2 x₂x+6 x – 6 x₂=2 x²+(−2 x₂+6)x−6 x₂ . On écrit les égalités des coefficients :

{

^{−2 x}^{−6 x}²²⁼²⁺⁶2=−51⁼⁻¹¹

⇔

{

⁻^{2 x}^x²⁼²⁼⁻¹⁷⁵¹⁶ ^⇔

{

^x^x²²⁼⁻⁼⁻¹⁷¹⁷²² ^.

On a bien une solution, donc la deuxième racine est ⁻¹⁷ 2 .

b) Somme et produit des racines d’un trinôme du second degré

Propriété : Soit P un polynôme du second degré défini par P(x)=a x²+b x+c avec a≠0 ayant deux deux racines ^x1 et ^x2, éventuellement égales.

On a alors x₁+x₂=−b

a et x₁×x₂=c a .

Preuve : Si P admet deux racines, alors P peut s’écrire P(x)=a(x−x1)(x−x2). On développe : P(x)=(a x – a x₁)(x−x₂)=a x²−a x₂x−a x₁x+x₁×x₂=a x²−a(x₁+x₂)x+x₁×x₂ .

On écrit les égalités des coefficients :

{

^−a(^{a x}^x¹^a=a^×x¹⁺^x²²^=c^)=b^⇔

{

^x^x¹⁺¹^×^x²^x⁼⁻²⁼^c^a^b^a . On a le résultat souhaité.

E

xemple : Soit P un trinôme dont −4 est une racine et dont le produit des racines est 7, telle que P(0)=5. Déterminons la forme développée de P(x)=a x²+b x+c.

Soit ^x1=−4 la racine. Comme le produit des racines est 7, on en déduit que l’autre racine ^x2 vé- rifie ^x1×x₂=7⇔−4 x₂=7⇔x₂=−7

4 .

Comme le produit des racines égale 7, on a 7=c

a⇔7 a=c⇔a=c 7 . Comme ^P⁽⁰⁾⁼⁵, on en déduit que a 0²+b 0+c=5⇔c=5.

On a alors ^a=₇^c⁼₇⁵ .

La somme des racines est donc ^x1+x₂=−4+

(

⁻⁷4

)

⁼⁻²³4 , or ^x1+x₂=−b a donc

−23 4 =−b

5 7

⇔b=23 4 ×5

7⇔b=115 28 . On en déduit que ^P(^x)=₇⁵ ^x²⁺¹¹⁵₂₈ ^x⁺⁵.

Chapitre 1 – Fonctions polynômes du second degré : 5/58

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III – Forme canonique d'un trinôme du second degré

Théorème : Un trinôme P du second degré Px=a x²b xc (avec a≠0) s'écrit de façon unique sous la forme Px=ax− ² avec ^α=−₂^b_a ,  =−b²–4a c

4a . De plus, P( α )=β. La forme Px=ax− ² est appelée forme canonique du trinôme ^P.

Preuve : Comme a≠0, on peut factoriser par a : ^P^^x^=a



^x²^^b^a ^x



^c^.

Considérons que ^x²^^b_a ^x est le début du développement de l'identité AB²=A²2A BB² : comme



^x2^ba



²⁼^x²^²^x2^ba



2^ba



²⁼^x²^^bax b²

4a² , on a x²b

a x=



^x2^ba



²⁻4^ba²² . On remplace dans Px, puis on développe a :

Px=a

[ ^

^x²^b^a

^

²⁻⁴^b^a²²

]

^c=^a

^

^x²^b^a

^

²⁻⁴^b^a² ^c^.

On met au même dénominateur les deux derniers termes : Px=a



^x2^ba



²⁻



⁴^b^a² ⁻⁴⁴^{a c}^a



^=a



^x2^ba



²⁻^b²⁻4⁴a^{a c} . On remarque que P(α)=a( α−α)²+β=a×0+β=β.

a) Discriminant d'un trinôme du second degré

Définition : Soit P un trinôme du second degré de forme réduite Px=a x²b xc (avec a≠0). On appelle discriminant du trinôme le réel noté  défini par =b²−4a c.

