D´emontrer que H est un sous-groupe

L3, D´ecembre 2020 NUM ´ERO COPIE :

Structures alg´ebriques

Documents interdits et T ´EL ´EPHONE ´ETEINT SUR LA TABLE ET `A L’ENVERS

Exercice 1.

(1) D´ecrire tous les morphismes de groupesϕ:Z→Z/15Z.

(2) Parmi ces morphismes lesquels sont surjectifs? Justifier la r´eponse.

(3) Donner la liste de tous les morphismes de groupes ψ:Z/6Z→Z/15Zen justifiant pourquoi ils sont bien d´efinis.

Exercice 2.

(1) Soit (G,·) un groupefiniet soitH un sous-ensemble non vide qui v´erifie:

(∗) ∀(h1, h2)∈H²: h1·h2∈H.

D´emontrer que H est un sous-groupe.

(2) Trouver un groupe (G,·) de cardinal infini et un sous-ensemble H qui v´erifie (∗) mais qui n’est pas un sous-groupe.

(3) Soit

T ={_{1a c}

0 1b 0 0 1

|a, b, c∈Z/2Z} ⊂GL3(Z/2Z)

o`u GL3(Z/2Z) est le groupe (par rapport au produit usuel de matrices) des matrices de taille 3 inversibles `a coefficients dans le corpsZ/2Z.D´emontrer que T est un sous-groupe deGL3(Z/2Z).

(4) Soient

a=_{1 1 1}

0 1 1 0 0 1

, b=_{1 1 0}

0 1 0 0 0 1

deux ´el´ements deT. Calculer leur ordres.

(5) D´emontrer que hai/ T et queT =ha, bi.

(6) D´emontrer que T 'D₄.

Exercice 3. SoitZ[√

5] ={a+b√

5∈R|a, b∈Z}.

(1) D´emontrer que Z[√

5] est un sous-anneau de R. (2) D´emontrer que M :Z[√

5]→Z, z=a+b√

57→a²−5b² est multiplicative.

(3) D´emontrer qu’il n’existe pas un ´el´ementz∈Z[√

5] tel queM(z) =±2 (on pourra raisonner modulo 5). En d´eduire que siz∈Z[√

5] est tel queM(z) =±4 alorsz est irr´eductible.

(4) D´emontrer que si z∈Z[√

5] est inversible alorsM(z) =±1.

(5) D´emontrer que Z[√

5] n’est pas factoriel.

Exercice 4.

(1) D´ecrire les id´eaux de l’anneauZ[i].

(2) Soit I6={0} un id´eal de l’anneauZ[i]. D´emontrer que l’anneau quotientZ[i]/I a cardinal fini.

TOURNER SVP

ENTOURER LA BONNE R ´EPONSE

Une bonne r´eponse entour´ee = +0,5, une mauvaise = -0,5. La note finale du QCM ne sera pas inf´erieure `a 0.

Plusieurs bonnes r´eponses pour la mˆeme question sont possibles.

(1) (a) Tout sous-anneau deQa le mˆeme corps de fractions.

VRAI FAUX

(b) Tout sous-anneau deRa le mˆeme corps de fractions.

VRAI FAUX

(2) SoitAun anneau int`egre.

(a) L’identit´e de Bezout est valable pour tout couple d’´el´ements siAest

´euclidien principal factoriel quelconque

(b) La propri´et´e : ∀(a, b, c)∈A³, (a|bc, a∧b= 1) =⇒a|c est valable siAest

´euclidien principal factoriel quelconque

(3) SoitA3 le sous-anneau deZ[x] d´efini par : A3={f=P

iaixⁱ∈Z[x]; 3|a1}.

(a) Le ppcm de 3 et 3xdansA3 est

3x 9x 9x² @

(b) Le pgcd de 3 et 3xdansA3 est

1 3 @

(4) DansZ[i√

3] le pgcd de 4 et 2 + 2i√ 3 est

1 2 1 +i√

3 4 2 + 2i√

3 @

(5) DansZ[¹⁺ⁱ

√3

2 ] le pgcd de 4 et 2 + 2i√ 3 est

1 2 1 +i√

3 4 2 + 2i√

3 @

(6) Soit

A= Z/3Z[x]

(x³+x+ ¯1) (a) le cardinal deA^∗est

1 2 16 26 aucun de ceux-l`a

(b) l’ordre dex+ (x³+x+ ¯1) dans (A^∗,·) est

2 4 8 13 16 26 aucun de ceux-l`a

(c) Le groupe (A^∗,·) est-il cyclique?

OUI NON

(7) Pour toutn≥1 le groupeSnadmet un sous-groupe d’indicen.

VRAI FAUX