MPSI B Énonce du DS 5 29 juin 2019
Problème I.
PARTIE I
Soit F l'ensemble des applications continues f de R dans R telles que
∀(x, y) ∈ R
2, f (x + y)f (x − y) = [f (x)f (y)]
21. Déterminer un élément de F non constant et ne s'annulant pas sur R.
2. Soit f un élément de F . Déterminer les valeurs possibles de f (0) et montrer que f est l'application nulle si et seulement si f (0) = 0 . Que peut-on en déduire pour une application non nulle de F ?
PARTIE II
Soit G l'ensemble des applications continues g de R dans R telles que
∀(x, y) ∈ R
2, g(x + y) + g(x − y) = 2 [g(x) + g(y)]
1. Montrer que l'on peut déterminer tous les éléments de G en fonction des éléments de F.
2. Soit (u
n)
n∈Nune suite de nombres réels dénie par u
0= 0
∀n ≥ 1, u
n+1− 2u
n+ u
n−1= 2u
1Préciser u
nen fonction de n et u
1. (utiliser des sommations)
3. Soit g ∈ G et (α, x) ∈ R
2. Calculer g(αx) en fonction de α et de x (en commençant par le cas où α est entier).
4. Déterminer tous les éléments de G et en déduire ceux de F . PARTIE III
Soit H l'ensemble des applications h de R dans R telles que
∀(x, y) ∈ R
2, h(x + y) + h(x − y) = 2 [h(x) + h(y)]
∃α > 0, ∃A ≥ 0 tels que ∀x ∈ [−α, α] : |h(x)| ≤ A
1. Soit h ∈ H . Montrer que pour tout entier n , h est bornée sur le segment [−2
nα, 2
nα] . En déduire que la restriction de h à un segment quelconque est borné.
2. Soit h ∈ H . Soit M
aun majorant de |h| sur [−1, 1] ∪ [a − 1, a + 1] . Montrer que
∀u ∈ [−1, 1] , ∀n ∈ N
h(a + u
2
n) − h(a)
≤ 3 · 2
n− 1 4
nM
a3. En déduire que H = G .
Problème II.
Étude d'une courbe plane
11. Soit z = ρe
iθun nombre complexe ( ρ et θ réels et ρ non nul). Déterminer en fonction de ρ et θ une forme trigonométrique du nombre complexe
ξ = ze
−z2. Démontrer que la fonction u dénie sur ]0, 1] par
u(t) = 1 + ln t t
dénit une bijection de ]0, 1] sur ] − ∞, 1] . Montrer que sa bijection réciproque est de classe C
1sur ] − ∞, 1[ .
3. En déduire l'existence d'une fonction θ 7→ r(θ) de R vers ]0, 1] telle que pour tout réel θ
r(θ)e
−r(θ) cosθ= 1 e
4. Montrer que r est une fonction continue, 2π -périodique et paire. Démontrer qu'elle est de classe C
1sur ]0, 2π[ et que,
∀θ ∈]0, 2π[: r
0(θ) = r(θ)
2sin θ r(θ) cos θ − 1
5. Donner un équivalent simple à droite de 0 de la fonction (notée w ) dénie par h → 1 − u(1 − h)
La fonction u est dénie en 2.. Grâce à une expression de 1 − cos θ à l'aide de u(r(θ)) , en déduire que à droite de 0 :
r(θ) = 1 − θ + o(θ) Prouver que r est de
1Partie I de Centrale Supélec 2001 MP 1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai S0105EMPSI B Énonce du DS 5 29 juin 2019
Problème III.
Cet exercice porte sur un procédé connu sous le nom de moyennisation d'un projecteur.
2Soit E un espace vectoriel réel, F un sous espace vectoriel de E et G un sous-groupe ni (avec m éléments) du groupe des automorphismes de E .
On suppose que le sous-espace F est stable par les éléments de G c'est à dire que :
∀g ∈ G, ∀x ∈ F : g(x) ∈ F.
À tout élément u de L(E) , on associe u
+déni par u
+= 1
m X
g∈G
g
−1◦ u ◦ g.
1. Montrer que u
+est un endomorphisme de E commutant avec tout élément h de G . 2. Calculer (u
+)
+.
3. Soit p un projecteur de E avec F = Im(p) . a. Montrer que Im(p
+) = F .
b. Montrer que :
∀(g, h) ∈ G
2, g
−1◦ p ◦ g ◦ h
−1◦ p ◦ h = h
−1◦ p ◦ h.
c. Montrer que p
+est un projecteur.
d. Montrer que le noyau de p
+est stable par tout élément g de G .
2Exercice 1 de e3a 2001 MP 2
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