Chapitre 10 : Dénombrement.
En mathématiques, ledénombrementest la détermination du nombre d’éléments d’un ensemble.
Il s’obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal à l’aide de techniques combinatoires.
I Cardinal d’un ensemble fini
A Cardinal d’un ensemble et d’un sous ensemble.
Remarque1. Le cardinal d’un ensemble fini est simplement le nombre d’éléments de cet ensemble. Donner une bijection entreE etJ1, nKconsiste à numéroter les éléments deE.
Un ensembleE non vide est dit être fini s’il existe un entiern et une bijection entreE et J1, nK. Dans ce cas on appellenle cardinal deE et on note CardpEq “n.
Par convention l’ensemble vide est fini et de cardinal 0.
Définition 1(Cardinal)
Exemple 1. 1. Pour nPN˚ l’ensembleJ1, nKest fini de cardinaln.
2. La BCPST1 2019´2020 est un ensemble fini de cardinal 45. La liste d’appel peut, par exemple, fournir une bijection entre la classe et l’ensembleJ1,45K.
3. Les ensemblesN,Z,Q,RetCsont tous infinis.
Remarque2. Dans le cas d’équiprobabilité, en divisant par CardpΩqon obtient simplement :PpAq ď1 etPpA“1´PpAq.
SoitE un ensemble fini et soitAĂE.
• AlorsAest un ensemble fini et CardpAq ďCardpEq. De plus on a CardpAq “CardpEq si et seulement siA“E.
• Soit ¯Ale complémentaire deAdansE. Alors ¯Aest fini et CardpAq “¯ CardpEq ´CardpAq Proposition 1
Exemple 2. Dans la classe de BCPST1 2019-2020 il y a 45 élèves dont 14 garçons, il y a donc 45´14“31 filles.
B Union et intersection.
Remarque3. Dans le cas d’équiprobabilité, en divisant par CardpΩqon obtient simplement : PpAYBq “PpAq ` PpBq ´PpAXBq
SoitAet B deux ensembles. La réunionAYB est un ensemble fini si et seulement siAet B sont tous les deux finis et alors
CardpAYBq “CardpAq `CardpBq ´CardpAXBq (SiAetB disjoints alors CardpAYBq “CardpAq `CardpBq)
Remarque4. On peut retrouver cette formule en faisant un
graphique comme pour la formule précédente.
SoitCun autre ensemble. La réunionAYBYCest un ensemble fini si et seulement siA,B etC sont tous les trois finis et alors
CardpAYBYCq “CardpAq `CardpBq `CardpCq
´CardpAXBq ´CardpAXCq ´CardpBXCq
`CardpAXBXCq Théorème 2
Exemple 3. Parmi les 45 élèves de BSPCT 1, lors d’une journée "sportive".
• 30 ont choisi de jouer au basket (ensemble B).
• 15 ont choisi de jouer au basket et au volley.
• 11 ont choisi de jouer au basket et au handball.
• 10 ont choisi de jouer au volley et au handball.
On sait que seuls 3 élèves n’ont pratiqué aucun de ces trois sports.
Combien d’élèves ont pratiqué les 3 sports.
On a : CardpBYV YHq “45´CardpBYV YHq “45´3“42. Donc :
CardpBXV XHq “CardpBYV YHq ´CardpBq ´CardpVq ´CardpHq `CardpBXVq `CardpBXHq `CardpV XHq
“42´30´23´20`15`11`10“2 Donc 2 ont choisi de pratiquer les 3 sports.
De manière générale on a le résultat suivant, dit principe d’inclusion-exclusion.
Principe d’inclusion-exclusion Soit n P N˚ et pA1,¨ ¨ ¨Anq une famille d’ensembles. La réunion Ťn
i“1Aiest un ensemble fini si et seulement si tous lesAisont finis et alors Card
˜ n ď
i“1
Ai
¸
“
n
ÿ
i“1
CardpAiq ´ ÿ
pi,jq 1ďiăjďn
CardpAiXAjq ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qn`1CardpA1X. . .XAnq
“
n
ÿ
k“1
¨
˝p´1qk´1 ÿ
1ďi1ăi2ă...ăikďn
CardpAi1XAi2X. . .XAikq
˛
‚
Si lesAisont deux-à-deux disjoints alors : Card`Ťn i“1Ai
˘“řn
i“1CardpAiq Théorème 3
C Produit cartésien
SoitAetB deux ensembles non-vides. Le produit cartésienAˆB est fini si et seulement siAet B sont tous les deux finis et alors
CardpAˆBq “CardpAq ˆCardpBq
Plus généralement soitnPN˚etpA1,¨ ¨ ¨Anqune famille d’ensembles non vides. Le produit cartésien A1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆAn est un ensemble fini si et seulement si tous lesAi sont finis et alors
CardpA1ˆ ¨ ¨ ¨ ˆAnq “
n
ź
k“1
CardpAkq Proposition 4
II p-listes.
