Vrai Faux 2

Analyse complexe (L3),Universit´e de Cergy–Pontoise Examen¹ du 28 avril 2011, dur´ee : 3 heures

Les notes de cours ne sont pas autoris´ees Les t´el´ephones portables doivent ˆetre ´eteintes

Premi`ere partie

Questions. (5 points)Pour les questions 1–10, donner la r´eponse sans justi- fication. Chaque bonne r´eponse vaut 0,5 point.

1. Soitf :R²→R²une fonction infiniment diff´erentiable. Alors la fonctionf consid´er´ee comme une fonction d’une variable complexe est holomorphe.

Vrai Faux

2. La fonctionf(z) = (Rez)⁴+ (Rez) est holomorphe sur C. Vrai Faux

3. SoitD⊂Cun domaine etf :D →Cune fonction holomorphe. Alorsf est continue.

Vrai Faux

4. SoitF :C\ {0} →Cune fonction holomorphe. Alorsf est repr´esentable sous la forme

f(z) =

+∞

X

k=−∞

akz^k pour z6= 0.

Vrai Faux 5. La fonctionf(z) = sin ¹_z

a un pˆole au pointz= 0.

Vrai Faux

6. La fonctionf(z) =e^−1/z2 a une singularit´e apparente au pointz= 0.

Vrai Faux

7. Soitf :C→Cune fonction holomorphe telle que f^(k)(0) = 0 pour tout entierk≥1. Alorsf est constante.

Vrai Faux

8. Soitf :C→Cune fonction holomorphe telle quef(z)→0 quandz→ ∞.

Alorsf est constante.

Vrai Faux

9. Le r´esidu d’une fonction holomorphef :C\ {0} →Cau pointz= 0 peut ˆ

etre ´egal `a∞.

Vrai Faux

1La note finale est calcul´ee par la formuleNote finale = min(N1,10) +N2, o`uN1etN2 sont les notes pour les parties I et II.

1

10. Une fonction holomorphef :C→Cpeut avoir un nombre infini de z´eros.

Vrai Faux

Questions de cours. (a) (1 point)Donner la d´efinition d’une fonction an- alytique dans un domaineD⊂C.

(b) (2 points)SoitD⊂Cun domaine et f :D→Cune fonction holomor- phe. Montrer quef v´erifie les relations de Cauchy–Riemann.

(c) (2 points)Enoncer le th´´ eor`eme sur les z´eros isol´es d’une fonction holo- morphe.

Questions de TD. (a) (2 points)Calculer l’int´egrale Z +∞

−∞

1 1 +x⁴dx.

(b) (3 points)Soitγle cercle|z|= 1 parcouru dans le sens positif. Calculer l’int´egrale

Z

γ

1

4z²−8z+ 3dz.

Deuxi`eme partie

Exercice 1. (2 points)D´eterminer le rayon de convergences des s´eries enti`eres

∞

X

n=0

zⁿ nⁿ,

∞

X

n=0

zⁿ n².

Exercice 2. (2 points)D´eterminer le maximum et le minimum de la fonction h(z) =|z²−2z+ 2|sur le disqueK={z∈C:|z| ≤2}.

Exercice 3. Soitf(z) =e^z(z²+ 1)⁻¹.

(a) (1 point)Montrer quef est holomorphe dans le domaineC\ {i,−i}.

(b) (2 points)Ecrire les trois premiers termes du d´´ eveloppement de Laurent de f dans le voisinage des points z=i, z =−i, z= 0 et d´eterminer les domaines de convergence correspondants.

(c) (1 point)D´eterminer les z´eros et les pˆolesf et pr´eciser leur ordres.

(d) (2 points)SoitR >0 et Γ_R le cercle{z∈C:|z|=R}parcouru dans le sens positif. PourR6= 1 calculer l’int´egrale

I(R) = Z

Γ_R

f(z)dz.

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Corrig´e de l’examen pour le coursAnalyse complexe

Questions 1–10. 1. Faux, 2. Faux, 3. Vrai, 4. Vrai, 5. Faux, 6. Faux, 7. Vrai, 8. Vrai, 9. Faux, 10. Vrai

Questions de cours. (a) Une fonction f : D → C est dite analytique si pour tout point z₀ ∈ D il existe un disque D(z₀, r) dans lequel f est repr´esentable comme une s´erie enti`ere:

f(z) =

∞

X

k=0

ak(z−z0)^k, |z−z0|< r.

