1. Cardinal d un ensemble.

COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT

Dans tout le chapitre, n, k et p sont des entiers naturels (positifs ou nuls) I. Ensembles.

1. Cardinal d un ensemble.

Un ensemble est une collection d objets distincts que l on appelle les éléments de l ensemble.

Exemples : E {a b c} est un ensemble à trois éléments. On note les éléments entre accolades.

, , D, , sont des ensembles ayant une infinité d éléments.

Une partie d un ensemble E est un ensemble F tel que tous les éléments de F appartiennent à E. On dit que F est inclus dans E et on note F  E.

La ……….…... de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments appartenant à A ou à B (ou aux deux à la fois). On la note ………

……… de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B. On la note ………

Deux ensembles sont ……… lorsque leur intersection est vide.

Exemple :

Soient les ensembles suivants :

E {a b c d e f g } ; A {a b c} ; B {b c d e } et C {f}

Définition : Le ……… d un ensemble E est le nombre d éléments de E. On le note card( E).

2. Principe additif.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Si A

, A

…A

sont des ensembles finis et deux à

deux disjoints, alors card ( ^A

^A

^{… A}

) ^card ( ) ^A

card ( ) ^A

… card ( ) ^A

:

3. p-uplets, produit cartésien.

Définition : Soit p un entier naturel non nul. Une suite finie ordonnée de p éléments de E (non forcément distincts) est appelée un ……… de E ou une p-liste de E.

Si p 1 : un 1-uplet est un ……… . Si p 2 : un 2-uplet est une ……… . Si p 3 : un 3-uplet est un ……… . Exemple :

Si E {1 2 3 4 5},

(1,2,3,4) est un ………

(2) est un ……… .

(1,4) et (4,1) sont des ……… .

(2,3,5), (2,2,5) et (3,5,2) sont des ……… .

Ces triplets sont tous différents : l'ordre a une importance ! !

Propriété admise : Si E est un ensemble à n éléments, alors le nombre de p-uplets de E est ……….

Autrement dit, le nombre de tirages successifs avec remise de p objets parmi n est ………

Exemple :

Un immeuble est protégé par un code de quatre lettres de l alphabet. Combien y a-t-il de codes possibles ?

Définition : E, F, E

, E

, …, E

sont des ensembles.

Le produit cartésien de E par F est l ensemble des couples ( a,b ) tels que a E et b F. Il est noté E F.

Le produit cartésien E

E

… E

est l ensemble des n-uplets ( ^a

^,a

^{,…, a}

) tels que a

E

, a

E

, …, an E

.

Exemple :

Si E {a b c} et F {d e } alors ………

.

Propriété : E

, E

, …, E

sont des ensembles finis.

Alors card ( ^E

^E

^{… E}

) ………

Exemple (à faire au dos):

Une cantine scolaire propose aux élèves un menu à composer au choix. Ils peuvent choisir entre 4 entrées, 3

plats chauds, 2 produits laitiers et 2 desserts. Combien de menus complets peuvent-ils composer ?

II. Permutations et arrangements.

1. Permutations.

Définition : Soit E un ensemble fini non vide à n éléments. Une liste de n éléments distincts de E est appelé une ……… de E.

Pour les permutations, l ordre est important : Exemple :

Si E {1 2 3}, les permutations de E sont ………

Définition : Soit n un entier naturel non nul. On appelle factorielle de n le nombre : n! n ( n 1) … 2 1.

On pose 0! 1.

Exemple : 4! ………

Remarque importante : n! (n 1) (n 1)!

Propriété admise : Le nombre de permutations d'un ensemble de n éléments est ………

Autrement dit le nombre de tirages successifs sans remise des n objets contenus dans une boîte est ……

Exemple :

Combien de mots (ayant ou non un sens) peut-on fabriquer avec toutes les lettres du mot ROUTE ?

2. Arrangements.

Définition : Soit A un ensemble fini non vide à n éléments et p un entier naturel inférieur ou égal à n. Un

……… de p éléments de A est un p-uplet d éléments distincts de A.

Pour les arrangements, l ordre est important :

Si E {1 2 3 4}, les arrangements à 2 éléments de E sont ………

Remarque : Une permutation est un arrangement à n éléments

Propriété admise : Soit E un ensemble fini non vide à n éléments et p un entier naturel inférieur ou égal à n.

Le nombre d arrangements de E à p éléments est ………

Autrement dit, le nombre de tirages successifs sans remise de p objets parmi n est ………

Exemple à faire au dos :

Huit coureurs sont au départ de la finale d un 100 mètres. Combien de podiums différents existe-t-il ?

III. Combinaisons.

Une partie d un ensemble E est un sous-ensemble de E.

Définition : Soit p un entier naturel tel que p n. Une partie de E constituée de p éléments est appelée une

……… de p éléments de E .

Pour les combinaisons, l'ordre n'a pas d'importance ! !

Exemple :

Si E {1 2 3}, les combinaisons de 2 éléments de E sont ……….

Propriété admise : Soit E un ensemble fini non vide à n éléments et p un entier naturel inférieur ou égal à n.

Le nombre de combinaisons de p éléments de E est l'entier naturel noté  

  n

p défini par :

………

 

  n

p se lit "p parmi n". Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.

Autrement dit, le nombre de tirages simultanés de p objets parmi n est ………

Explication :

Exemple : d après l exemple ci-dessus, on a  

  3

2

Exemple : Pour calculer  

  7

3 à la calculatrice:

CASIO : dans le menu RUN, appuyer sur la touche OPTN, puis choisir PROB.

taper 7, puis choisir nCr, puis taper 3 et EXE.

