On désigne par F l'ensemble des fonctions de R dans R et par F c l'ensemble des fonctions continues de R dans R. Pour tout couple (f, g) ∈ F 2 , on dénit f ∗ g dans R par

(1)

MPSI B 2010-2011 DS 8 29 juin 2019

Problème 1.

On désigne par F l'ensemble des fonctions de R dans R et par F c l'ensemble des fonctions continues de R dans R. Pour tout couple (f, g) ∈ F ² , on dénit f ∗ g dans R par

∀x ∈ R , (f ∗ g)(x) = Z x

0 f (t)g(x − t) dt

Pour f ∈ F , on désigne par µ _f l'application de F dans l'ensemble des fonctions dénies dans R qui à g ∈ F associe µ f (g) = f ∗ g .

Partie I. Propriétés et exemples

1. Exemples

a. Calculer sin ∗ sin , sin ∗ cos , cos ∗ cos .

b. Calculer f ∗ g pour f (x) = |x − 1| et g(x) = |x| . 2. Soit f ∈ F .

a. Montrer que µ f est linéaire de F c dans F .

b. Montrer que f ∗ g = g ∗ f pour toute fonction g ∈ F c . c. On suppose que f et g sont C ¹ ( R ) . Montrer que

f

⁰

∗ g + f (0)g = f ∗ g

⁰

+ g(0)f

Partie II. Dérivations et polynômes

Dans cette partie f est une fonction polynomiale de degré n . 1. Soit x un réel quelconque. Donner une expression simple pour

n

X

k=0

(−1) ^k f ^(k) (x) k! x ^k

2. Montrer qu'il existe des fonctions a ₀ , a ₁ , · · · , a _m (et en donner une expression) telles que

∀g ∈ F _c , ∀x ∈ R , (f ∗ g)(x) =

m

X

k=0

a _k (x) Z x

0 t ^k g(t) dt

3. Montrer que, pour tout g ∈ F c , la fonction f ∗ g est dérivable avec (f ∗ g)

⁰

= f

⁰

∗ g + f (0)g

4. On suppose que g est solution de l'équation diérentielle linéaire f (0)g ⁽ⁿ⁾ + f

⁰

(0)g ⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + f ⁽ⁿ⁾ (0)g = 0 Montrer que f ∗ g est une fonction polynômiale.

Problème 2

L'objet de ce problème

¹

est de prouver une inégalité de Chebychev portant sur le nombre (noté π(n) ) d'entiers premiers plus petits qu'un entier n .

Partie I. Intégrale de Nair

Pour tous entiers naturels non nuls m et n tels que m ≤ n , on pose I(m, n) =

Z 1

0 x ^m−1 (1 − x) ^n−m dx

1. Montrer que

I(m, n) =

n−m

X

j=0

(−1) ^j m + j

n − m j

2. a. Soit m < n , montrer que mI(m, n) = (n − m)I(m + 1, n) . b. Calculer I(1, n) .

c. Montrer que m _m ⁿ

I(m, n) = 1 .

3. Dans cette question, on veut retrouver de manière indépendante le résultat de 2.c.

a. Montrer que, pour tout y ∈ [0, 1[ ,

n

X

m=1

n − 1 m − 1

I(m, n)y ^m−1 = 1

n 1 + y + · · · + y ⁿ⁻¹

b. En déduire le résultat cherché.

1

d'après Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres G. Tenenbaum (Pub. Institut Elie Cartan) p11 et On Chebyschev-type inequalities for prime M. Nair (Am. Math. Month. 89, no 2, 126-129)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1008E

(2)

MPSI B 2010-2011 DS 8 29 juin 2019

Partie II. Plus petit commun multiple des premiers entiers

Pour tout nombre naturel non nul n , on note d _n le plus petit des multiples communs à tous les entiers entre 1 et n .

1. Calculer d _n pour n entre 1 et 9 . 2. Soit m et n des entiers tels que m ≤ n .

a. Montrer que d _n I(m, n) ∈ Z.

b. Montrer que m _m ⁿ divise d _n .

3. Soit m un entier naturel non nul, montrer que chacun des nombres suivants m

2m m

, (m + 1)

2m + 1 m + 1

, (2m + 1) 2m

m

, m(2m + 1) 2m

m

divise d 2m+1 .

4. Soit m ∈ N

^∗

, en considérant (1 + 1) ^2m , montrer que m 2 ^2m ≤ d 2m+1

Partie III. Une inégalité de Chebychev

1. a. En distinguant les cas où n est pair ou impair, montrer que d _n ≥ 2 ⁿ pour tous les entiers n tels que n ≥ 9 .

b. Déterminer tous les entiers n pour lesquels d _n ≥ 2 ⁿ .

2. a. Soit n un naturel non nul et p un diviseur premier de d _n . L'exposant de p dans la décomposition de d _n en facteurs premiers est noté α _p . Montrer qu'il existe un entier m _p compris entre 1 et n tel que α _p soit l'exposant de p dans la décomposition de m _p en facteurs premiers.

b. Montrer que d _n ≤ n ^π(n) .