La forme canonique de P s'écrit donc : Px=a



^x2^ba



²⁻4^a pour tout x∈ℝ. Exemple : Soit Px=8 x²−3 x1. Calculons le discriminant (a=8, b=−3, c=1) :

=−3²−4×8×1=−23.

La forme canonique de P est donc Px=8



^x^2×⁻³8



²⁻⁻²³4×8=8



^x−16³



²^²³32 .

(7)

b) Racines et factorisation d'un trinôme du second degré

Théorème : Soit Px=a x²b xc avec ^a≠⁰ un trinôme du second degré et ^ son discri- minant.

• Si 0, alors P admet deux racines réelles distinctes : x₁=−b−^

2a et x₂=−b^

2a et, pour tout x∈ℝ, Px=ax−x₁x−x₂.

• Si =0, alors P admet une seule racine réelle, appelée racine double : x₀=− b

2a et, pour tout x∈ℝ, Px=ax−x0².

• Si 0, alors P n'admet aucune racine réelle, et on ne peut pas factoriser Px. Preuve : La forme canonique étant Px=a



^x2^ba



²⁻4^a , on factorise les deux termes par

a≠0 : Px=a

[ ^

^x²^b^a

^

²⁻⁴^^a²

]

^.

• Si 0, on a Px=a

[ ^

^x²^b^a

^

²⁻

^

^²^^a

^

²

]

, et on peut factoriser à l'aide d'une identité remarquable :

Px=a

[ ^

^x²^b^a^^²^^a

^

^x^²^b^a⁻^²^^a

^ ]

^=a



^x−

^

^−b²^a⁻^²^^a

^ 

^x⁻

^

^−b²^a^^²^^a

^ 

^donc

Px=a



^x−^−b−²^a^^



^x−^−b²^a^^



. On a obtenu la factorisation cherchée, et en résol- vant l'équation produit ^P^^x^=0 avec a≠0, on obtient comme racines distinctes

−b−^

2a et ^−b^ 2a .

• Si =0, on a donc Px=a



^x2^ba



²⁼^a



^x−^−b2a



². On a bien la factorisation souhaitée, et en résolvant l'équation produit Px=0 avec a≠0, on obtient comme racine ^–₂^b_a .

• Si Δ <0, − Δ

4a²>0_donc

(

^x⁺2^ba

)

²^{− Δ}₄_a²^>0 . Donc, pour tout x∈ℝ, P(x)≠0. P n'a donc pas de racine réelle.

Supposons que l'on puisse factoriser ^P . ^P étant de degré 2, on pourrait le factoriser par (x−x₁), ^x1 étant un réel. P(x₁)=0 puisque ^x1−x₁=0, donc ^x1 serait une racine, or P n'en a pas. Donc on ne peut pas factoriser P.

Remarques : Le cas =0 correspond au cas où, après avoir factorisé P par a≠0, on peut utiliser directement une identité remarquable. Le cas =0 peut être vu comme un cas particulier de

0 : on a alors ^x1=x₀ et ^x2=x₀, ce qui justifie l'utilisation de l'expression « racine double ».

(8)

c) Signe d'un trinôme

En dressant le tableau de signe de Px lorsque 0, ou en remarquant comme nous l'avons fait que si Δ <0



^x2^ba



²⁻4^a²0, on peut en déduire les tableaux de signe de Px :

Propriété : Soit P(x)=a x²+b x+c avec ^a≠⁰.

• Si 0, on a ce tableau de signe (on appelle ^x1 la plus petite racine)

x −∞ x₁ x₂ ∞

P(x) Signe de a 0 Signe de −a 0 Signe de a

• Si =0, on a ce tableau de signe :

x −∞ x₀ ∞

P(x) Signe de a 0 Signe de a

• Si 0, on a ce tableau de signe :

x −∞ ∞

P(x) Signe de a

En résumé, le trinôme est du signe de a sauf entre les racines lorsque 0.