A p-liste avec répétition.
1 Approche ensembliste.
Remarque5. En probabilité, on parlera den tirages avec remises.
Pour le cas particulierApavecpPN˚, les éléments de l’ensembleApsont appelés desp-liste(avec répétitions possibles) d’éléments deAet l’on a :
CardpApq “CardpAqp Définition-Proposition 5
Démonstration 1. Pour construire une p-liste avec répétition possible dans un ensemble ànéléments, on a :
• nfaçons de choisir le premier élément.
• nfaçons de choisir le deuxième élément.
• ...
• nfaçons de choisir lepièmeélément.
Soit doncnpfaçons de construire une p-liste.
Exemple 4. Vous disposez de 10 paires de chaussettes que vous voulez ranger dans 4 tiroirs. De combien de manière différentes pouvez-vous le faire ?
On dispose d’un ensembleE les 4 tiroirs de cardinaln“4 et on cherche le nombre de manières de choisir successivement et avec remisep“10 éléments deE (à chaque tiroir on choisit une paire de chaussettes à y mettre.). On cherche donc le nombre de 10-listes d’éléments deE. On obtient donc 410 façons de ranger les 10 chaussettes.
2 Approche fonctionnelle.
SoitEetF deux ensembles finis. L’ensembleApE, Fqdes applications deEdansF, est fini et on a
CardpApE, Fqq “CardpFqCardpEq Proposition 6
Démonstration 2. SoitEetF deux ensembles finis. Combien y-a-t-il d’applications deE dansF?
Comment construit-on une application ? On prend un élément de E et on lui associe un élément deF, on répète ce procédé pour tous les éléments deE.
Pour un élémentxPEon a CardpFqchoix pourfpxq, on répète un tel choix autant de fois qu’il y a d’éléments dansE, soit CardpEq. On obtient donc CardpFqCardpEq choix possibles.
Exemple 5. Vous disposez de 10 paires de chaussettes que vous voulez ranger dans 4 tiroirs. De combien de manières différentes pouvez-vous le faire ?
Un rangement est un procédé qui à chaque paire de chaussettes associe un tiroir, c’est donc un application de l’ensemble des chaussettes dans l’ensemble des tiroirs. On sait qu’il y a 410 applications de ce type, d’où 410“1048576 rangements différents possibles.
B p-listes sans répétition.
1 Approche ensembliste.
Remarque6. Dans certaines littératures on parle
d’arrangements àp éléments parminpour rappeler que l’on rangep éléments pris parmin.
Remarque7. Si CardFăp, il n’existe pas dep-liste deF. Soit F un ensemble et p P N˚. On appelle p-liste sans répétition de F toute p-listepx1,¨ ¨ ¨, xpq
d’éléments deF deux-à-deux distincts.
Définition 2
SoitF un ensemble fini de cardinalnPNet soitpPN. Alors
• Sipďn, il y a pn´pq!n! p-listes sans répétition d’éléments deF.
• Sipąn, il y a 0p-listes sans répétition d’éléments deF.
Théorème 7
Démonstration 3. Soit F un ensemble fini de cardinal n P N et soit p P N. Pour obtenir unep-liste sans répétition :
• pour le premier élément, on anfaçons de le choisir,
• pour le second plus quen´1
• ...
• pour lepièmeplus quen´ pp´1q “n´p`1 façons.
Remarque8. Cette appellation est particulièrement explicite puisqu’il s’agit effectivement du nombre de façons de permuterlesn éléments deE.
SoitF un ensemble fini de cardinalnPN. Unen-liste est appelée unepermutationdes éléments deF.
Le nombre de permutation d’un ensemble ànéléments est :n!
Définition-Proposition 8
Démonstration 4. Voir démonstration précédente.
2 Approche fonctionnelle.
SoitEun ensemble fini de cardinal pPN˚ etF un ensemble fini de cardinalnPN˚ alors Nombre d’injections deE dansF “
#0 si CardpFq ăCardpEq
n!
pn´pq!
