On suppose que le sous-espace F est stable par les éléments de G c'est à dire que :

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Cet exercice porte sur un procédé connu sous le nom de moyennisation d'un projecteur.

Soit E un espace vectoriel réel, F un sous espace vectoriel de E et G un sous-groupe ni (avec m éléments) du groupe des automorphismes de E .

On suppose que le sous-espace F est stable par les éléments de G c'est à dire que :

∀g ∈ G, ∀x ∈ F : g(x) ∈ F.

À tout élément u de L(E) , on associe u

déni par u

= 1

m X

g∈G

g

◦ u ◦ g.

1. Montrer que u

est un endomorphisme de E commutant avec tout élément h de G . 2. Calculer (u

)

.

3. Soit p un projecteur de E avec F = Im(p) . a. Montrer que Im(p

) = F .

b. Montrer que :

∀(g, h) ∈ G

, g

◦ p ◦ g ◦ h

◦ p ◦ h = h

◦ p ◦ h.

c. Montrer que p

est un projecteur.

d. Montrer que le noyau de p

est stable par tout élément g de G .

1Exercice 1 de e3a 2001 MP 2

Corrigé

1. L'application u

est linéaire comme combinaison de composées d'applications linéaires.

Considérons u ◦ h pour un h quelconque dans G : u

◦ h = 1

m X

g∈G

g

◦ u ◦ g ◦ h = 1

m h ◦ X

g∈G

(g ◦ h)

u ◦ (g ◦ h).

Pour h xé, g

= g ◦ h décrit le groupe G lorsque g décrit G donc u

◦ h = 1

m h ◦ X

g⁰∈G

g

◦ u ◦ g

= h ◦ u

.

2. Comme u

commute avec tout élément g de G , u

= 1

m X

g∈G

g

◦ u

◦ g = 1 m

X

g∈G

g

◦ g ◦ u

= u

.

3. a. L'application p est un projecteur sur F qui est stable par les éléments de G donc :

∀x ∈ F, p

(x) = 1 m

X

g∈G

g

◦ p(g(x)

|{z}

∈F

) = 1 m

X

g∈G

g

◦ g(x) = x

donc F est inclus dans l'image de p

.

D'autre part, pour tout x de E , p(g(x)) ∈ F donc g

◦ p ◦ g(x) ∈ F par stabilité puis p

(x) ∈ F par linéarité. On en déduit que F est l'image de p

.

b. Soit g et h quelconques dans G et y quelconque dans E . Alors p(y) ∈ F ⇒ g ◦ h

◦ p(y) ∈ F (stabilité de F )

⇒ p◦ g ◦ h

◦ p(y) = g ◦ h

◦ p(y) ⇒ p ◦ g ◦ h

◦ p = g ◦ h

◦ p (à cause du ∀y)

⇒ g

◦ p ◦ g ◦ h

◦ p ◦ h = g

◦ g ◦ h

◦ p ◦ h = h

◦ p ◦ h.

c. Pour montrer que p

est un projecteur, on forme p

◦ p

. p

◦ p

= 1

m

X

(g,h)∈G²

g

◦ p ◦ g ◦ h

◦ p ◦ h

= 1 m

X

(g,h)∈G²

h

◦ p ◦ h = 1 m

X

g∈G

p

= p

.

d. Pour tout x ∈ ker p

, p

◦ g(x) = g ◦ p

(x) = 0 donc g(x) ∈ ker p

. D'où ker p

est stable par G .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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