La calculatrice et les documents de cours ne sont pas autoris´ es. Toutes les r´ eponses doivent ˆ

Universit´ e Paris Dauphine, L3, Ann´ ee 2015-2016

Partiel d’Analyse Complexe

La calculatrice et les documents de cours ne sont pas autoris´ es. Toutes les r´ eponses doivent ˆ

etre soigneusement justifi´ ees ; la correction r´ ecompensera la rigueur, pr´ ecision et clart´ e des d´ emonstrations.

Exercice 1. Les deux premi` eres parties sont ind´ ependantes.

1. Produits de Cauchy

(a) Question de cours : soit f (z) = P

a _n z ⁿ et g(z) = P

b _n z ⁿ deux s´ eries enti` eres de rayon de convergence R et R ⁰ respectivement. Donner sans d´ emonstration c n telle que f (z)g(z) = P

c n z ⁿ . Que peut on dire du rayon de convergence de cette derni` ere s´ erie enti` ere ? On pourra utiliser ` a loisir les r´ esultats de cette question par la suite.

(b) Soit f (z) = P

a _n z ⁿ une s´ erie enti` eres de rayon de convergence R. Pour tout entier k, montrer que f ^k (z) = P +∞

n=0 a n,k z ⁿ avec a n,k = P

i

+···+i

=n a i

a i

· · · a i

.

2. Dans cette partie on s’int´ eresse aux fonctions g _m (z) = _(1−z) ¹

d´ efinies sur U = B _o (0, 1) pour m entier sup´ erieur ` a 1. On note g <sup>(j)</sup> m la d´ eriv´ ee j-i` eme de g _m .

(a) Calculer g ₁ ^(j) (z) pour tout z ∈ U .

(b) En remarquant une relation entre g _m et g ₁ ^(m−1) , calculer g ^(j) m (z) pour tout z ∈ U . 3. On cherche dans cette partie ` a calculer pour tout entiers n et k le nombre de solutions de

l’equation i 1 + · · · + i _k = n o` u i 1 , i 2 , i <sub>k</sub> sont des inconnues ` a valeurs dans N . On note b _n,k ce nombre. Par exemple, b _n,1 = 1, b _n,2 = n + 1, b _1,k = k.

(a) Quel est le rayon de convergence de P +∞

n=0 b n,1 z ⁿ ? Quel est sa somme ? (b) En utilisant la partie 1, montrer que pour tout k, P +∞

n=0 b n,k z ⁿ a un rayon de conver- gence sup´ erieur ou ´ egal ` a 1 et est de somme g _k (z).

(c) En utilisant la partie 2, en d´ eduire une formule simple pour b _n,k .

Exercice 2. On cherche ` a caract´ eriser les fonctions analytiques sur C satisfaisant l’´ equation fonctionnelle suivante : f(z ² ) = f (z) ² pour tout z ∈ C .

1. Trouver toutes les fonctions solutions constantes sur C .

2. A partir de maintenant on suppose f solution et non constante. Quelles sont les valeurs possibles de f (0) ?

3. On suppose que f (0) = 1. Montrer qu’il existe z tel que |z| ≤ ¹ ₂ et |f (z)| < 1. En consid´ erant f (z ²

), aboutir ` a une contradiction. Que vaut donc f (0) ?

4. Justifier qu’il existe un plus petit entier k tel que f ^(k) (0) 6= 0. Montrer qu’il existe R > 0 et une fonction analytique g(z) d´ efinie sur B o (0, R) et ne s’annulant pas en 0 telle que f (z) = z ^k g(z) sur B _o (0, R).

1

5. Montrer que g est ´ egalement solution de l’´ equation fonctionnelle et conclure.

Exercice 3. Pour toute fonction enti` ere (analytique sur C ), on note Z (f ) l’ensemble des z´ eros de f .

1. Donner (en justifiant pr´ ecis´ ement) une fonction f enti` ere non constante telle que Z (f ) est vide.

2. Donner (en justifiant pr´ ecis´ ement) une fonction f enti` ere non constante telle que Z (f ) est infini.

3. Soit E un ensemble fini. Trouver une fonction f enti` ere telle que Z(f) = E.

4. Question de cours : d´ efinir un point isol´ e et ´ enoncer le principe des z´ eros isol´ es.

5. Montrer que pour tout compact (ferm´ e born´ e) K, Z (f ) ∩ K est fini.

2