Correction Quatrième - Septembre 2013
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Durée 1 heure - Coeff. 3
Exercice 1. Compléter sur cette feuille (2 points)
1. A1= 2 + (−5) =−3 2. A2=−2−7 =−9 3. A3= 3×(−2) =−6 4. A4= 10÷(−5) =−2
5. A5= (−12)÷(−3) = 4 6. A6=−3×(−5) = 15 7. A7=−10 + 12 = 2 8. A8= (−3)2= 9
Exercice 2. Vrai ou faux ? (2 points)
1. Si deux nombres sont négatifs, alors leur somme est positive. Faux En effet par exemple(−2) + (−3) =−5<0.
2. Si deux nombres ne sont pas de même signe, alors leur somme est toujours négative.Faux En effet par exemple(−2) + (3) = 1>0.
3. Le carrée d’un nombre relatif est toujours positif.Vrai
En effet le produit de deux nombre de même signe est positif d’après le cours. Or le carrée d’un nombreaesta2=a×a qui est bien le produit de deux nombre de même signe.
4. Le produit de 126 nombres négatifs est positif.Vrai
En effet le produit d’un nombre pair de facteurs négatifs est positif d’après le cours. Or126est bien pair, donc le produit de 126 nombres négatifs est positif.
Exercice 3. Effectuer les calculs suivants (4,5 points)
1. A= 3−2×5 = 3−10 =-7 2. B=−2×[(2−5)×3−10] =38 3. Soyons astucieux
C= 0,123×(−25)×(−5)×(−4)×(−2) C= 0,123×
(−25)×(−4)
×
(−5)×(−2)
C= 0,123×100×10 C=123.
4. D=−0,2×(2−12)÷10 =0,2
5. E est l’opposé du produit de5par la somme de2et de l’opposé de3, donc :
E=−
5×(2 + (−3))
=−
5×(−1)
= 5
Exercice 4. Effectuer les calculs suivants (4,5 points)
1. G= −2−3×4 10−2×(4−6) G= −14
14 =-1.
2. H = (2−3)×4 + 1 (8−10)×2 + 5÷(2 + 3) H =−3
−3 =1 .
3. I= 1−2×5 3×(−4) + 3 I=−9
−9 =1 .
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Exercice 5. Programme de calcul (2 points)
On considère le programme de calcul suivant :
• Étape 1: Choisir un nombre ;
• Étape 2: le multiplier par(−3);
• Étape 3: soustraire2au résultat obtenu ;
• Étape 4: multiplier le résultat par(−4);
• Étape 5: ajouter le nombre choisi au départ au résultat.
1.
• Étape 1: On choisit2;
• Étape 2:2×(−3) =−6;
• Étape 3:−6−2 =−8;
• Étape 4:(−4)×(−8) = 32;
• Étape 5: 32 + 2 = 34. 2.
• Étape 1: On choisit−3;
• Étape 2:−3×(−3) = 9;
• Étape 3:9−2 = 7;
• Étape 4:(−4)×7) =−28;
• Étape 5: −28 + (−3) =−31.
3. Bonus:Et si l’on choisissaitxcomme nombre de départ, qu’elle expression obtiendrait-on à l’issue de la dernière étape ?
• Étape 1: On choisitx;
• Étape 2:−3×(x) =−3x;
• Étape 3:−3x−2;
• Étape 4:(−4)×(−3x−2) = 12x+ 8;
• Étape 5:12x+ 8 +x= 13x+ 8. On peut vérifier que :
• six = 2on obtient13x+ 8 = 13×2 + 8 = 26 + 8 = 34comme à la question 1˚).
• six=−3on obtient13x+ 8 = 13×(−3) + 8 =
−39 + 8 =−31comme à la question 2˚).
4. Super Bonus:De quel nombre partir pour obtenir 0à la dernière étape ?
On peut pour cela résoudre l’équation13x+ 8 = 0ce qui nous donne la valeur dexsoit x=−8
13 .
Exercice 6. Expression littérale (2 points)
On considère l’expression littérale définie par :f(x) = 3x2−5x−2 1. Pourx=−1, on a :
f(−1) = 3×(−1)2−5×(−1)−2 f(−1) = 3×1 + 5−2
soit f(−1) = 6.
2. Pourx= 2, on a :
f(2) = 3×(2)2−5×(2)−2 f(2) = 3×4−10−2 = 12−10−2 soit f(2) = 0.
Exercice 7. Étrange phénomène ! (3 points)
On considère l’expression littérale définie par :
g(x) = (2 +x)(2−x) +x2 1. g(−5) =
2−5
2−(−5)
+ (−5)2= (−3)×7 + 25 =−21 + 25donc g(−5) = 4. 2. On remplace par exemplexpar0,1et2et on trouve g(0) = 4 =g(1) =g(2.
3. Conjecture: Il semble que pour tous les nombresxde notre choix, on trouvera toujoursg(x) = 4.
4. Super Bonus:Démontrer la conjecture établie à la question 3˚).
Il faut pour cela développer l’expressiong(x), ce que l’on va apprendre à faire dans un prochain chapitre.
g(x) = 2×2 + 2×(−x) +x×2 +x×(−x) +x2 g(x) = 4−2x+ 2x−x2+x2
donc on obtient g(x) = 4 .
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