IV – Variations d’une fonction polynôme du second de- gré

a) Forme canonique et sens de variation

Soit ^P une fonction polynôme du second degré de forme réduite ^P^(x^{)=a x}²⁺ ^{b x+}^c avec ^a≠⁰. Sa forme canonique est donc P(x)=a(x−α)²+β, avec α=− b

2a et β=−b²–4a c 4a . Théorème : On a comme tableau de variation pour P sur ℝ:

Si a<0 Si a> 0

x −∞ α + ∞

P

β

x −∞ α + ∞

P

β

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Preuve : La fonction P peut être vue comme l’enchaînement suivant : x→x−α→(x−α)²→a(x−α)²→a(x−α)²+β 1) Preuve du sens de variation sur ]−∞;α] :

Soient u et v deux réels appartenant à ]−∞;α] tels que u<v. On a donc u<v⩽α. On applique les fonctions de l’enchaînement constaté ; on a donc u−α<v−α⩽0.

Les nombres u−α et v−α étant négatifs, comme la fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞;0], on inverse l’ordre en passant au carré. On a donc (u−α)²>(v−α )².

On multiplie par a :

• Si a>0 a(u−α)²>a(v−α )²⇔a(u−α )²+β>a(v−α )²+β⇔P(u)>P(v)

• Si a<0 a(u−α)²<a(v−α )²⇔a(u−α )²+β<a(v−α )²+β⇔P(u)<P(v)

On en déduit que sur ]−∞;α] , P est strictement décroissante si a>0 et strictement croissante si a<0.

2) Preuve du sens de variation sur [α;+∞[ _:

Soient u et v deux réels appartenant à [α;+∞[ tels que u<v. On a donc α⩽u<v. On applique les fonctions de l’enchaînement constaté ; on a donc 0⩽u−α<v−α.

Les nombres u−α et v−α étant positifs, comme la fonction carré est strictement croissante sur , [0 ;+∞ [ on conserve l’ordre en passant au carré. On a donc (u−α)²<(v−α )².

On multiplie par a :

• Si a>0 a(u−α)²<a(v−α )²⇔a(u−α )²+β<a(v−α )²+β⇔P(u)<P(v)

• Si a<0 a(u−α)²>a(v−α )²⇔a(u−α )²+β>a(v−α )²+β⇔P(u)>P(v)

On en déduit que sur [α;+∞[ , P est strictement croissante si a>0 et strictement décroissante si a<0.

b) Représentation graphique

En admettant que la fonction P est représentée par une parabole, on a ce résultat immédiat : Théorème : La courbe représentative de la fonction Px=a x²b xc (avec a≠0) est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées

(

⁻²^b^a^{;− Δ}⁴^a

)

^.

Exemple : Soit Px=x²−x−12. Δ=(−1)²−4×1×(−12)=1+48=49

Le sommet de la parabole a pour coordonnées ^S



⁻^2×1⁻¹ ^;−^4×1⁴⁹



^{, soit} ^S



¹²^;−⁴⁹⁴



^.

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c) Relations entre racines et sommet

Propriété : Soit Px=a x²b xc (avec a≠0) une fonction polynôme du second degré re- présentée par une parabole de sommet S(α;β).

• Si Δ <0, il n'y a pas de racine réelle.

• Si Δ =0, la racine réelle double ^x0 est l'abscisse du sommet de la parabole α : α=x₀=− b

2a . Ce sommet est sur l’axe de abscisses puisque β=0.

• Si Δ >0, la moyenne des deux racines réelles est égale à l’abscisse du sommet : α=x₁+x₂

2 .

Graphiquement, c’est une conséquence du fait que la parabole est symétrique par rap- port à la droite x=α .

Preuve : Comme la somme des racines (lorsque Δ⩾0) vaut ^x1+x₂=−b

a (où ^x1et ^x2 peuvent être égaux), et que α=− b

2a, on a les premières relations. De plus, si Δ=0, comme β=− Δ 4a on a β=0.

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V – Tableau récapitulatif des trinômes du second degré

P(x)=a x²+ b x+c (avec a≠0) Discriminant Δ=b²−4a c Forme canonique Px=ax−² avec α=− b

2a et β=P(α )=− Δ 4a

 0  =0  0

Solutions de l'équation a x²+b x+c=0

x₁=−b−√Δ 2a et x₂=−b+√Δ

2a

x₀=− b 2a (racine double)

