La calculatrice et les documents de cours ne sont pas autoris´ es. Les r´ eponses doivent ˆ etre jus- tifi´ ees.

(1)

Universit´ e Paris Dauphine, L3, Ann´ ee 2010-2011 G. Vigeral

Examen de rattrapage de Th´ eorie des Jeux

La calculatrice et les documents de cours ne sont pas autoris´ es. Les r´ eponses doivent ˆ etre jus- tifi´ ees.

Question de cours. Soit Γ = (N, (A ⁱ ) i∈ N , (g ⁱ ) i∈ N ) un jeu ` a N joueurs et ` a ensembles d’actions finis. Montrer qu’un profil de strat´ egies mixtes x est un ´ equilibre de Nash en strat´ egies mixtes si et seulement si

∀i ∈ N, ∀a ∈ A ⁱ , x ⁱ (a) > 0 = ⇒ g ⁱ (a, x ⁻ⁱ ) = max

b∈A

ⁱ

g ⁱ (b, x ⁻ⁱ ).

Exercice 1. On consid` ere le jeu ` a deux joueurs suivant :

Jeu 1

H H H

H H H H

H H H

J J

J1

J 2

(3, 3) (0, 3) (0, 4) (2, 1)

(1, 1)

r

x ₁ x ₂

L M R

a b a b

c

c c

1. Montrer que l’action R ne peut pas ˆ etre jou´ ee avec probabilit´ e positive dans un ´ equilibre de Nash.

2. D´ eterminer tous les ´ equilibres de Nash en strat´ egies mixtes.

3. Parmi ces ´ equilibres, d´ eterminer ceux qui sont Bayesiens parfaits.

Exercice 2. On consid` ere le jeu ` a deux joueurs Γ o` u les ensembles d’actions sont A ₁ = A ₂ = ]0, +∞[ et o` u la fonction de paiement du joueur i est donn´ ee par

g _i (a ₁ , a ₂ ) = 3a ₁ a ₂ − a ³ _i . Dans tout l’exercice on ne s’int´ eresse qu’aux strat´ egies pures.

1

(2)

1. D´ eterminer la correspondance de meilleure r´ eponse du joueur 1. Donner ensuite celle du joueur 2 sans justification.

2. Montrer que le jeu admet un unique ´ equilibre de Nash, et qu’il est de la forme (a ^∗ , a ^∗ ) pour un a ^∗ que l’on d´ eterminera. Donner le paiement d’´ equilibre correspondant.

3. Parmi tous les profils sym´ etriques (a, a), d´ eterminer le profil (˜ a, ˜ a) qui donne un paiement maximal ` a chaque joueur, et calculer ce paiement.

4. La meilleure r´ eponse du Joueur 1 ` a ˜ a est not´ ee ˆ a, la d´ eterminer. Que vaut g 1 (ˆ a, a) ? ˜ 5. Dans cette question on consid` ere le jeu Γ _λ , infiniment r´ ep´ et´ e et escompt´ e avec un taux

d’escompte λ. Dans ce jeu, soit σ _i la strat´ egie du joueur i qui consiste ` a : – Jouer ˜ a ` a la premi` ere ´ etape

– A chaque ´ etape suivante, jouer ˜ a si tous les joueurs ont jou´ e ˜ a ` a toutes les ´ etapes pr´ ec´ edentes, a ^∗ sinon.

Soit σ le profil (σ ₁ , σ ₂ ). Donner son paiement, puis montrer que c’est un ´ equilibre de Nash de Γ _λ d` es que λ est plus petit qu’un seuil λ ₀ que l’on d´ eterminera.

Exercice 3. On consid` ere le jeu ` a deux joueurs et ` a somme nulle suivant (poker simplifi´ e) o` u p ∈]0, 1[ est un param` etre connu de tous. Les lettres entre parenth` eses sont des suggestions de notations sur l’arbre.

Le joueur 1 tire une carte au hasard, elle est (H)aute avec probabilit´ e p et (B)asse avec probabilit´ e 1 − p. Il la regarde secr` etement et choisit ensuite d’(A)rrˆ eter ou de (M)iser. S’il arrˆ ete il donne 1 euro au Joueur 2 et le jeu est termin´ e. Sinon, c’est au Joueur 2 de jouer, il doit choisir de se (C)oucher ou de (R)elancer. S’il se couche il donne 2 euros au Joueur 1 et le jeu est termin´ e. Si le Joueur 2 relance, le Joueur 1 r´ ev` ele sa carte : si elle est Haute J2 doit 4 euros ` a J1, si elle est basse c’est J1 qui doit 4 euros ` a J2.

