Terminale STG Chapitre 11 : régionnement du plan. Page n ° 1 2007 2008
Que ce soit en mathématiques ou dans d'autres domaines, le but de nombreux problèmes est de déterminer plusieurs quantités, à priori inconnues, soumises à certaines conditions. Parfois, ces conditions se traduisent par un système d'équations ou d'inéquations linéaires. Dans un premier temps, nous allons revoir la notion de droite et découvrir le régionnement du plan avant de pouvoir résoudre un problème de programmation linéaire dans le chapitre 12.
E1 Activité d'approche.
N ° 1
Le plan est rapporté à un repère ( O ; Åi , Åj ).
1 ) Soit D l'ensemble des points de coordonnées ( x ; y ) tels que 2x + 3y = 4.
a ) Exprimer y en fonction de x.
b ) Que peut-on dire de cet ensemble de points ? c ) Représenter cet ensemble de points.
2 ) Soit E l'ensemble des points de coordonnées ( x ; y ) tel que 2x + 3y ≥ 4.
a ) Ecrire une inéquation du type y ≥ mx + p.
b ) Que peut-on dire de cet ensemble de points ? c ) Représenter cet ensemble de points.
1 Droite d'équation ax + by = c.
Le plan est rapporté à un repère ( O ; Åi , Åj ).
Soient a, b, et c trois nombres réels tels que l'un au moins des nombres a ou b n'est pas nul.
Alors l'ensemble d des points du plan de coordonnées ( x ; y ) tels que ax + by = c est une droite.
On dit que ax + by = c est une équation de la droite d.
Remarques : voir feuille annexe.
E2 Savoir représenter une droite d'équation ax + by = c.
N ° 2
a ) Tracer la droite d'équation 3x + 2y = 5.
b ) Tracer la droite d'équation 2y = 8.
c ) Tracer la droite d'équation 5x = - 10.
2 Savoir déterminer une équation de droite.
Le plan est rapporté à un repère ( O ; Åi , Åj ).
Soient A ( xA ; yA ) les coordonnées d’un point A et B ( xB ; yB ) les coordonnées d’un point B, distinct de A.
Soit d la droite ( AB ).
Alors le coefficient directeur est m =
A B
A B
x x
y y
−
−
A point un d' abscisse -
B point un d' abscisse
A point un d' ordonnée -
B point un d' ordonnée
= .
Ensuite pour trouver l’équation de la droite je reprends yA = m xA + p ou yB = m xB + p.
Ce qui permet de calculer p ( que l'on appelle l'ordonnée à l'origine ).
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Démonstration : voir feuille annexe.
Exemple : A ( - 1 ; - 3 ) et B ( 4 ; 7 ). Déterminer une équation de la droite ( AB ). Voir feuille annexe.
E3 Savoir trouver une équation de droite.
Déterminer les équations de droites passant par les points donnés.
N ° 3 Première droite A ( 1 ; 3 ) et B ( - 7 ; 3 ) N ° 4 Deuxième droite A ( 1 ; - 5 ) et B ( - 2 ; 10 ) N ° 5 Troisième droite A ( - 2 ; 3 ) et B ( - 2 ; - 2 ) N ° 6 Quatrième droite A ( 7 ; 1 ) et B ( 3 ; - 7 ).
3 Régionnement du plan par une droite.
La droite d d'équation ax + by = c partage le plan en deux demi plans dans lesquels la frontière d est incluse : un demi plan fermé P1 : ensemble des points M de coordonnées ( x ; y ) tels que ax + by ≥ c.
un demi plan fermé P2 : ensemble des points M de coordonnées ( x ; y ) tels que ax + by ≤ c.
Pour différencier ces demi plans, on calcule la valeur de ax + by pour les coordonnées d'un point particulier non choisi sur d et on détermine son signe.
Autre façon de procéder.
La droite d dont l’équation est y = mx + p délimite deux demi-plans.
L’ensemble des points M de coordonnées ( x ; y ) tels que y > mx + p est l’ensemble des points situés strictement au-dessus de la droite d.
L’ensemble des points M de coordonnées ( x ; y ) tels que y ≤ mx + p est l’ensemble des points contenant d et situés en-dessous de la droite d.
Exemple : voir feuille annexe.
E4 Savoir trouver un régionnement du plan par une droite.
On fera autant de graphiques que de questions.
N ° 7 Déterminer graphiquement, l'ensemble des points de coordonnées ( x ; y ) tels que y ≤ 3x + 2.
N ° 8 Déterminer graphiquement, l'ensemble des points de coordonnées ( x ; y ) tels que y ≥ 4x − 1.
N ° 9 Déterminer graphiquement, l'ensemble des points de coordonnées ( x ; y ) tels que y ≤ 0.
N ° 10 Déterminer graphiquement, l'ensemble des points de coordonnées ( x ; y ) tels que x > 0.
N ° 11 Déterminer graphiquement, l'ensemble des points de coordonnées ( x ; y ) tels que y < -2x + 3.
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4 Vocabulaire.
Le coût de production d'un produit se décompose généralement en coûts fixes et en coûts variables.
Les coûts variables sont des coûts proportionnels à la quantité produite.
En général les coûts fixes sont calculés pour x = 0.
La recette réalisée pour la vente d'un produit est proportionnelle à la quantité vendue.
Le bénéfice ou profit ( ou la perte ) est la différence entre les recettes et les coûts de production.
Le seuil de rentabilité correspond au niveau d'activité minimum que doit atteindre une entreprise ( par exemple ) pour obtenir un résultat nul, c'est à dire ne réaliser à ce seuil ni profit, ni perte.
E5 Seuil de rentabilité à deux produits.
N ° 12
Sur le marché, un commerçant vend des bijoux et des serviettes brodées avec un prénom.
Soit x le nombre de bijoux vendus chaque jour. Soit y le nombre de serviettes vendues chaque jour.
Les prix et les coûts, exprimés en euros, sont donnés dans le tableau ci dessous.
Bijoux Serviettes
Prix de vente unitaire 4 7
Coûts fixes 50 70
Coûts variables par unité 1 3
Appelons C ( x ) le coût total de production de x bijoux.
Appelons C ( y ) le coût total de production de y serviettes.
Appelons R ( x ) la recette totale obtenue pour la vente de x bijoux.
Appelons R ( y ) la recette totale obtenue pour la vente de y serviettes.
1 ) a ) Déterminer C ( x ), C ( y ), R ( x ) et R ( y ).
1 ) b ) Démontrer que R ( x ) + R ( y ) − [ C ( x ) + C ( y ) ] = 3x + 4y − 120.
2 ) a ) Soit d la droite d'équation 3x + 4y = 120. Déterminer deux points appartenant à cette droite.
2 ) b ) Tracer la droite d dans un repère orthonormal d'unités graphiques 2 cm pour 10 produits.
Cette droite d est appelée droite de point mort.
En effet, pour chaque couple ( x ; y ) de nombres entiers naturels vérifiant l'équation de d, le seuil de rentabilité est atteint.
3 ) a ) Indiquer au commerçant toutes les possibilités de ventes quotidiennes permettant d'atteindre le seuil de rentabilité.
3 ) b ) Caractériser par une inéquation le demi plan correspondant à un profit pour le commerçant.