Pas de solution

Factorisation de a x²+b x+c

a(x−x₁)(x−x₂) _a₍_x−_x₀₎² Pas de factorisation

Somme et produit des racines

x₁+x₂=−b a x₁×x₂=c

a

2x₀=−b a x₀²=c

a Relations entre

les racines, α et β

α=x₁+x₂ 2

α=x₀ β=0

Signe de a x²+b x+c

x – ∞ x₁ x₂ + ∞

P(x)

sig sig sig ne 0 ne 0 ne de de de a −a a si x₁ la plus petite racine

x – ∞ x₀ + ∞

P(x) signe 0 signe de a de a

x – ∞ + ∞

P(x) signe de a

Représentation graphique quand

a>0

Représentation graphique quand

a<0

(12)

Chapitre 2 – Probabilités condition- nelles

I – Rappels sur les probabilités

a) Loi de probabilité sur un ensemble fini

Définition : Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs issues (ou résultats) pos- sibles, et que l'on ne peut pas prévoir laquelle sera réalisée.

On notera Ω l'ensemble des issues possibles. On appelle cet ensemble « l'univers ».

Exemple : On lance un dé cubique classique, on lit la valeur indiquée par la face supérieure.

On a donc Ω={1;2;3;4;5;6}.

Par la suite, on considérera que Ω comporte n issues notées ω₁, ω₂, …, ω_n.

Définition : Définir une loi de probabilité sur Ω={ω₁;ω₂;…;ω_n}, c'est associer à chaque is- sue ω_i un nombre p_i>0 tel que p₁+p₂+ …+p_n=1.

Ce nombre p_i est appelé probabilité de l'issue ω_i.

Exemple : Si le dé de l'exemple précédent est bien équilibré, on a comme loi :

Issue 1 2 3 4 5 6

Probabilité ¹ 6

1 6

1 6 Définition : Lorsque la loi de probabilité associe à toutes les issues d'une expérience aléatoire la même probabilité, on parle de loi équirépartie. On dit aussi que l'on est dans une situation d'équiprobabilité. Si Ω possède n issues, chaque issue a comme probabilité 1

n . b) Évènement

Définition : Ω est l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. Un évènement est une partie de Ω.

• Lorsqu'une issue ω appartient à un évènement A , on dit que ω réalise A (ω∈A ).

• ∅ est appelé évènement impossible, aucune issue ne le réalise.

• Ω est appelé évènement certain, toutes les issues le réalisent.

• Un évènement constitué d'une seule issue est appelé évènement élémentaire.

(13)

Exemple : Pour notre lancer de dé équilibré, soit A l'évènement « Le résultat est un nombre pair ». On a A={2;4;6}. Soit B « Le résultat est un nombre négatif ». B est impossible.

Définition : On dispose d'une loi de probabilité sur Ω ; la probabilité de l'évènement A est la somme des probabilités des issues réalisant A. On note cette probabilité P(A).

Conséquences :

• Aucune issue ne réalise l'évènement impossible, donc P(∅)=0.

• Toutes les issues réalisent l'évènement certain, donc P(Ω)=1.

• Pour tout évènement A , on a 0⩽P(A)⩽1.

Théorème : Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement A est don- née par : P(A)= nombre d'issues réalisant A

nombre total d'issues . c) Union et intersection d'évènements

Définitions : Soient A et B deux évènements.

• A∩B (se lit A inter B) est l'évènement formé des issues qui réalisent à la fois A et B.

• A∪B (se lit A union B) est l'évènement formé des issues qui réalisent au moins l'un des évènements A et B.

A∩B A∪B

Exemple : Concernant le lancer d'un dé, si A est l'évènement « Le résultat est un nombre pair » et B est l'évènement « Le résultat est supérieur ou égal à 4 », on a donc A∩B={4;6}, et

A∪B={2;4;5;6}.

Définition : Lorsque aucune issue ne réalise A et B , c'est-à-dire si A∩B=∅, on dit que A et B sont incompatibles.

Chapitre 2 – Probabilités conditionnelles : 13/58

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d) Calcul de la probabilité d'une union

Théorème : Une loi de probabilité étant définie sur un ensemble Ω, pour tous évènements A et B, on a :

P(A∪B)=P(A)+P(B)– P(A∩B).

Remarque : A et B sont incompatibles si et seulement si P(A∪B)=P(A)+P(B). e ) Prob abilité de l'évènement contraire

Définition : L'évènement contraire de l'évènement A est formé des issues qui ne réalisent pas A. On le note A.

