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Soit Ω un ouvert connexe de C, contenant D(0,1), et soit f ∈ O(Ω)

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee universitaire 2011/2012

Licence Sciences et Technologies Unit´e LM367

Examen du 21 juin 2012

Question de cours.

1) Donner un ´enonc´e du th´eor`eme du prolongement analytique.

2) Donner un ´enonc´e du th´eor`eme de Riemann sur les singularit´es.

Exercice 1. Soit Ω un ouvert connexe de C, contenant D(0,1), et soit f ∈ O(Ω). On suppose que f ne prend que des valeurs r´eelles sur le cercle C(0,1). Montrer que f est constante.

(Indication : on pourra poser g(z) = exp(if(z))).

Exercice 2. Soit Ω un ouvert connexe de C, et (un)n∈N une suite de points de Ω, convergeant vers un point u∈Ω.

Soient f, g ∈ O(Ω). On suppose que pour tout n≥0, f0(un)g(un) = f(un)g0(un).

Montrer qu’il existe (a, b)∈C2r{(0,0)} tel que af =bg.

Exercice 3. Calculer

Z 2π

0

cosθ dθ (3 + cosθ)2.

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