TI : taper 10, puis appuyer sur la touche MATH, choisir le menu PRB, puis choisir nCr ou Combinaison (version fr), puis taper 3 et ENTER.

Exemple : Dans une grille comportant les chiffres de 0 à 9 et les lettres de A à F, on doit choisir 3 nombres

et deux lettres. Combien de choix différents peut-on faire ?

Théorème : Pour tous entiers naturels n et p :

 



 

 n

0 …….. ;   

 

 n

1 …….. ;   

 

 n

n ……..

Si p n, on a : ……..……..……..

Relation de Pascal : si 1 p n , on a : ……..……..……..……..……..……..……..

Démonstrations (à retenir) : Si p 0, alors  

  n

0 1 car le seul sous ensemble de E à 0 élément est .

Si p 1, alors  

  n

1 n : si E { ^a

^a

^{… a}

} , les parties de E à 1 élément sont { } ^a

^; { } ^a

^{; … ;} { } ^a

^.

Il y en a donc n.

Si p n , alors  

  n

n 1 car le seul sous ensemble de E à n éléments est E.

Démonstrations par le calcul :

 Soit n et p deux entiers naturels tels que 0 p n.

 

  n

p

n!

p! (n  p)! et  

  n n p

n!

(n p )!( n ( n p))!

n!

(n p )!p !  

  n p

 Soit n et p deux entiers naturels tels que 1 p n.

 

  n 1 p 1  

  n 1

p

(n 1)!

(p 1)!(n 1 ( p 1))!

(n 1)!

p!( n 1 p)!

(n 1)!

(p 1)!( n p )!

( n 1)!

p !(n 1 p )!

(n 1)! p p !(n p )!

(n 1)! (n p ) p!( n p)!

(n 1)!( p n p ) p !(n p )!

(n 1)! n ! p!( n p)!

n !

(n p)! p !  

  n p

On peut ainsi calculer les coefficients binomiaux les uns après les autres : on obtient le triangle de Pascal :

p n

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

IV. Nombre de parties d un ensemble à n éléments.

Soit E un ensemble à n éléments.

L ensemble des parties de E est noté (E ). C est un ensemble d ensemble.

Remarque : on a toujours :  (E ) et E ( E).

1. Nombre de parties de E.

Propriété : Le nombre de parties de E est ……..……..……..……..……..……..

Autrement dit, le nombre de tirages simultanés d objets parmi n est ……...

Démonstration (à retenir) :

Dénombrons de deux manières différentes le nombre de parties de E : Partie 1 :

Soit E un ensemble à n éléments.

Une partie de E possède 0 ou 1 ou 2 … ou n éléments.

Par définition de  

  n p !

Le nombre de parties à 0 élément est  

  n 0 Le nombre de parties à 1 élément est  

  n 1 Le nombre de parties à 2 éléments est  

  n 2 Le nombre de parties à 3 éléments est  

  n 3 … Le nombre de parties à n 1 éléments est  

  n n 1 Le nombre de parties à n éléments est  

  n n

Alors le nombre total de parties de E est  

  n 0  

  n 1  

  n

2 …  

  n

n 

p 0 n

 

 

n

p

Partie 2 : Par récurrence :

On veut prouver par récurrence que, pour tout n de , un ensemble à n éléments a 2

parties.

Initialisation :

Pour n 0 : E  donc la seule partie de E est  : E a 1 partie. D autre part 2

1. La propriété est donc vraie pour n 0.

Hérédité :

Soit p un entier tel que tout ensemble à p éléments ait 2

parties. Montrons que tout ensemble à p 1 éléments à 2

parties.

Soit E un ensemble à p 1 éléments. E { ^a

^a

^{… a}

^a

} ^.

Parmi les parties de E, on distingue :

- celles qui ne contiennent pas a

: ce sont les parties de { ^a

^a

^{… a}

} . Par hypothèse de récurrence, il y en a 2

.

- celles qui contiennent a

: il y en a le même nombre que les parties de { ^a

a

… a

} puisqu on les obtient en adjoignant a

à une partie de { ^a

^a

^{… a}

} . Il y en a donc aussi 2

.

Ainsi le nombre total de parties de E est 2

2

2 2

2

.

Conclusion : pour tout n de , un ensemble à n éléments a 2

parties.

On a donc bien : le nombre de parties de E est 

p 0 n

 

  n p 2

2. Lien avec les n-uplets de {0 1}.

Soit E a

a

… a

un ensemble à n éléments.

A chaque partie A de E, on peut associer un unique n-uplets de {0 1} et inversement : si x

A , on affecte 1 en 1

position du n-uplet, 0 sinon.

si x

A, on affecte 1 en 2

position du n-uplet, 0 sinon …

Par exemple, si A { ^a

^a

} , le n-uplet associé est {1 0 1 0 … 0} ; le n-uplet {0 0 … 0}

correspond à  ; le n-uplet {1 1 … 1} correspond à E.

Ainsi, il y a autant de parties de E que de n-uplets de {0 1}, c'est-à-dire 2

d après la propriété de la page 2.

Exemple : Dans une fête foraine, une machine contient 8 surprises différentes. Le joueur peut en obtenir

aucune, 1, 2, 3, …, 7 ou les 8. Combien de possibilités y a-t-il ?