Exemple : Pour le lancer d'une pièce de monnaie, si F est l'évènement « réaliser face », F est l'évènement « ne pas réaliser face », c'est-à-dire « réaliser pile ».

Théorème : Une loi de probabilité étant définie sur un ensemble Ω, pour tout évènement A on P(^A)⁼¹^{– P}⁽^A).

Théorème : Pour tous évènements A et B, on a A∩B=A∪B et A∪B=A∩B.

Exemple : Lors d'une vente promotionnelle dans un magasin, une étude sur 200 clients montre que 120 clients achètent un pull et, parmi eux, 24 ont en plus acheté un pantalon.

De plus, parmi les 80 clients qui n'achètent pas de pull, 40 achètent un pantalon.

On choisit au hasard un client.

Soient A l'évènement « Le client achète un pull » et B l'évènement « Le client achète un panta- lon ».

On a donc P(A)=120

200=0 ,6 et P(A)=1−0 ,6=0 ,4. De plus, P(A∩B)= 24

200=0 ,12, P( ¯A∩B)= 40

200=0 ,2, P(A∩B)= 96

200=0 ,48 et P(A∪B)=P(A∩B)= 40

200=0 ,2.

(15)

II – Probabilités conditionnelles

a) Définition d'une probabilité conditionnelle

On considère deux évènements A et B tels que P(A)≠0 .

Définition : La probabilité de l'évènement B, sachant que A est réalisé, se note P_A(B). On a ^PA(B)=P(A∩B)

P(A) .

Conséquence : On en déduit donc que P(A∩B)=P(A)×P_A(B). Exemple : On considère toujours l’exemple de la vente promotionnelle.

On choisit maintenant un client parmi ceux ayant acheté un pull. L’évènement A est donc réalisé.

La probabilité que celui-ci ait acheté un pantalon est donc P_A(B)=P(A∩B)

P(A) =0 ,12

0 ,6 =0 ,2. On peut remarquer que parmi les 120 personnes ayant acheté un pull, il y en a 24 ayant acheté un pantalon. On retrouve donc que P_A(B)= 24

120=0 ,2.

De même, la probabilité que la personne n’ait pas acheté un pantalon sachant qu’elle a acheté un pull est P_A(B)=P(A∩B)

P(A) =0 ,48

0 ,6 =0 ,8 . On peut ici aussi remarquer que parmi les 120 personnes ayant acheté de pull, 96 n’ont pas acheté de pantalon et que ⁹⁶

120=0 ,8.

b) Indépendance de deux évènements

Définition intuitive : Deux évènements non impossibles A et B sont indépendants si la réalisation de l’un n’influe pas sur la réalisation de l’autre, c’est-à-dire si P_A(B)=P(B) et P_B(A)=P(A).

Remarque : Supposons A et B indépendants.

Comme P_A(B)=P(A∩B)

P(A) , on a ^P(^A∩^B)

P(A) =P(B) ⇔P(A∩B)=P(A)×P(B). De même comme P_B(A)=P(B∩A)

P(B) , on a ^P^(B^∩A⁾

P(B) =P(A)⇔P(B∩A)=P(B)×P(A).

Définition : Soient A et B deux évènements. A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)×P(B).

(16)

c) Utilisation d’un arbre de probabilité

On peut construire un arbre pour illustrer la situation :

Le chemin correspondant à l’évènement A∩B est le chemin qui part de Ω, passe par A et arrive en B . On a en utilisant la formule, P(A∩B)=P(A)×P_A(B).

La probabilité d'un évènement est le produit des probabilités des branches qui composent son chemin.

Comme P(A) +P(A)=1, la somme des probabilités qui partent d'un nœud est égale à 1.

Exemple : On a comme arbre avec l’exemple précédent :

(17)

III – Formule des probabilités totales

a) Partition d’un univers

Définition : Soient A₁, A₂, A₃, …, A_n des évènements d’un univers Ω de probabilités non nulles. Ces évènements forment une partition de l’univers si et seulement si ils sont deux à deux incompatibles et A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_n=Ω.

