2) Soient (Ω, T , µ) un espace mesur´ e et (f n ) n une suite d´ ecroissante (f n+1 ≤ f n ) d’ap- plications mesurables de (Ω, T ) dans R + . On suppose que R

Universit´ e Bordeaux 1, 2014-2015. Th´ eorie d’int´ egration.

Corrig´ e du devoir surveill´ e du 22 octobre 2014.

Exercice 1 : 1) Enoncer le th´ eor` eme de Beppo-Levi.

Cours.

2) Soient (Ω, T , µ) un espace mesur´ e et (f _n ) _n une suite d´ ecroissante (f _n+1 ≤ f _n ) d’ap- plications mesurables de (Ω, T ) dans R ⁺ . On suppose que R

Ω f ₀ dµ < +∞. Montrer que lim n→+∞

R

Ω f _n dµ = R

Ω lim n→+∞ f _n dµ.

— Premi` ere m´ ethode : Pour tout n, f n mesurable, 0 ≤ f n ≤ f 0 et f 0 int´ egrable donc, par le th´ eor` eme de convergence domin´ ee, f = lim _n→+∞ f n int´ egrable et

n→+∞ lim Z

Ω

f _n dµ = Z

Ω

f dµ.

— Deuxi` eme m´ ethode : la suite g n = f 0 − f n de fonctions mesurables positives est croissante, donc par le th´ eor` eme de Beppo-Levi, sa limite simple g est positive, mesurable et

Z

Ω

gdµ = lim

n→+∞

Z

Ω

g n dµ

= lim

n→+∞

Z

Ω

f 0 dµ − Z

Ω

f n dµ

car f 0 est int´ egrable.

Donc lim _n→+∞ R

Ω f n dµ existe et vaut Z

Ω

f ₀ dµ − Z

Ω

gdµ.

La suite f n est d´ ecroissante et positive et f 0 est int´ egrable donc f n a une limite simple f int´ egrable. Comme g = f 0 − f , R

Ω gdµ = R

Ω f 0 dµ − R

Ω f dµ et donc

n→+∞ lim Z

Ω

f _n dµ = Z

Ω

f dµ.

Exercice 2 : (1) Soit f _n (x) = n ² xe ^−nx . Calculer

n→+∞ lim Z

[0,1]

f _n (x)dx et Z

[0,1]

n→+∞ lim f _n (x)dx.

Existe-t-il une fonction g int´ egrable sur [0, 1] telle que pour tout n ∈ N ^∗ et pour tout

x ∈ [0, 1], f _n (x) ≤ g(x) ?

Int´ egrons par parties : Z

[0,1]

f n (x)dx = [−nxe ^−nx ] ¹ ₀ + Z

[0,1]

ne ^−nx dx

= 1 − (n + 1)e ⁻ⁿ .

Par le th´ eor` eme des croissances compar´ ees, pour tout polynˆ ome P on a P (n) e ⁿ lorsque n → ∞, donc

— lim

n→+∞

R

[0,1] f n (x)dx = 1.

— pour tout x > 0, f n (x) = ^(nx) _e

x ⁻¹ −−−−→

n→∞ 0 (et f n (0) = 0). D’o` u Z

[0,1]

n→+∞ lim f n (x)dx = Z

[0,1]

0.dx = 0.

La suite f _n est donc une suite de fonctions qui converge simplement dans R ⁺ mais

n→+∞ lim Z

[0,1]

f n (x)dx 6=

Z

[0,1]

n→+∞ lim f n (x)dx.

Par contraposition du th´ eor` eme de convergence domin´ ee, il n’existe pas de fonction g int´ egrable sur [0, 1] telle que pour tout n ∈ N ^∗ et pour tout x ∈ [0, 1], |f n (x)| = f n (x) ≤ g(x).

(2) Soit f une application mesurable positive sur [0, 1]. D´ eterminer

n→+∞ lim Z

[0,1]

dx 1 + (f(x)) ⁿ .