Remarque : le Joueur 2 ne tire pas de cartes dans ce poker simplifi´ e.

1. Jeu sous forme extensive

(a) Ecrire le jeu sous forme extensive.

(b) Dans la forme normale associ´ ee (qu’on ne demande pas pour l’instant de donner) combien chaque joueur a t-il de strat´ egies ? Donner un nom ` a chacune de ces strat´ egies.

(c) Expliquer bri` evement pourquoi il est clair que 2 des strat´ egies du Joueur 1 sont strictement domin´ ees.

2. Jeu sous forme normale

(a) Ecrire le jeu sous forme normale (pas besoin d’´ ecrire les strat´ egies strictement do- min´ ees si vous avez fait la question pr´ ec´ edente).

(b) Montrer qu’une des strat´ egies du Joueur 2 est strictement domin´ ee d` es que p est strictement plus grand qu’un seuil p 0 que l’on d´ eterminera. Dans ce cas, montrer que le jeu admet une valeur en strat´ egie pure ; la d´ eterminer ainsi que les strat´ egies optimales des deux joueurs.

(c) Dans le cas p < p 0 , donner le maxmin et le minmax du jeu en strat´ egies pures. Le jeu a t-il une valeur en strat´ egies pures ? D´ eterminer la valeur en strat´ egies mixtes ainsi que les strat´ egies optimales des deux joueurs.

(d) Dans le cas p = p 0 , d´ eterminer la valeur du jeu en strat´ egie mixte ainsi que toutes les strat´ egies optimales de chaque joueur.

2

La calculatrice et les documents de cours ne sont pas autoris´ es. Les r´ eponses doivent ˆ etre jus- tifi´ ees.

Universit´ e Paris Dauphine, L3, Ann´ ee 2010-2011 G. Vigeral

Examen de rattrapage de Th´ eorie des Jeux

La calculatrice et les documents de cours ne sont pas autoris´ es. Les r´ eponses doivent ˆ etre jus- tifi´ ees.

Question de cours. Soit Γ = (N, (A i ) i∈ N , (g i ) i∈ N ) un jeu ` a N joueurs et ` a ensembles d’actions finis. Montrer qu’un profil de strat´ egies mixtes x est un ´ equilibre de Nash en strat´ egies mixtes si et seulement si

∀i ∈ N, ∀a ∈ A i , x i (a) > 0 = ⇒ g i (a, x −i ) = max

b∈A

g i (b, x −i ).

Exercice 1. On consid` ere le jeu ` a deux joueurs suivant :

Jeu 1

H H H

H H H H

H H H

H H H

J J

J J

J J

J J

J J

J J

J1

J 2

(3, 3) (0, 3) (0, 4) (2, 1)

(1, 1)

r

x 1 x 2

L M R

a b a b

c

c c

1. Montrer que l’action R ne peut pas ˆ etre jou´ ee avec probabilit´ e positive dans un ´ equilibre de Nash.

2. D´ eterminer tous les ´ equilibres de Nash en strat´ egies mixtes.

3. Parmi ces ´ equilibres, d´ eterminer ceux qui sont Bayesiens parfaits.

Exercice 2. On consid` ere le jeu ` a deux joueurs Γ o` u les ensembles d’actions sont A 1 = A 2 = ]0, +∞[ et o` u la fonction de paiement du joueur i est donn´ ee par

g i (a 1 , a 2 ) = 3a 1 a 2 − a 3 i . Dans tout l’exercice on ne s’int´ eresse qu’aux strat´ egies pures.

1

1. D´ eterminer la correspondance de meilleure r´ eponse du joueur 1. Donner ensuite celle du joueur 2 sans justification.

2. Montrer que le jeu admet un unique ´ equilibre de Nash, et qu’il est de la forme (a ∗ , a ∗ ) pour un a ∗ que l’on d´ eterminera. Donner le paiement d’´ equilibre correspondant.

3. Parmi tous les profils sym´ etriques (a, a), d´ eterminer le profil (˜ a, ˜ a) qui donne un paiement maximal ` a chaque joueur, et calculer ce paiement.