Exemple : Soit A un évènement. Les évènements A et A forment une partition de l'univers Ω puisque toute issue appartient soit à A , soit à A et que ces deux évènements sont incompatibles.

En effet, on a Ω=A∪A et ∅=A∩A .

b) Formule des probabilités totales

Propriété : Soient A₁, A₂, A₃ , …, A_n des évènements formant une partition d’un univers Ω. Pour tout évènement B de l’univers Ω, on a la formule des probabilités totales :

P(B)=P(A₁∩B) +P(A₂∩B)+P(A₃∩B)+ …+P(A_n∩B)

(18)

Conséquence : Comme pour tous évènements A et B avec P(A)≠0 on a

P(A∩B)=P(A)×P_A(B), on en déduit que si A₁, A₂, A₃, …, A_n forment une partition de Ω, on a pour tout évènement B :

P(B)=P(A1)×PA₁(B)+P(A2)×PA₂(B)+P(A3)×PA₃(B)+…+P(An)×PA_n(B).

Exemple : Avec l’exemple précédent, comme A et A forment une partition de Ω, on a : P(B)=P(B∩A)+P(B∩A)=0,12+0,2=0,32.

La probabilité qu'un client ait acheté un pantalon est 0,32.

On peut donc vérifier maintenant si A et B sont indépendants :

P(A∩B)=0,12 mais P(A)×P(B)=0,6×0,32=0,192 donc A et B ne sont pas indépen- dants.

(19)

Chapitre 3 – Dérivation

I – Nombre dérivé d'une fonction en un réel

Les problèmes de recherche de tangentes à une courbe amènent à s'intéresser au comporte- ment du taux d'accroissement ^f ^ah^−^f ^a

h d'une fonction f entre a et ah lorsque h tend vers zéro, c'est-à-dire lorsque h prend des valeurs strictement positives ou strictement négatives de plus en plus proches de zéro.

En physique par exemple, si dt est la position d'une voiture sur une route rectiligne à l'instant t, ^d^t^^h−d^t^

h sera la vitesse moyenne du véhicule entre les instants th et t. Lorsque h va tendre vers zéro, ^d^t^^h−d^t^

h va tendre vers la vitesse instantanée à l'instant t. Définition : Soit f une fonction définie sur ^Df, où ^Df est un intervalle ou une réunion d'in- tervalles, et soit a un réel appartenant à ^Df.

On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un réel, que l'on note f 'a, tel que lim

h0

f ah−f a

h =f 'a. Ce réel f 'a, s'il existe, est le nombre dérivé de la fonction f en a.

Remarque : Ce réel f 'a est parfois noté ^d ^f

dx a. Cette notation est surtout utilisée en physique.

Exemple : Soit f la fonction carré (définie sur ℝ). Cherchons si f est dérivable en −3 : Soit h≠0, le taux d'accroissement de f entre −3 et −3+h est :

f(−3+h)−f(−3)

h =(−3+h)²−(−3)²

h =9−6 h+h²−9

h =h(−6+h)

h =−6+h. Comme lim

h→0−6+h=−6 , f est dérivable en −3 et f '(−3)=−6.

Chapitre 3 – Dérivation : 19/58

(20)

II – Tangente à une courbe en un point

Définition : Soit ^Cf la courbe représentative d'une fonction f dans le plan muni d'un repère



O ;i ,j



; soit a un réel appartenant à l'ensemble de définition ^Df de la fonction f. Si la fonction f est dérivable en a, alors la droite  qui passe par le point A



a , f a



et ayant pour coefficient directeur f 'a est la tangente à la courbe ^Cf au point A.

Théorème : Δ , tangente à la courbe de f au point d’abscisse a, a pour équation y=f 'ax−af a.

Preuve : L'équation de  est de la forme y=f 'axb, puisque f 'a est son coefficient directeur. Comme Aa , f a∈ , alors ses coordonnées vérifient l'équation :

f a=f 'aab donc ^b=−^{f '}^a^a^^f ^a^, donc ^y=^{f '}^a^^x−^{f '}^a^^a^f ^a^, soit y=f '(a)(x−a)+f(a).

Exemple : Soit f définie sur ]−∞;0[∪]0;+∞[ par f (x)=1

x . Cherchons l'équation de la tan- gente en A d'abscisse x=2 à ^Cf, si elle existe.

