[ Baccalauréat Blanc ∗ Lycée Bertran de Born \ [ 14 mars 2011 \

(1)

Série S.

Épreuve de mathématiques : durée 4 heures.

Calculatrice autorisée.

La feuille Annexe est à rendre avec la copie.

E

XERCICE

1 4 points

Commun à tous les candidats

Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1. a à 3. d sont propo- sées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l’affirma- tion, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.

Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Pour tout réel x, e

^x

désigne l’image de x par la fonction exponentielle.

Affirmation 1. a Pour tous les réels a et b : (e

^a

)

^b

= e

^¡^a^b^¢

. Affirmation 1. b Pour tous les réels a et b : e

^a⁻^b

= e

^a

e

^b

.

Affirmation 1. c La droite d’équation y = x +1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d’abscisse 1.

2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.

Affirmation 2. a Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

Affirmation 2. b Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.

Affirmation 2. c Si f est dérivable en a, alors la fonction h 7→ f (a + h)− f (a)

h admet une limite finie en 0.

3. Fonctions exponentielles de base a et fonctions puissances.

Affirmation 3. a La dérivée de la fonction f définie par f (x) = 3

^x

est la fonction f

^′

définie par f

^′

(x) = x3

^x⁻¹

.

Affirmation 3. b Si a et b sont deux réels,tels que 0 < a < b, alors, pour tout réel x positif, on a : a

^x

< b

^x

.

Affirmation 3. c Pour x > 0, p

⁵

x

¹⁵

= x

⁶

x

³

Affirmation 3. d Les solutions de l’inéquation

µ 3 2

¶

x

< 9

4 sont les réels x tels que x < 3

2 .

(2)

E

XERCICE

2 6 points Pour les candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ³ O, − →

u , − → v ´

(unité gra- phique : 4 cm).

Soit A le point d’affixe z

A

= i et B le point d’affixe z

B

= e

⁻ⁱ^5π⁶

. 1. Soit r la rotation de centre O et d’angle 2π

3 . On appelle C l’image de B par r.

a. Déterminer une écriture complexe de r . b. Montrer que l’affixe de C est z

C

= e

⁻ⁱ^π⁶

.

c. Écrire z

B

et z

C

sous forme algébrique.

d. Placer les points A, B et C.

2. Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coeffi- cients 2, − 1 et 2.

a. Montrer que l’affixe de D est z

D

= p 3

2 + 1

2 i. Placer le point D.

b. Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle.

3. Soit h l’homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l’image de D par h.

a. Déterminer une écriture complexe de h.

b. Montrer que l’affixe de E est z

E

= p

3. Placer le point E.

4. a. Calculer le rapport z

D

− z

C

z

E

− z

C

. On écrira le résultat sous forme exponen- tielle.

b. En déduire la nature du triangle CDE.

E

XERCICE

2 6 points

Candidat ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ³ O, − →

u , → − v ´

. On prendra 5 cm pour unité graphique.

Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M

^′

d’affixe z

^′

définie par :

z

^′

= µ 1

2 + 1 2 i

¶ z + 1.

1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω (d’affixe ω), le rapport k et l’angle θ.

2. On note A

0

le point O et, pour tout entier naturel n, on pose A

n+1

= f (A

n

).

a. Déterminer les affixes des points A

1

A

2

, A

3

puis placer les points A

0

, A

1

, A

2

et A

3

.

b. Pour tout entier naturel n , on pose u

n

= ΩA

n

. Justifier que la suite (u

n

) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n,

u

n

= p 2

µ 1 p 2

¶

n

.

c. À partir de quel rang n

0

tous les points A

n

appartiennent-ils au disque de centre Ω et de rayon 0,1 ?

3. a. Quelle est la nature du triangle ΩA

0

A

1

?

En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle ΩA A

1

.

(3)

b. Pour tout entier naturel n, on note ℓ

n

la longueur de la ligne brisée A

0

A

1

A

2

... A

n−1

A

n

. On a ainsi : ℓ

n

= A

0

A

1

+ A

1

A

2

+...+A

n−1

A

n

. Exprimer ℓ

n

en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ℓ

n

) ?

E

XERCICE

3 5.5 points

Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur R par :

f (x) = 9

2 e

⁻^2x

− 3e

⁻^3x

. Partie A :

Soit l’équation différentielle (E) : y

^′

+2y = 3e

⁻^3x

. 1. Résoudre l’équation différentielle (E

^′

) : y

^′

+ 2y = 0.

2. En déduire que la fonction h définie sur R par h(x) = 9

2 e

^−2x

est solution de (E

^′

).

3. Vérifier que la fonction g définie sur R par g(x) = −3e

⁻^3x

est solution de l’équa- tion (E).

4. En remarquant que f = g +h, montrer que f est une solution de (E).

Partie B :

On nomme C

_f

la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ³ O, → −

ı , − →

 ´ d’unité 1 cm.

1. Montrer que pour tout x de R on a : f (x) = 3e

^−2x

µ 3

2 − e

⁻^x

¶ . 2. Déterminer la limite de f en +∞ puis la limite de f en −∞.

3. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f . 4. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C

_f

avec les

axes du repère.

5. Calculer f (1) et tracer l’allure de la courbe C

_f

sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec la copie.

E

XERCICE

4 4.5 points

Commun à tous les candidats

On admet le résultat suivant : "Toute suite minorée et décroissante converge."

Partie A

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par f (x) = x

ln x

1. a. Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en +∞ . b. Étudier les variations de la fonction f .

2. Soit (u

n

) la suite définie par u

0

= 5 et u

n+1

= f (u

n

) pour tout entier naturel n.

(4)

a. On a tracé la courbe représentative C de la fonction f sur la figure don- née en annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d’équa- tion y = x et les points M

1

et M

2

de la courbe C d’abscisses respectives u

1

et u

2

. Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (u

n

).

b. Démontrer que pour tout entier naturel n , on a u

n

> e (on pourra utiliser la question 1. b.).

c. Démontrer que la suite (u

n

) converge vers un réel ℓ de l’intervalle [e ; +∞ [.

Partie B

On rappelle que la fonction f est continue sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

1. (Question Hors barème) En étudiant de deux manières la limite de la suite

¡ f (u

n

) ¢

, démontrer que f (ℓ) = ℓ.

2. En déduire la valeur de ℓ.

(5)