4. La meilleure r´ eponse du Joueur 1 ` a ˜ a est not´ ee ˆ a, la d´ eterminer. Que vaut g 1 (ˆ a, a) ? ˜ 5. Dans cette question on consid` ere le jeu Γ λ , infiniment r´ ep´ et´ e et escompt´ e avec un taux

d’escompte λ. Dans ce jeu, soit σ i la strat´ egie du joueur i qui consiste ` a : – Jouer ˜ a ` a la premi` ere ´ etape

– A chaque ´ etape suivante, jouer ˜ a si tous les joueurs ont jou´ e ˜ a ` a toutes les ´ etapes pr´ ec´ edentes, a ∗ sinon.

Soit σ le profil (σ 1 , σ 2 ). Donner son paiement, puis montrer que c’est un ´ equilibre de Nash de Γ λ d` es que λ est plus petit qu’un seuil λ 0 que l’on d´ eterminera.

Exercice 3. On consid` ere le jeu ` a deux joueurs et ` a somme nulle suivant (poker simplifi´ e) o` u p ∈]0, 1[ est un param` etre connu de tous. Les lettres entre parenth` eses sont des suggestions de notations sur l’arbre.

Remarque : le Joueur 2 ne tire pas de cartes dans ce poker simplifi´ e.

1. Jeu sous forme extensive

(a) Ecrire le jeu sous forme extensive.

(b) Dans la forme normale associ´ ee (qu’on ne demande pas pour l’instant de donner) combien chaque joueur a t-il de strat´ egies ? Donner un nom ` a chacune de ces strat´ egies.

(c) Expliquer bri` evement pourquoi il est clair que 2 des strat´ egies du Joueur 1 sont strictement domin´ ees.

2. Jeu sous forme normale

(a) Ecrire le jeu sous forme normale (pas besoin d’´ ecrire les strat´ egies strictement do- min´ ees si vous avez fait la question pr´ ec´ edente).

(c) Dans le cas p < p 0 , donner le maxmin et le minmax du jeu en strat´ egies pures. Le jeu a t-il une valeur en strat´ egies pures ? D´ eterminer la valeur en strat´ egies mixtes ainsi que les strat´ egies optimales des deux joueurs.

(d) Dans le cas p = p 0 , d´ eterminer la valeur du jeu en strat´ egie mixte ainsi que toutes les strat´ egies optimales de chaque joueur.

2

Question de cours. Soit Γ = (N, (A ⁱ ) i∈ N , (g ⁱ ) i∈ N ) un jeu ` a N joueurs et ` a ensembles d’actions finis. Montrer qu’un profil de strat´ egies mixtes x est un ´ equilibre de Nash en strat´ egies mixtes si et seulement si

∀i ∈ N, ∀a ∈ A ⁱ , x ⁱ (a) > 0 = ⇒ g ⁱ (a, x ⁻ⁱ ) = max

g ⁱ (b, x ⁻ⁱ ).

x ₁ x ₂

Exercice 2. On consid` ere le jeu ` a deux joueurs Γ o` u les ensembles d’actions sont A ₁ = A ₂ = ]0, +∞[ et o` u la fonction de paiement du joueur i est donn´ ee par

g _i (a ₁ , a ₂ ) = 3a ₁ a ₂ − a ³ _i . Dans tout l’exercice on ne s’int´ eresse qu’aux strat´ egies pures.

2. Montrer que le jeu admet un unique ´ equilibre de Nash, et qu’il est de la forme (a ^∗ , a ^∗ ) pour un a ^∗ que l’on d´ eterminera. Donner le paiement d’´ equilibre correspondant.

4. La meilleure r´ eponse du Joueur 1 ` a ˜ a est not´ ee ˆ a, la d´ eterminer. Que vaut g 1 (ˆ a, a) ? ˜ 5. Dans cette question on consid` ere le jeu Γ _λ , infiniment r´ ep´ et´ e et escompt´ e avec un taux

d’escompte λ. Dans ce jeu, soit σ _i la strat´ egie du joueur i qui consiste ` a : – Jouer ˜ a ` a la premi` ere ´ etape

– A chaque ´ etape suivante, jouer ˜ a si tous les joueurs ont jou´ e ˜ a ` a toutes les ´ etapes pr´ ec´ edentes, a ^∗ sinon.

Soit σ le profil (σ ₁ , σ ₂ ). Donner son paiement, puis montrer que c’est un ´ equilibre de Nash de Γ _λ d` es que λ est plus petit qu’un seuil λ ₀ que l’on d´ eterminera.