Déterminons si f est dérivable en 2 : soit h un réel tel que h est différent de 0 et – 2.

Le taux d'accroissement de f entre 2 et 2+h est : f(2+h)−f (2)

h =

1 2+h−1

2

h =

2

2(2+h)− 2+h 2(2+h)

h =

− h

2(2+h)

h =− h

2 h(2+h)=− 1 2(2+h)

. Comme ^lim

h→0 2+h=2, f est dérivable en 2 et ^{f '}⁽²⁾⁼⁻ ¹

2×2=−1

4 , la tangente en x=2 à la courbe existe, son équation est y=f '(2)(x−2)+ f(2) soit

y=−1

4(x−2)+1

2 , soit encore y=−1 4 x+1.

Si f est dérivable en a, f '(a)(x−a)+ f(a) est la meilleure approximation affine de f(x)

(21)

III – Fonction dérivée

Définition : Soit f une fonction définie sur ^Df, où ^Df est un intervalle ou une réunion d'in- tervalles. Si l'ensemble ^Df ' des réels x tels que f soit dérivable en x est non vide, la fonc- tion dérivée de f est la fonction f ' qui a tout ^x^∈^Df ' associe le nombre dérivé f '(x). Exemples :

• Soit f la fonction définie sur ℝ par _f (x)=x² . Pour tout x∈ℝ et h≠0, f(x+h)−f(x)

h =(x+h)²−x²

h =x²+2 x h+h²−x²

h =2 x h+h²

h =h(2 x+h)

h =2 x+h. Comme lim

h→0 2 x+h=2 x, la fonction f est dérivable sur ℝ par f '(x)=2 x.

• Soit g la fonction définie sur ]−∞;0[∪]0 ;+∞[ par ^g⁽^x)=¹

x . Pour x≠0 et h≠0, h≠−x,

g(x+h)−g(x)

h =

1 x+h−1

x

h =

x

x(x+h)− x+h x(x+h)

h =

− h

x(x+h)

h =− h

x h(x+h)=− 1 x(x+h)

. lim

h→0− 1

x(x+h)=−1

x² donc g est dérivable sur ]−∞;0[∪]0 ;+∞ [ par g '(x)=− 1 x² . a) Dérivées des fonctions de référence

On note ^Df l'ensemble de définition de la fonction f et ^Df ' celui de la fonction dérivée de f.

D_f f x= D_{f '} f 'x=

ℝ k (constante) ℝ 0

ℝ x ℝ 1

ℝ x² ℝ 2x

]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[ 1 x

]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[

−1 x²

ℝ xⁿ (avec n∈ℕ^*) ^ℝ n xⁿ⁻¹

]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[ 1

xⁿ (avec n∈ℕ^*) ^{]−∞; 0[∪]}^{0 ;+ ∞[} ⁻ ⁿ

xⁿ⁺¹

[0 ;+ ∞[

√

^x ^]^{0 ;+ ∞[} ¹

2

√

^x

Exemple : La fonction ^f définie sur ^ℝ par f (x)=x⁸ est dérivable sur ^ℝ par f '(x)=8 x⁷ .

(22)

b) Somme de fonctions dérivables et produit d'une fonction dérivable par une constante Théorème (admis) : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I, et  un réel. Alors :

• La fonction uv est dérivable sur I et uv'x=u 'xv 'x.

• La fonction u est dérivable sur I et u'x=u 'x. Exemples :

• f est définie sur ℝ par f (x)=x²+x³.

f est dérivable sur ℝ comme somme de deux fonctions dérivables sur ℝ et f '(x)=2 x+3 x³⁻¹=2 x+3 x².

• f est définie sur ]0 ;+∞[ par f (x)=3 x³−1 x .

f est dérivable sur ]0 ;+∞[ comme somme de deux fonctions dérivables sur ]0 ;+∞[ et f '(x)=3×3 x²−

(

⁻x¹²

)

^{=9 x}²⁺x¹² .

c) Produit de deux fonctions dérivables

Théorème : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I. Alors la fonc- tion produit u v est dérivable sur I et uv'x=u 'xvxv 'xux.