On consid` ere les ensembles A = {x ∈ [0, 1], 0 ≤ f (x) < 1}, B = {x ∈ [0, 1], f (x) = 1}, C = {x ∈ [0, 1], f (x) > 1}. La suite f n (x) = _1+(f(x)) ¹

converge vers 1 si x ∈ A, vers 1/2 si x ∈ B et vers 0 sinon. Les fonctions f n : [0, 1] 7→ R ⁺ ainsi d´ efinies sont major´ ees par la fonction int´ egrable χ _[0,1] . Par th´ eor` eme de convergence domin´ ee,

n→+∞ lim Z

[0,1]

dx 1 + (f (x)) ⁿ =

Z

[0,1]

n→+∞ lim 1

1 + (f (x)) ⁿ dx

= Z

A

dx + Z

B

dx 2 +

Z

C

0.dx = µ(A) + µ(B) 2 , o` u µ est la mesure de Lebesgue sur R .

Exercice 3 : Soit (Ω, T , µ) un espace mesur´ e et f : Ω → R une fonction int´ egrable.

L’ensemble R est muni de sa tribu bor´ elienne.

(1) Pour n ≥ 1, on pose

A _n = {x ∈ Ω, 1/n ≤ |f(x)| ≤ n}.

Montrer que A _n est mesurable (A _n ∈ T ).

L’ensemble A _n = f ⁻¹ ([−n, −1/n] ∪ [1/n, n]) est pr´ eimage d’un ensemble ferm´ e, donc bor´ elien, par l’application mesurable f . Donc A n est mesurable.

(2) Soit g _n = |f |χ _A

. Montrer que

g _n → |f| µ−p.p et Z

g _n dµ → Z

|f |dµ.

Soit x ∈ Ω tel que |f (x)| < +∞.

— Si f (x) = 0 alors g n (x) = 0 pour tout n.

— Sinon, il existe n 0 ∈ N tel que n ≥ n 0 ⇒ x ∈ A n ⇒ |f (x)| = g n (x).

Dans les deux cas, g n (x) converge vers |f (x)|.

Comme f est int´ egrable, |f | < +∞ µ-presque partout, et donc g n converge vers |f | µ-presque partout.

Par construction, chaque fonction g n est mesurable ` a valeurs dans R ⁺ et la suite (g n ) est croissante.

Donc par th´ eor` eme de convergence monotone, R

g n dµ croˆıt vers R

|f |dµ.

En d´ eduire que pour tout > 0, il existe A ∈ T , tel que







µ(A) < ∞ f born´ ee sur A R

Ω\A |f|dµ < .

D’apr` es la question pr´ ec´ edente, pour tout > 0, il existe n tel que Z

Ω\A

|f |dµ = Z

|f |dµ − Z

g n dµ < .

Par d´ efinition, f born´ ee sur A n . Enfin, |f | > ¹ _n sur A n et f int´ egrable impliquent que µ(A n ) < +∞

avec l’in´ egalit´ e de Markov. Donc A = A n convient.

(3) Montrer alors que pour tout > 0, il existe η > 0 tel que

∀ B ∈ T , µ(B) < η ⇒ Z

B

|f |dµ < .

D’apr` es la question (2), on trouve M ∈ R et A ∈ T tels que |f | < M sur A et Z

Ω\A

|f |dµ < /2.

Si µ(B ) < _2M , on a

Z

B

|f |dµ = Z

B∩A

|f |dµ + Z

B\A

|f |dµ

≤ M µ(B) + /2 < .

Donc η = _2M convient.

(4) Soit [a, b] un segment de R et f une fonction int´ egrable sur [a, b]. Montrer que la fonction d´ efinie par

F (x) = Z x

a

f (t)dt, est uniform´ ement continue.

Soit > 0 et fixons un η > 0 donn´ e par la question (3). Alors pour tous x, y ∈ [a, b] tels que x < y et |y − x| < η, comme µ([x, y]) < η, on a

|F (y) − F (x)| = Z

[x,y]

f dµ

≤ Z

[x,y]

|f |dµ < ,

o` u µ est la mesure de Lebesgue sur R . Donc F est uniform´ ement continue sur [a, b].

Exercice 4 : Soit (Ω, T , µ) un espace mesur´ e. On suppose que µ(Ω) < +∞.

Soit (f n ) n une suite d’applications mesurables de (Ω, T ) dans ( R , B( R )).

On dit que (f _n ) _n converge presque uniform´ ement vers 0 sur Ω si pour tout > 0, il existe A ∈ T tel que µ(Ω \ A) ≤ et (f _n ) _n converge uniform´ ement vers 0 sur A.

1) Soit (A k ) k une suite d’´ el´ ements de T telle que pour tout k, µ(Ω \ A k ) ≤ _k ¹ . (a) Montrer que µ (Ω \ ∪ _k A _k ) = 0.

