UPMC 2007–2008 LM366 Corrig´e de l’examen du 6 Septembre 2006 Exercice 1.SoitP(z) =Pn
k=0akzk∈C [z] etC:= sup|z|=1 |P(z)|. En posant Q(0) =an et
z6= 0, Q(z) =znP(1/z) =an+· · ·+a0zn,
on d´efinit une fonction enti`ere. Si|z|= 1, on a|Q(z)|=|P(1/z)| ≤C. D’apr`es le principe du maximum, on a |Q(z)| ≤C d`es que |z| ≤1. On en d´eduit :
|z| ≥1 ⇒ |P(z)|=|znQ(1/z)| ≤C|z|n.
Exercice 2.Sir >0, on notecr le chemin d´efini parcr(t) =reit,t∈[0, π/2].
La fonctionz7→f(z) = (Logz)/(1+z4) est d´efinie et m´eromorphe sur l’ouvert Ω = C\]− ∞,0], avec comme pˆoles les points eiπ/4eikπ/2,k= 0, . . . ,3. Ils sont simples.
1) Soit 0< r <1< R. Soit γ(r, R) le lacet obtenu en juxtaposant le segment [r, R], l’oppos´e de l’arccR, le segment [iR, ir] et l’arccr.
C’est un lacet dans Ω, d’indice 1 par rapport au point eiπ/4, d’indice 0 par rapport aux autres pˆoles def. L’ouvert Ω est simplement connexe. Le th´eor`eme des r´esidus donne :
Z
γ(r,R)
f(z)dz = 2iπRes (f,eiπ/4) = 2iπ(−iπeiπ/4/16) =π2√
2/16+iπ2√ 2/16.
2) NotonsJ =R+∞
0 (1 +x4)−1dxetK=R+∞
0 (1 +x4)−1Logx dx. Ce sont des int´egrales absolument convergentes On d´ecompose
Z
γr,R
f(z)dz= Z
[r,R]
f(z)dz− Z
cR
f(z)dz− Z
[ir,iR]
f(z)dz+ Z
cr
f(z)dz.
D’abord, Z
[r,R]
f(z)dz = Z R
r
(1 +t4)−1Logt dt−−−−−−−−−→
r→0+, R→+∞ K et comme Logit= Logt+iπ/2,
Z
[ir,iR]
f(z)dz=i Z R
r
(1 +t4)−1Logit dt−−−−−−−−−→
r→0+, R→+∞ −πJ/2 +iK.
D’autre part, les majorations
Z
cR
f(z)dz
≤πR/2(LogR+π/2)(R4−1)−1;
Z
cr
f(z)dz
≤πr/2(|Logr|+π/2)(1−r4)−1, montrent queR
cRf(z)dz−−−−−→
R→+∞ 0 et R
crf(z)dz−−−−→
r→0+ 0.
En faisant tendre r vers 0 etR vers +∞, on obtient donc (K+πJ/2)−iK =√
2π2/16 +i√
2π2/16, puis K=−π2√
2/16 et J =π√ 2/4.
1
2
Exercice 3. Soit f ∈ C∞(IR) une fonction telle que |f(n)(x)| ≤ 1 pour tout n∈IN et tout x∈IR.
1) Soit x∈IR fix´e. La formule de Taylor-MacLaurin donne
|f(x)−
n
X
k=0
f(k)(0)xk/k!| ≤ |x|n+1/(n+ 1)!.
Le second membre −−−−−→n→+∞ 0. On en d´eduit que f(x) est ´egal `a la somme au point x de la s´erie de Taylor def en 0.
2) En particulier, celle-ci a un rayon de convergence infini et
z∈C, F(z) =
+∞
X
n=0
f(n)(0) n! zn d´efinit une fonction enti`ere telle queF(z) =f(z) si z∈IR.
3) Soit z = x+iy ∈C . Pour estimer |F(z)|, on utilise le d´eveloppement en s´erie enti`ere de F au pointx∈IR et l’hypoth`ese. On obtient :
|F(z)|=|
+∞
X
n=0
f(n)(x)(iy)n/n!| ≤
+∞
X
n=0
|y|n/n!≤e|y|.
Probl`eme.SoitF une fonction enti`ere. On suppose qu’elle v´erifie l’in´egalit´e : (1) ∀z∈C, |F(z)| ≤e|Imz|.
1) `A touta∈C on associe la fonction m´eromorphe z7→Ga(z) :=F(a+z)/(z2cosz).
La fonction Ga a au plus un pˆole double en 0, au plus un pˆole simple en tout point de la forme zk =π/2 +kπ,k∈ZZ. Elle n’a pas d’autre pˆole.
Pour toutk∈ZZ, on a :
Res (Ga, zk) = F(a+zk)
2zkcoszk−z2ksinzk = (−1)k+1F(a+zk) z2k . Pour calculer le r´esidu deGa en 0, on ´ecrit
Ga(z) =z−2(1 +O(z2))(F(a) +zF0(a) +O(z2)) =F(a)/z2+F0(a)/z+O(1), d’o`u Res (Ga,0) =F0(a).
2) Sin∈IN, on note Γn le bord du carr´e Kn={z=x+iy∈C, |x−π
2| ≤ π
2 +nπ, |y| ≤ π
2 +nπ}, orient´e dans le sens direct.
a) Siz=x+iy, cosz= (ei(x+iy)+ e−i(x+iy))/2 et :
|cosz|2 = coszcosz= (eixe−y+ e−ixey)(e−ixe−y+ eixey)/4
= (eix+ e−ix)2/4 + (ey+ e−y)2/4 = cos2x+ sinh2y.
b) Soit z=x+iy∈∂Kn. Si|y|=π/2 +nπ,
|cosz| ≥sinh|y|= e|y|(1−e−2|y|)/2≥(1−e−π)e|y|/2>e|y|/4.
Six≡0 modulo π,
|cosz| ≥(1 + sinh2y)1/2 = coshy≥e|y|/2.
On a donc|cosz| ≥e|Imz|/4 pour toutz∈∂Kn.
3
c) On obtient donc |Ga(z)| ≤Ca/n2 pour tout z ∈∂Kn, avec une constante Ca qui ne d´epend que dea. Comme la longueur du lacet Γnest 4(π/2 +nπ),
∀a∈C, Z
Γn
Ga(z)dz−−−−−→n→+∞ 0.
3) La formule des r´esidus donne 1
2iπ Z
Γn
Ga(z)dz= Res (Ga,0) + X
k, zk∈Kn
Res (Ga, zk).
Quandn→+∞, le premier membre tend vers 0 et, compte tenu des r´esultats de la Question 1, on obtient :
F0(a) =
+∞
X
k=−∞
(−1)k F(a+π/2 +kπ) (π/2 +kπ)2 .
4) La fonction x7→ f(x) = cosx v´erifie les hypoth`eses du d´ebut de l’´enonc´e.
Donc
−sina=X
k∈ZZ
(π/2 +kπ)−2cos(a+π/2 +kπ).
En choisissant a=−π/2, on obtient P
k∈ZZ(π/2 +kπ)−2 = 1.
5) Finalement, on a
|F0(a)| ≤X
k∈ZZ
(π/2 +kπ)−2e|Ima|≤e|Ima|,
et comme les d´eriv´ees de f v´erifient aussi les hypoth`eses qui ont permis de d´emontrer l’in´egalit´e pr´ec´dente, on obtient queF(n)v´erifie la mˆeme majoration pour toutn∈IN. En particulier :
∀x∈IR, ∀n∈IN, |F(n)(x)| ≤1.