3. a. Montrer que, pour tous les entiers n ≥ 9 , π(n) ≥ ln 2 n

ln n

b. Déterminer tous les entiers n pour lesquels l'inégalité précédente est vraie.

Problème 3.

On note respectivement bxc et {x} = x − bxc la partie entière et la partie fractionnaire d'un nombre réel. Dans tout le problème m , n , k désignent des entiers naturels non nuls.

Pour tout entier naturel non nul n , on introduit un ensemble D n et un nombre d n : D n =

k ∈ J 1, n K tq { n k } ≥ 1

2 , d n = ]D n

n On peut interpréter d _n comme la densité de D _n dans J 1, n K.

L'objet de ce problème

²

est de montrer que (d _n ) _n∈

N^∗

converge vers 2 ln 2 − 1 .

Partie I. Parties entières.

On dénit une fonction ϕ dans ]0, +∞[ par :

∀x > 0 : ϕ(x) = b 2

x c − 2b 1 x c

Pour tout naturel non nul m , on dénit ϕ m comme la restriction de ϕ au segment [ _m ¹ , 1] . 1. Les fonctions ϕ et ϕ m sont-elles continues par morceaux ? en escalier ? intégrables ? 2. a. Montrer que ϕ ne prend que les valeurs 0 ou 1 .

b. Pour un naturel k non nul, tracer le graphe de ϕ restreint à [ _k+1 ¹ , _k ¹ ] .

c. Soit n xé et k ∈ {1, · · · , n} , montrer que k ∈ D n si et seulement si ϕ( _n ^k ) = 1 . 3. Montrer que

Z

[

_m¹

,1]

ϕ =

m

X

k=2

1 k − ¹ ₂ −

m

X

k=2

1 k 4. On introduit une suite (h n ) _n∈

N^∗

et on admet qu'il existe un réel γ (constante d'Euler) tel que

h n = 1 + 1

2 + · · · + 1

n = ln n + γ + o(1) a. Exprimer R

[

_m¹

,1] ϕ en utilisant h 2m et h m . b. Montrer que

Z

[

_m¹

,1]

ϕ

!

m∈

N^∗

→ 2 ln 2 − 1

2

d'après Problems and Theorems in Analysis I G. Pólya - G. Szeg® (Springer) p55

2

(3)

MPSI B 2010-2011 DS 8 29 juin 2019

Parties II. Sommes de Riemann.

1. Soit ψ une fonction en escalier dénie sur un segment [a, b] et M un majorant de |ψ| . Soit S = (x 0 , · · · , x s ) une subdivision adaptée à ψ qui n'est pas supposée régulière.

On note α le plus petit des x i+1 − x i pour i entre 0 et s − 1 . Pour tout naturel n tel que _n ¹ < α , on introduit I n et S n :

On désigne par F l'ensemble des fonctions de R dans R et par F c l'ensemble des fonctions continues de R dans R. Pour tout couple (f, g) ∈ F 2 , on dénit f ∗ g dans R par

MPSI B 2010-2011 DS 8 29 juin 2019

Problème 1.

On désigne par F l'ensemble des fonctions de R dans R et par F c l'ensemble des fonctions continues de R dans R. Pour tout couple (f, g) ∈ F 2 , on dénit f ∗ g dans R par

∀x ∈ R , (f ∗ g)(x) = Z x

0

f (t)g(x − t) dt

Pour f ∈ F , on désigne par µ f l'application de F dans l'ensemble des fonctions dénies dans R qui à g ∈ F associe µ f (g) = f ∗ g .

Partie I. Propriétés et exemples

1. Exemples

a. Calculer sin ∗ sin , sin ∗ cos , cos ∗ cos .

b. Calculer f ∗ g pour f (x) = |x − 1| et g(x) = |x| . 2. Soit f ∈ F .

a. Montrer que µ f est linéaire de F c dans F .

b. Montrer que f ∗ g = g ∗ f pour toute fonction g ∈ F c . c. On suppose que f et g sont C 1 ( R ) . Montrer que

f

∗ g + f (0)g = f ∗ g

+ g(0)f

Partie II. Dérivations et polynômes

Dans cette partie f est une fonction polynomiale de degré n . 1. Soit x un réel quelconque. Donner une expression simple pour

n

X

k=0

(−1) k f (k) (x) k! x k

2. Montrer qu'il existe des fonctions a 0 , a 1 , · · · , a m (et en donner une expression) telles que

∀g ∈ F c , ∀x ∈ R , (f ∗ g)(x) =

m

X

k=0

a k (x) Z x

0

t k g(t) dt

3. Montrer que, pour tout g ∈ F c , la fonction f ∗ g est dérivable avec (f ∗ g)

= f

∗ g + f (0)g

4. On suppose que g est solution de l'équation diérentielle linéaire f (0)g (n) + f

(0)g (n−1) + · · · + f (n) (0)g = 0 Montrer que f ∗ g est une fonction polynômiale.

Problème 2

L'objet de ce problème

est de prouver une inégalité de Chebychev portant sur le nombre (noté π(n) ) d'entiers premiers plus petits qu'un entier n .