Proposition 9
Démonstration 5. SoitEetF deux ensembles finis. Combien y-a-t-il d’injections deE dansF? Comment construit-on une injection deE dansF?
On prend un élémentx1 PE et on lui associe un élément y1 deF, pour cela on a CardpFqchoix, on prend ensuite un autre élémentx2PEet on lui associe un élémenty2deFdifférent dey1, pour cela on a CardpFq ´1 choix. on continue ainsi jusqu’à avoir finiE. On a donc fait CardpEq choix successifs avec à chaque fois une possibilité de moins d’où
Nombre d’injections deEdansF“CardpFq ˆ pCardpFq ´1q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pCardpFq ´CardpEq `1q
Le nombre de bijections d’un ensemble F de cardinal n P N˚ dans lui-même est n!. Une telle bijection est aussi appelée unepermutationdeF.
Définition-Proposition 10
Démonstration 6. Voir démonstration précédente.
III Combinaisons.
A Définition.
Remarque9. Une k-combinaison est simplement un sous ensemble deEàk éléments.
SoitEun ensemble fini etkPN. On appellek-combinaison deEtoute partie deEàkéléments Définition 3
B Nombre de sous partie à k éléments.
Remarque10. Il n’existe pas de parties deEavec un nombre négatif d’éléments ou plus d’éléments que dansE.
SoitEun ensemble fini de cardinalnPNet soitkPJ0, nK. Le nombre dek-combinaisons deE est le nombre`n
k
˘défini par
˜ n k
¸
“ n!
k!pn´kq!
Par convention, sikă0 oukąnon pose`n
k
˘“0. On le lit «kparmin».
On appelle les nombres`n
k
˘descoefficients binomiaux(la raison viendra plus tard).
Théorème 11
Démonstration 7. SoitE un ensemble fini de cardinaln PN. SoitF un sous-ensemble deE de cardinalk.
CommeF est de cardinalkil existe alors, d’après la proposition 8,k! manières différentes de placer dans un certain ordre les éléments deF.
Ainsi il existe`n
k
˘ˆk! listes ordonnées dekéléments choisis parmiE.
Or on a vu dans le théorème 7, qu’il existait pn´kq!n! listes ordonnées dek éléments choisis parmiE.
Ainsi`n
k
˘ˆk!“ pn´kq!n! , soit
˜ n k
¸
“ n!
k!pn´kq!
Un autre point de vue sur les coefficients binomiaux est le suivant
Le nombre de manières de choisirkéléments parminéléments sans répétition et sans ordre est`n
k
˘ Proposition 12
Exemple 6. Je souhaite créer un groupe de trois élèves de la classe, j’ai alors`38
3
˘“ 3!35!38! “501942 possibilités pour le faire.
C Autre approche du Binôme de Newton.
Remarque11. On voit ici un approche combinatoire de la formule du Binôme de Newton.
Soitpa, bq PC2 etnPN˚
pa`bqn“
n
ÿ
k“0
˜ n k
¸ akbn´k Proposition 13(Rappel)
Démonstration 8.
pa`bqn“ pa`bq ˆ pa`bq ˆ...ˆ pa`bq loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon
Doit être interprété comme n "emplacements" lors du développement.
SoitkP rr0;kss. Pour obtenir le coefficient deakbn´k il faut choisirk fois "a" lors de développement (dès lors
"b" sera choisin´kfois) . Le nombre de façons de choisirkfois "a" est bien`n
k
˘. D’où le coefficient du monôme akbn´k et on retrouve :
pa`bqn“
n
ÿ
k“0
˜ n k
¸ akbn´k
D Nombre de sous-ensembles.
1 Approche ensembliste.
SoitEun ensemble fini. L’ensemblePpEqest fini et on a CardpPpEqq “2CardpEq Proposition 14
Démonstration 9. SoitEun ensemble de cardinal finin. CombienE admet-il de sous-ensembles ?
Pour répondre à cela posons nous la question de comment construire un sous-ensembleF deE. On prend les éléments un par un et pour chaque élément :
• soit on le "choisit"
• Soit non.
Soit 2 possibilités pour chacun desnéléments. Donc en tout, 2nfaçons de construire une sous-partie deE.
