Vrai Faux 2

Calcul Int´egral (L3),Universit´e de Cergy–Pontoise Examen du 17 d´ecembre 2009, dur´ee : 3 heures

Les notes de cours ne sont pas autoris´ees¹ Premi`ere partie

Questions. (5 points)Pour les questions 1–10, donner la r´eponse sans justi- fication. Chaque bonne r´eponse vaut 0,5 point.

1. La tribu bor´elienne sur [0,1] contient l’ensembleA={_n¹, n≥1}.

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2. Toute fonction mesurable f : R→R peut ˆetre repr´esent´ee sous la forme f =f⁺−f⁻, o`uf^± sont des fonctions mesurables non n´egatives.

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3. Toute fonction continuef : [0,1]→Rest int´egrable au sens de Lebesgue.

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4. Soit f : [0,1]→ Rune fonction mesurable. Alors l’ensemble suivant est bor´elien : {x∈[0,1] :f(x) =n⁻²pour un entiern≥1}.

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5. SoitX = [1,+∞) avec la tribu bor´elienne et la mesure de Lebesgueλ. La fonctionf(x) =x⁻¹appartient `a l’espaceL²(X, λ).

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6. SoitX = [0,1] avec la tribu bor´elienne et la mesure de Lebesgueλ. Soit fn : X →R une suite de fonctions int´egrables qui converge simplement vers une fonction int´egrablef :X →R. AlorsR

Xf_ndλ→R

Xf dλ quand n→ ∞.

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7. SoitX = [0,1] avec la tribu bor´elienne. Alors la masse de Dirac concentr´ee au point ¹₂ est absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgue.

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8. Une mesureµest absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgue surRsi et seulement siµ(Γ) = 0 pour tout ensemble ferm´e born´e Γ⊂R.

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9. Toute mesureµsurX = [0,1] absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgue λ v´erifie l’in´egalit´eµ(Γ) ≤cλ(Γ) avec une constantec > 0 qui ne d´epend pas de Γ∈ BX.

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1La note finale est calcul´ee par la formuleNote finale = min(N1,10) +N2, o`uN1etN2 sont les notes pour les parties I et II.

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10. Soitµi,i= 1,2 deux mesures surX = [0,1] etµ=µ1⊗µ2. Alors il existe Γi∈ BX_i,i= 1,2, tel queµ(Γ1×Γ2)< µ1(Γ1)µ2(Γ2).

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Questions de cours. SoitX = [0,1].

(a) (2 points)Donner la d´efinition d’une tribu surX.

(b) (1 point)Donner la d´efinition de la tribu bor´elienne surX.

(c) (2 points)Enoncer le th´eor`eme de Lebesgue sur la convergence domin´ee.

(d) (1 point)Enoncer l’in´egalit´e de Minkowski.

Questions de TD. Pour les questions suivantes il faut donner des d´emonstra- tions compl`etes.

(a) (2 points)SoitX= [0,1] muni de la tribu bor´elienne,µune mesure surX telle que µ(X) = 1 et S l’ensemble de fonctions f : X → R mesurable strictement positive. Trouver la valeur minimum de la fonctionH :S →R d´efinie par

H(f) = Z

X

f dµ· Z

X

f⁻¹dµ.

(b) (2 points) Soit X = [a, b] muni de la tribu bor´elienne, µ une mesure sur X et f : X → R+ une fonction mesurable. Montrer que pour tout C >0 on a

µ {x∈X :f(x)≥C}

≤C⁻¹ Z

X

f dµ.

Deuxi`eme partie

Exercice 1. Soitf : [0,1]²→Rune fonction d´efinie parf(x, y) = (1−xy)⁻¹ pour 0≤x, y <1. On admet le fait que RR

[0,1]²f dxdy=^π₆². (a) (1 point) Montrer que f(x, y) = P∞

k=0(xy)^k pour 0 ≤ x, y < 1, o`u la s´erie converge simplement.

(b) (2 points) En d´eduire que P∞

n=1n⁻² = ^π₆². (Les passages `a la limite doivent ˆetre justifi´es.)

Exercice 2. On poseIn(x) =R∞

0 tⁿ⁻¹e^−txdtpourx >0.

(a) (2 points) CalculerI1(x) et montrer queI_n⁰(x) =−In+1(x). (On justi- fiera la d´erivation sous l’int´egrale.)

(b) (2 points)En d´eduire une formule explicite pourIn(x).

Exercice 3. (a) (1 point)Donner la d´efinition d’une mesure σ-finie.

(b) (2 points)Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Radon–Nikodym pour des mesuresσ-finies. (On admet le cas de mesures finies.)

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