Partie I. Intégrale de Nair

Pour tous entiers naturels non nuls m et n tels que m ≤ n , on pose I(m, n) =

Z 1

0

x m−1 (1 − x) n−m dx

1. Montrer que

I(m, n) =

n−m

X

j=0

(−1) j m + j

n − m j

2. a. Soit m < n , montrer que mI(m, n) = (n − m)I(m + 1, n) . b. Calculer I(1, n) .

c. Montrer que m m n

I(m, n) = 1 .

3. Dans cette question, on veut retrouver de manière indépendante le résultat de 2.c.

a. Montrer que, pour tout y ∈ [0, 1[ ,

n

X

m=1

n − 1 m − 1

I(m, n)y m−1 = 1

n 1 + y + · · · + y n−1

b. En déduire le résultat cherché.

d'après Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres G. Tenenbaum (Pub. Institut Elie Cartan) p11 et On Chebyschev-type inequalities for prime M. Nair (Am. Math. Month. 89, no 2, 126-129)

1

MPSI B 2010-2011 DS 8 29 juin 2019

Partie II. Plus petit commun multiple des premiers entiers

Pour tout nombre naturel non nul n , on note d n le plus petit des multiples communs à tous les entiers entre 1 et n .

1. Calculer d n pour n entre 1 et 9 . 2. Soit m et n des entiers tels que m ≤ n .

a. Montrer que d n I(m, n) ∈ Z.

b. Montrer que m m n divise d n .

3. Soit m un entier naturel non nul, montrer que chacun des nombres suivants m

2m m

, (m + 1)

2m + 1 m + 1

, (2m + 1) 2m

m

, m(2m + 1) 2m

m

divise d 2m+1 .

On désigne par F l'ensemble des fonctions de R dans R et par F c l'ensemble des fonctions continues de R dans R. Pour tout couple (f, g) ∈ F ² , on dénit f ∗ g dans R par

Pour f ∈ F , on désigne par µ _f l'application de F dans l'ensemble des fonctions dénies dans R qui à g ∈ F associe µ f (g) = f ∗ g .

b. Montrer que f ∗ g = g ∗ f pour toute fonction g ∈ F c . c. On suppose que f et g sont C ¹ ( R ) . Montrer que

(−1) ^k f ^(k) (x) k! x ^k

2. Montrer qu'il existe des fonctions a ₀ , a ₁ , · · · , a _m (et en donner une expression) telles que

∀g ∈ F _c , ∀x ∈ R , (f ∗ g)(x) =

a _k (x) Z x

t ^k g(t) dt

4. On suppose que g est solution de l'équation diérentielle linéaire f (0)g ⁽ⁿ⁾ + f

(0)g ⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + f ⁽ⁿ⁾ (0)g = 0 Montrer que f ∗ g est une fonction polynômiale.

x ^m−1 (1 − x) ^n−m dx

(−1) ^j m + j

c. Montrer que m _m ⁿ

I(m, n)y ^m−1 = 1

n 1 + y + · · · + y ⁿ⁻¹

Pour tout nombre naturel non nul n , on note d _n le plus petit des multiples communs à tous les entiers entre 1 et n .

1. Calculer d _n pour n entre 1 et 9 . 2. Soit m et n des entiers tels que m ≤ n .

a. Montrer que d _n I(m, n) ∈ Z.

b. Montrer que m _m ⁿ divise d _n .

, en considérant (1 + 1) ^2m , montrer que m 2 ^2m ≤ d 2m+1

1. a. En distinguant les cas où n est pair ou impair, montrer que d _n ≥ 2 ⁿ pour tous les entiers n tels que n ≥ 9 .

b. Déterminer tous les entiers n pour lesquels d _n ≥ 2 ⁿ .

2. a. Soit n un naturel non nul et p un diviseur premier de d _n . L'exposant de p dans la décomposition de d _n en facteurs premiers est noté α _p . Montrer qu'il existe un entier m _p compris entre 1 et n tel que α _p soit l'exposant de p dans la décomposition de m _p en facteurs premiers.

b. Montrer que d _n ≤ n ^π(n) .

n On peut interpréter d _n comme la densité de D _n dans J 1, n K.

est de montrer que (d _n ) _n∈

Pour tout naturel non nul m , on dénit ϕ m comme la restriction de ϕ au segment [ _m ¹ , 1] . 1. Les fonctions ϕ et ϕ m sont-elles continues par morceaux ? en escalier ? intégrables ? 2. a. Montrer que ϕ ne prend que les valeurs 0 ou 1 .

b. Pour un naturel k non nul, tracer le graphe de ϕ restreint à [ _k+1 ¹ , _k ¹ ] .

c. Soit n xé et k ∈ {1, · · · , n} , montrer que k ∈ D n si et seulement si ϕ( _n ^k ) = 1 . 3. Montrer que

1 k − ¹ ₂ −

1 k 4. On introduit une suite (h n ) _n∈

On note α le plus petit des x i+1 − x i pour i entre 0 et s − 1 . Pour tout naturel n tel que _n ¹ < α , on introduit I n et S n :

I _n =

, S _n = 1 n