1. VRAI 2. VRAI 3. FAUX 4. VRAI 5. VRAI

(1)

Polynésie 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 (5 points)(commun à tous les candidats)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O,−→ u ,→−

v . 1)Soient Ale point d’affixe2−5iet Ble point d’affixe7−3i.

Proposition 1 :Le triangleOAB est rectangle isocèle.

2)Soit(∆)l’ensemble des pointsMd’affixez telle que|z−i|=|z+2i|.

Proposition 2 :(∆)est une droite parallèle à l’axe des réels.

3)Soitz=3+i√ 3.

Proposition 3 :Pour tout entier naturel nnon nul,z³ⁿ est imaginaire pur.

4)Soitzun nombre complexe non nul.

Proposition 4 :Si π

2 est un argument dezalors|i+z|=1+|z|.

5)Soitzun nombre complexe non nul.

Proposition 5 :Si le module dezest égal à1alorsz²+ 1

z² est un nombre réel.

(2)

Polynésie 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 : corrigé

1. VRAI 2. VRAI 3. FAUX 4. VRAI 5. VRAI

Justification 1.

• OA=|z_A|=|2−5i|=p

2²+ (−5)²=√ 29.

• OB=|z_B|=|7−3i|=p

7²+ (−3)²=√ 58.

• AB=|zB−zA|=|(7−3i) − (2−5i)|=|5+2i|=√

5²+2²=√ 29.

Donc, AB = AO et le triangle OAB est isocèle en A. De plus, AO²+AB² = 29+29 = 58 = OB² et d’après la réciproque du théorème dePythagore, le triangleOAB est rectangle enA.

Finalement, le triangleOABest rectangle et isocèle enA. La proposition 1 est vraie.

Justification 2.Posonsz=x+iyoùxetysont deux réels.

|z−i|=|z+2i|⇔|x+i(y−1)|²=|x+i(y+2)|²⇔x²+ (y−1)²=x²+ (y+2)²

⇔y²−2y+1=y²+4y+4⇔y= −1 2.

(∆)est donc une droite parallèle à l’axe des abscisses qui est l’axe des réels. La proposition 2 est vraie.

Justification 3.

3+i√ 3=2√

3

√3 2 + 1

2i

!

=2√ 3

cosπ 6

+isinπ 6

=2√ 3e^iπ/6.

Ensuite, sinest un entier naturel non nul, z³ⁿ=

2√

3e^iπ/63n

= 2√

33n

e^i3nπ/6= 2√

33n

e^inπ/2. En particulier, sin=2, on obtient

z⁶=z^3×2= 2√

33×2

e^i2π/2= − 2√

36

qui n’est pas un imaginaire pur. Donc la proposition 3 est fausse.

Justification 4.Un nombre complexe non nul d’argument π

2 est un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive. Posonsz=iyoùyest un réel strictement positif.

• |i+z|=|i(y+1)|=|i|×|y+1|=y+1 car|i|=1 et cary+1>0.

• 1+|z|=1+|iy|=1+|i|×|y|=y+1car|i|=1et cary>0.

Donc|i+z|=1+|z|et la proposition 4 est vraie.

Justification 5.Soitzun nombre complexe de module1. Il existe un réelθtel que z=e^iθ. Alors

z²+ 1

z² = (e^iθ)²+ 1

(e^iθ)² =e^2iθ+e⁻^2iθ=cos(2θ) +isin(2θ) +cos(2θ) −isin(2θ)

=2cos(2θ).

Doncz²+ 1

z² est un nombre réel et la proposition 5 est vraie.