2 Approche calculatoire.
SoitEun ensemble fini de cardinal nPN. L’ensemblePpEqest fini et on a CardpPpEqq “
n
ÿ
k“0
˜ n k
¸
“2CardpEq Proposition 15
Démonstration 10. SoitEun ensemble fini de cardinalnPN. Si l’on notePkpEql’ensemble des sous-parties deEde cardinalkP rr0, nss.
On a l’union disjointe :
PpEq “
n
ď
i“0
PkpEq Donc :
CardpPpEqq “
n
ÿ
k“0
CardpPkpEqq “
n
ÿ
k“0
˜ n k
¸
“
n
ÿ
k“0
˜ n k
¸
1kˆ1n´k looooooooooomooooooooooon
Binôme de Newton
“2n
3 Approche fonctionnelle.
SoitEun ensemble fini de cardinal nPN. L’ensemblePpEqest fini et on a : CardpPpEqq “CardpApE,rr0,1ssqq “Cardprr0,1ssqCardpEq“2n Proposition 16
Démonstration 11. Reprendre la démonstration 8 avecApE,rr0,1ssq
IV Méthodes.
On sera amenés à calculer des coefficients binomiaux "à la main".
• Retenir les formules du cours :`n
0
˘“`n
0
˘“1,`n
1
˘“` n
n´1
˘“n, "miroir", et`n
k
˘“nk`n´1
k´1
˘
• Savoir construire le triangle de Pascal (et connaitre la formule de Pascal)
• Connaitre les formules :
˜ n k
¸
“ n!
pn´kq!k!“ nˆ pn´1q ˆ...ˆ pn´k`1q kˆ pk´1q ˆ...ˆ1
Remarque12.
Attention à ne pas calculer le numérateur et le dénominateur avant d’avoir simplifier Pour déterminer`10
4
˘:
˜ 10
4
¸
“
4 facteurs
hkkkkkkkkikkkkkkkkj 10ˆ9ˆ8ˆ7 4ˆ3ˆ2ˆ1 looooooomooooooon
4 facteurs
loomo“on
Simplifier ! ! !
“10ˆ3ˆ7
1 “210
Méthode-exemple 1(calcul des coefficients binomiaux)
Dans le cas d’une urne avec 5 boules blanches, 3 noires et 2 rouges. On tire simultanément 5 boules.
‚Le nombre de possibilités totales est simplement`10
5
˘.
‚le nombre de possibilités avec 3 blanches et 2 noires est :
˜ 5 3
¸
loomoon
3 B parmi 5
ˆ
˜ 3 2
¸
loomoon
2 N parmi 3
ˆ
˜ 2 0
¸
loomoon
0 R parmi 2
“10ˆ3ˆ1“30 Méthode-exemple 2(Suite de combinaisons.)
Remarque13. Si toutes les lettres sont différentes, par exemple "table", le nombre d’anagrammes est simplement le nombre de permutations :
5!“120 Le nombre d’anagrammes de "anagramme" (attention ici on considère toutes les mots : avec ou sans
sens) :
• On réfléchit en termes "d’emplacements". Il y en a 9 ici (puisque 9 lettres)
• On dénombre le nombre de représentants de chaque lettre :
— 3 "a"
— 2 "m"
— 1 pour les 4 autres lettres.
• Il y a`9
3
˘“84 façons de placer les "a".
• Il ne reste plus que 9´3“6 emplacements possibles pour les "m" et donc`6
2
˘“15 façons de placer les 2 "m".
• Ensuite pour le "n" :`4
1
˘“4 (puisqu’il ne reste que 4 emplacements)
• Ensuite pour le "g" :`3
1
˘“3
• Ensuite pour le "r" :`2
1
˘“2
• Ensuite pour le "e" :`1
1
˘“1
Le nombre de possibilités au total est donc :
˜ 9 3
¸ ˆ
˜ 6 2
¸ ˆ
˜ 4 1
¸ ˆ
˜ 3 1
¸ ˆ
˜ 2 1
¸ ˆ
˜ 2 1
¸
“84ˆ15ˆ4ˆ3ˆ2ˆ1 Méthode-exemple 3(anagramme)
Pour compter le nombre d’éléments vérifiant une propriété ou compter le nombre de configurations issues d’une expérience,
• on découpe le problème en plusieurs étapes
• on utilise les formules du cours pour dénombrer chaque étape.
• On fera bien attention de vérifier qu’on n’a pas oublié de cas et qu’on n’a pas compté plusieurs fois les mêmes cas (sinon il faudra diviser par le nombre de fois que l’on a compté).
Méthode 4