(b) Soitf(z) = u(z) +iv(z) une fonction holomorphe dans D avec uet v r´eels. Alors

f⁰(z) = lim

∆x→0

u(x+ ∆x, y)−u(x, y)

∆x +iv(x+ ∆x, y)−v(x, y)

∆x

= ∂u

∂x+i∂v

∂x, o`uz=x+iy= (x, y). De mˆeme,

f⁰(z) = lim

∆y→0

u(x, y+ ∆y)−u(x, y)

i∆y +iv(x, y+ ∆y)−v(x, y) i∆y

=−i∂u

∂y+∂v

∂y. En comparant ces deux relations, on conclut que

∂u

∂x = ∂v

∂y, ∂u

∂y =−∂v

∂x.

(c) Soit D ⊂ C un domaine et f : D → C une fonction holomorphe non nulle. Alors l’ensemble {z ∈ D : f(z) = 0} n’a pas de points d’accumulation dansD.

Questions de TD. (a)D’apr`es le th´eor`eme de Cauchy sur les r´esidus, on a Z +∞

−∞

1

1 +x⁴dx= 2πi Res(f, e^iπ/4) + Res(f, e^3iπ/4)

= 2πi

1 2√

2 (i−1)+ 1 2√

2 (i+ 1)

= π

√2,

o`uf(z) = (1 +z⁴)⁻¹.

(b) Le polynˆomeP(z) = 4z²−8z+ 3 a deux racines, 1/2 et 3/2. Donc, d’apr`es le th´eor`eme de Cauchy sur les r´esidus, on obtient

Z

γ

1

P(z)dz= 2πiRes(P⁻¹,1/2) =−iπ 2 .

Exercice 1. En utilisant la formuleR= (lim sup_n|an|^1/n)⁻¹, on obtientR1=∞ etR2= 1 pour les rayons de convergence de la premi`ere et deuxi`eme s´eries.

3

Exercice 2. Le polynˆomeP(z) =z²−2z+ 2 s’annule aux points 1±i∈K, donc le minimum dehest ´egal `a z´ero. D’apr`es le principe de maximum, le maximum deh est atteint sur le bord. On ah(−2) = 10 et h(z)≤ |z²|+ 2|z|+ 2 = 10 pour|z|= 2, donc le maximum est ´egal `a 10.

Exercice 3. (a)Les fonctionf₁(z) =e^zetf₂(z) =z²+1 sont holomorphes surC, donc leur quotientf₁/f₂est holomorphe dans le domaineC\ {z´eros def₂}, d’o`u le r´esultat.

(b) On noteRa le rayon de convergence du d´eveloppement de Laurent au voisinage du pointa∈C. AlorsRi=R−i= 2 etR0= 1.

Pour ´ecrire les premiers termes des d´eveloppements de f, on utilise les d´eveloppements des fonctionse^z et (z²+ 1)⁻¹ en s´eries enti`eres. Dans le voisi- nage du pointz= 0, on a

e^z= 1 +z+z² 2 +z³

6 +· · ·, (z²+ 1)⁻¹= 1−z²+z⁴+· · ·. Il s’ensuit que

f(z) = 1 +z−z² 2 +· · ·. Dans le voisinage du pointz=i, on a

e^z=eⁱe^z−i=eⁱ 1 + (z−i) +(z−i)²

2 +(z−i)³ 6 +· · ·

,

(z²+ 1)⁻¹= (2i)⁻¹(z−i)⁻¹ 1−i^z−i₂ −1

= (2i)⁻¹(z−i)⁻¹ 1−₂ⁱ(z−i) +¹₄(z−i)²+· · · ,

d’o`u on obtient

f(z) =eⁱ 2i

(z−i)⁻¹+ 1−₂ⁱ

+ ³₄−₂ⁱ

(z−i) +· · · .

Un argument similaire donne le d´eveloppement def dans le voisinage dez=−i:

f(z) =ie⁻ⁱ 2

(z+i)⁻¹+ 1 + ₂ⁱ

+ ¹₄+₂ⁱ

(z+i) +· · · .

(c) La fonctions f n’a pas de z´eros et a des pˆoles d’ordre 1 aux points i et−i.

(d)En utilisant le th´eor`eme de Cauchy sur les r´esidus, on obtient

I(R) =

( 0, 0< R <1, π(eⁱ−e⁻ⁱ), R >1.

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