Pour tout n ∈ N ^∗ , Ω \ ∪ _k A _k ⊂ Ω \ A _n donc

µ (Ω \ ∪ k A k ) ≤ 1 n .

Par passage ` a l’inf, µ (Ω \ ∪ k A k ) = 0.

(b) On suppose que, pour tout k, (f _n ) _n converge uniform´ ement vers 0 sur A _k . Dire pourquoi (f _n ) _n converge simplement vers 0 sur ∪ _k A _k .

La convergence uniforme implique la convergence simple : pour tout k ∈ N et tout x ∈ A k , f n (x) → 0.

Donc f _n converge simplement sur ∪ _k A _k .

2) D´ eduire de 1) que si (f _n ) _n converge presque uniform´ ement vers 0 sur Ω, alors (f _n ) _n converge presque partout vers 0 sur Ω.

Si (f n ) n converge presque uniform´ ement vers 0 sur Ω, il existe une suite (A k ) de T ^N telle que ∀k,

µ(Ω \ A k ) ≤ ¹ _k et (f n ) converge uniform´ ement vers 0 sur A k . D’apr` es (1), (f n ) converge simplement

vers 0 sur la r´ eunion ∪ k∈ N A _k et µ (Ω \ ∪ k A _k ) = 0. Donc f _n → 0, µ-presque partout.

3) On veut montrer maintenant que la r´ eciproque de 2) est vraie, c’est-` a-dire que la convergence presque partout entraine la convergence presque uniforme.

On suppose que (f _n ) _n converge presque partout vers 0 sur Ω. On note A _N,p = \

n≥N

|f _n | ≤ 1 p

, N ∈ N ^∗ , p ∈ N ^∗ .

a) V´ erifier que pour tout N, p, A _N,p ∈ T et que µ (∪ N≥1 A _N,p ) = µ(Ω).

On pourra introduire l’ensemble B = {x ∈ Ω, f _n (x) → 0} et montrer que B ⊂

∪ _N ≥1 A _N,p .

L’ensemble [ ⁻¹ _p , ¹ _p ] est ferm´ e donc bor´ elien et f n : (Ω, T ) → ( R , B( R )) est mesurable donc A N,p = T

n≥N f _n ⁻¹ ([ ⁻¹ _p , _p ¹ ]) est une intersection d´ enombrable d’ensembles de T , donc A N,p ∈ T . Pour tout p ≥ 1 et tout x ∈ B = {x ∈ Ω, f _n (x) → 0}, ∃N ∈ N tel que

n ≥ N ⇒ |f n (x)| ≤ 1/p

⇒ x ∈ {|f n | ≤ 1/p}

donc x ∈ A _N,p .

Donc B ⊂ ∪ N≥1 A _N,p et µ (∪ N ≥1 A _N,p ) ≥ µ(B) = µ(Ω), car d’apr` es (2), µ(Ω \ B) = 0. On en d´ eduit l’´ egalit´ e recherch´ ee.

b) Soit > 0. Montrer que pour tout p ∈ N ^∗ , il existe N _p = N _p () ≥ 1 tel que µ(Ω) − µ(A _N

_,p ) ≤ ₂

.

Comme la suite (A _N,p ) _N≥1 est croissante, on a d’apr` es le cours : µ(∪ N ≥1 A _N,p ) = lim

N →∞ µ(A _N,p ).

Comme µ(∪ N≥1 A N,p ) = µ(Ω) < +∞, il existe donc N p ∈ N tel que µ(Ω) − µ(A _N

_,p ) ≤

2 ^p .

c) On note A = T

p≥1

A _N

_,p . Montrer que µ(Ω \ A ) ≤ .

µ(Ω \ A ) = µ



 [

p≥1

Ω \ A _N

_,p





≤ X

p≥1

µ Ω \ A _N

_,p

≤ X

p≥1

2 ^p

≤ .

d) En d´ eduire que (f _n ) _n converge presque uniform´ ement vers 0 sur Ω (Th´ eor` eme d’Egorov).

Pour tout p et tout n ≥ N _p , si x ∈ A alors x ∈ A _N

_,p et donc |f _n (x)| < ¹ _p . La suite f _n converge donc uniform´ ement sur A . On a vu en c) que µ(Ω \ A ) ≤ . Ceci vaut pour tout > 0 : la suite f n

converge donc presque uniform´ ement vers 0.