Exemple : f est définie sur ℝ par f (x)=2 x³×(4 x−5).

f est dérivable sur ℝ comme produit de deux fonctions dérivables sur ℝ :

f (x)=u(x)v(x) avec u(x)=2 x³ et v(x)=4 x−5. u '(x)=2×3 x²=6 x² et v '(x)=4 . f '(x)=u '(x)v(x)+v '(x)u(x)=6 x²(4 x−5)+4×2 x³=6 x²(4 x−5)+8 x³.

Preuve du théorème : Soient x∈I et h≠0 tels que x+h∈I. On pose t₁(h)=u(x+h)−u(x)

h et t₂(h)=v(x+ h)−v(x)

h .

Par définition, lim

h→0 t₁(h)=u '(x) et lim

h→0 t₂(h)=v '(x) (1).

On remarque que ^u⁽^x+ ^h)=u⁽^x⁾⁺^{h t}1(h) et ^v⁽^x+^h)=^v⁽^x⁾⁺^{h t}2(h). (2) Calculons le taux d'accroissement de uv entre x et x+ h :

(uv)(x+ h)−(uv)(x)

h =u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)

h avec (2) :

(uv)(x+ h)−(uv)(x)

h =(u(x)+h t₁(h))×(v(x)+h t₂(h))−u(x)v(x) h

(uv)(x+ h)−(uv)(x)

h =u(x)v(x)+u(x)h t₂(h)+h t₁(h)v(x)+h²t₁(h)t₂(h)−u(x)v(x) h

(uv)(x+ h)−(uv)(x)

h =h(u(x)t₂(h)+t₁(h)v(x)+ht₁(h)t₂(h))

h . On simplifie par h≠0 :

(uv)(x+ h)−(uv)(x)

h =u(x)t₂(h)+t₁(h)v(x)+h t₁(h)t₂(h). D'après (1), lim

h→0 t₁(h)=u '(x) et lim

h→0 t₂(h)=v '(x) donc lim

h→0 h t₁(h)t₂(h)=0 et lim (uv)(x+ h)−(uv)(x)

=u(x)v '(x)+u '(x)v(x).

(23)

d) Inverse d'une fonction dérivable

Théorème : Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I, telle que v ne s'annule pas sur I. Alors la fonction ¹_v est dérivable sur I et



¹^v



^'^^x^=−[^{v '}v^x^x]^² .

Exemple : f est définie sur [10 ;+∞ [ par f (x)= 1 4 x−3 .

f est dérivable sur [10 ;+∞ [ comme inverse d'une fonction dérivable sur [10 ;+∞ [. f (x)= 1

v(x) avec v(x)=4 x−3 . v '(x)=4 . f '(x)=− v '(x)

[v(x)]²=− 4 (4 x−3)² .

Preuve : Soient x∈I et h≠0 tels que x+ h∈I. Le taux d'accroissement de ¹

v entre x et x+ h est :

1

v(x+ h)− 1 v(x)

h =

v(x)−v(x+h) v(x+ h)×v(x)

h =−v(x+h)−v(x)

h × 1

v(x+h)v(x) . Or ^lim

h→0

v(x+h)−v(x)

h =v '(x) car v est dérivable en x et en admettant que ^lim

h→0

v(x+ h)=v(x), on obtient le résultat souhaité.

e) Quotient de deux fonctions dérivables

Théorème : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I, telle que v ne s'annule pas sur I. Alors la fonction quotient ^u_v est dérivable sur I et



^u^v



^'^^x^=^{u '}^^x^^v^[^{x−v '}vx]²^^x^^u^x .

Exemple : f est définie sur [10 ;+∞ [ par f (x)= x² 4 x−3 .

f est dérivable sur ^[10 ;+∞ [ comme quotient de deux fonctions dérivables sur ^[10 ;+∞ [. f (x)=u(x)

v(x) avec u(x)=x² et v(x)=4 x−3. u '(x)=2 x et v '(x)=4. f '(x)=u '(x)v(x)−v '(x)u(x)

[v(x)]² =2 x(4 x−3)−4×x²

(4 x−3)² =8 x²−6 x−4 x²

(4 x−3)² =4 x²−6 x (4 x−3)² .

Cours de mathématiques – Enseignement de spécialité de Première Générale