Vrai Faux 2

Calcul Int´egral (L3),Universit´e de Cergy–Pontoise Examen du 13 d´ecembre 2010, dur´ee : 3 heures

Les notes de cours ne sont pas autoris´ees¹ Premi`ere partie

Questions. (5 points)Pour les questions 1–10, donner la r´eponse sans justi- fication. Chaque bonne r´eponse vaut 0,5 point.

1. La tribu bor´elienne sur [0,1] contient l’ensembleA={_n¹2, n≥1} ∪ {0}.

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2. Soitf :R→Rune fonction telle quef =f1+f2, o`uf1est continue etf2

est bor´elienne. Alorsf est bor´elienne.

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3. Soit f : [0,1]→ Rune fonction mesurable. Alors l’ensemble suivant est bor´elien : {x∈[0,1] :f(x)6=n⁻²pour tout entiern≥1}.

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4. Une mesureµest absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgue surRsi et seulement siµ(Γ) = 0 pour tout ensemble ouvert born´e Γ⊂R.

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5. Toute mesureµsurX = [0,1] absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgueλv´erifie l’in´egalit´eµ(Γ)≤2λ(Γ) pour tout Γ∈ BX.

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6. Soit X = [0,1] avec la tribu bor´elienne et la mesure µ =P∞

k=1δx_k, o`u {xk} est une suite dense dans [0,1]. Alorsµest absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgue.

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7. SoitX = [1,+∞) avec la tribu bor´elienne et la mesure de Lebesgueλ. La fonctionf(x) =x⁻¹e^−1/xappartient `a l’espaceL²(X, λ).

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8. Soit X = R avec la tribu bor´elienne et la mesure de Lebesgue λ. Soit f_n :X →Rune suite de fonctions int´egrables qui converge uniform´ement vers 0. AlorsR

Xfndλ→0 quandn→ ∞.

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9. Soitµi,i= 1,2 deux mesures surX = [0,1] etµ=µ1⊗µ2. Alors il existe Γi∈ BXi,i= 1,2, tel queµ(Γ1×Γ2)<2µ1(Γ1)µ2(Γ2).

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1La note finale est calcul´ee par la formuleNote finale = min(N1,10) +N2, o`uN1etN2 sont les notes pour les parties I et II.

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10. Toute fonction diff´erentiablef :R→Rest int´egrable au sens de Lebesgue.

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Questions de cours. (a) (1 point) Soient a, b ∈ R deux r´eels v´erifiant l’in´egalit´ea < b+_n¹ pour toutn≥1. Montrer quea≤b.

(b) (1 point)Soit{a_n} ⊂Rune suite telle que a_n ≤a_n+1 pour toutn≥1 etan →aquandn→ ∞. Montrer quean≤apour toutn≥1.

(c) (1 point)Soit{f_n}une suite de fonctions d´efinies sur [0,1] par la formule f_n(x) = 0 pourx≥1/n etf_n(x) = 1−nxpourx≤1/n. Montrer que la suite{f_n}converge point par point, mais ne converge pas uniform´ement.

(d) (2 points)Pour une fonction f : [0,1]→Ret un sous-ensemble Γ⊂R, on note f⁻¹(Γ) = {x ∈ [0,1] : f(x) ∈ Γ}. Montrer que si l’ensemble f⁻¹([a, b]) est bor´elien pour tous a ≤ b, alors f⁻¹(Γ) est bor´elien pour tout Γ∈ B_R.

Questions de TD. (a) (2 points) SoitX = [0,1] muni de la tribu bor´eli- enne et de la mesure de Lebesgueλ. La mesureµ= 3λest-elle absolument continue par rapport `aλ? Si oui, pr´eciser la densit´e correspondante.

(b) (3 points)SoitX =R+ muni de la tribu bor´elienne et d’une mesure µ telle queµ(X)<∞. Montrer queL^p(X, µ)⊂ L^q(X, µ) pour 1≤q≤p.

Deuxi`eme partie

Exercice 1. (2 points) Soit X = [a, b] muni de la tribu bor´elienne, µ une mesure surX etf :X→R+ une fonction int´egrable. Montrer que

µ {x∈X:f(x)≥C}

→0 quand C→+∞.

Exercice 2. (a) (1 point)Soitfn(x) = sin(nx)

√n x^3/2. Pour toutx >0, calculer la limite lim

n→∞fn(x).

(b) (2 points)Soit λ la mesure de Lebesgue sur X = R+. Montrer que la limite suivante existe et est un r´eel strictement positf :

n→∞lim Z

X

|fn(x)|dλ.

(c) (2 points)Montrer qu’il n’existe pas de fonctiong∈ L¹(X, λ) telle que

|fn(x)| ≤g(x) pour toutx∈R⁺ etn≥1.

Exercice 3. (3 points) SoitX = [0,1],ν =δ₀+δ₁, o`u δ<sub>a</sub> d´esigne la masse de Dirac au pointa∈X, etµune mesure absolument continue par rapport `aν avec la densit´ef(x) =x²+ 1. Calculer l’int´egrale

Z

X

x x⁴+ 2dµ.

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