Soit F l'ensemble des applications continues f de R dans R telles que

MPSI B Énonce du DS 5 29 juin 2019

Problème I.

PARTIE I

Soit F l'ensemble des applications continues f de R dans R telles que

∀(x, y) ∈ R

²

, f (x + y)f (x − y) = [f (x)f (y)]

²

1. Déterminer un élément de F non constant et ne s'annulant pas sur R.

2. Soit f un élément de F . Déterminer les valeurs possibles de f (0) et montrer que f est l'application nulle si et seulement si f (0) = 0 . Que peut-on en déduire pour une application non nulle de F ?

PARTIE II

Soit G l'ensemble des applications continues g de R dans R telles que

∀(x, y) ∈ R

²

, g(x + y) + g(x − y) = 2 [g(x) + g(y)]

1. Montrer que l'on peut déterminer tous les éléments de G en fonction des éléments de F.

2. Soit (u

n

)

n∈N

une suite de nombres réels dénie par u

₀

= 0

∀n ≥ 1, u

n+1

− 2u

n

+ u

n−1

= 2u

1

Préciser u

n

en fonction de n et u

1

. (utiliser des sommations)

3. Soit g ∈ G et (α, x) ∈ R

²

. Calculer g(αx) en fonction de α et de x (en commençant par le cas où α est entier).

4. Déterminer tous les éléments de G et en déduire ceux de F . PARTIE III

Soit H l'ensemble des applications h de R dans R telles que

∀(x, y) ∈ R

²

, h(x + y) + h(x − y) = 2 [h(x) + h(y)]

∃α > 0, ∃A ≥ 0 tels que ∀x ∈ [−α, α] : |h(x)| ≤ A

1. Soit h ∈ H . Montrer que pour tout entier n , h est bornée sur le segment [−2

ⁿ

α, 2

ⁿ

α] . En déduire que la restriction de h à un segment quelconque est borné.

2. Soit h ∈ H . Soit M

a

un majorant de |h| sur [−1, 1] ∪ [a − 1, a + 1] . Montrer que

∀u ∈ [−1, 1] , ∀n ∈ N

h(a + u

2

ⁿ

) − h(a)

≤ 3 · 2

ⁿ

− 1 4

ⁿ

M

_a

3. En déduire que H = G .

Problème II.

Étude d'une courbe plane

¹

1. Soit z = ρe

^iθ

un nombre complexe ( ρ et θ réels et ρ non nul). Déterminer en fonction de ρ et θ une forme trigonométrique du nombre complexe

ξ = ze

^−z

2. Démontrer que la fonction u dénie sur ]0, 1] par

u(t) = 1 + ln t t

dénit une bijection de ]0, 1] sur ] − ∞, 1] . Montrer que sa bijection réciproque est de classe C

¹

sur ] − ∞, 1[ .

3. En déduire l'existence d'une fonction θ 7→ r(θ) de R vers ]0, 1] telle que pour tout réel θ

r(θ)e

^{−r(θ) cosθ}

= 1 e

4. Montrer que r est une fonction continue, 2π -périodique et paire. Démontrer qu'elle est de classe C

¹

sur ]0, 2π[ et que,

∀θ ∈]0, 2π[: r

⁰

(θ) = r(θ)

²

sin θ r(θ) cos θ − 1

5. Donner un équivalent simple à droite de 0 de la fonction (notée w ) dénie par h → 1 − u(1 − h)

La fonction u est dénie en 2.. Grâce à une expression de 1 − cos θ à l'aide de u(r(θ)) , en déduire que à droite de 0 :

r(θ) = 1 − θ + o(θ) Prouver que r est de

1Partie I de Centrale Supélec 2001 MP 1

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1

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Problème III.

Cet exercice porte sur un procédé connu sous le nom de moyennisation d'un projecteur.

²

Soit E un espace vectoriel réel, F un sous espace vectoriel de E et G un sous-groupe ni (avec m éléments) du groupe des automorphismes de E .

On suppose que le sous-espace F est stable par les éléments de G c'est à dire que :

∀g ∈ G, ∀x ∈ F : g(x) ∈ F.

À tout élément u de L(E) , on associe u

⁺

déni par u

⁺

= 1

m X

g∈G

g

⁻¹

◦ u ◦ g.

1. Montrer que u

⁺

est un endomorphisme de E commutant avec tout élément h de G . 2. Calculer (u

⁺

)

⁺

.

3. Soit p un projecteur de E avec F = Im(p) . a. Montrer que Im(p

⁺

) = F .

b. Montrer que :

∀(g, h) ∈ G

²

, g

⁻¹

◦ p ◦ g ◦ h

⁻¹

◦ p ◦ h = h

⁻¹

◦ p ◦ h.

c. Montrer que p

⁺

est un projecteur.

d. Montrer que le noyau de p

⁺

est stable par tout élément g de G .

2Exercice 1 de e3a 2001 MP 2

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