Universit´ e de Reims Champagne-Ardennes Ma0304 Arithm´ etique, 2013-2014
Ecrit Terminal ´
Session de Janvier 2014 - Dur´ ee 2h00
La calculatrice n’est pas autoris´ ee, ainsi que les documents de cours et de TD. Chaque r´ eponse doit ˆ etre justifi´ ee. Un soin particulier devra ˆ etre apport´ e ` a la r´ edaction.
Les exercices sont ind´ ependants et peuvent ˆ etre trait´ e dans un ordre quelconque.
Exercice 1.
1. Prouver que le produit d’un nombre quelconque d’entiers positifs de la forme 4k + 1 (k ∈ N
∗) est encore un entier positif de la forme 4k + 1 (k ∈ N
∗).
2. On consid` ere l’ensemble E des nombres premiers de la forme 4k − 1 (k ∈ N
∗).
(a) On suppose que E est fini : E = {p
1, · · · , p
n}, et on pose alors x = 4p
1· · · p
n− 1.
Montrer que x poss` ede au moins un diviseur premier dans E (utiliser la question 1.).
(b) Que peut-on en d´ eduire ?
Exercice 2. Dans cet exercice on cherche ` a d´ eterminer tous les polynˆ omes P ∈ R [X] v´ erifiant les conditions :
P(0) = 0 et P (X
2+ 1) = P (X)
2+ 1. (∗) On d´ efinit une suite (u
n)
n∈Npar u
0= 0 et u
n+1= u
2n+ 1 pour tout n ∈ N .
1. Montrer que si P ∈ R [X] v´ erifie (∗) alors P (u
n) = u
npour tout n ∈ N .
2. La suite (u
n) comporte-t-elle un nombre fini ou infini de termes ? Justifier la r´ eponse.
3. En d´ eduire que P (X) = X.
Exercice 3. Soit n ∈ N
∗. Dans cet exercice on cherche ` a calculer la quantit´ e a
n=
n−1
Y
k=1
sin( kπ n ).
Pour tout k = 0, . . . , n − 1, on pose z
k= 2ie
ikπnsin(
kπn).
1. Montrer que les solutions dans C de l’´ equation (z + 1)
n= 1 sont les nombres complexes z
0, z
1, · · · , z
n−1.
2. Soit P(X) =
n−1
X
k=0
(X + 1)
k. Montrer que le polynˆ ome (X + 1)
n−1 se factorise sous la forme (X + 1)
n− 1 = XP (X), et en d´ eduire que les racines complexes de P sont les nombres z
1, · · · , z
n−1.
3. On note a
n=
n−1
Y
k=1
sin( kπ
n ). D´ emontrer que
n−1
Y
k=1
e
ikπn= i
n−1, et en d´ eduire l’´ egalit´ e
n−1
Y
k=1
z
k= 2
n−1(−1)
n−1a
n.
4. Utiliser la question 2. pour obtenir une autre expression du produit
n−1
Y
k=1
