Programme de Colle n
◦5 - PCSI
(Du 25 Novembre au 6 D´ecembre 2019)
Une colle de math´ematiques en PCSI comporte obligatoirement une question de cours suivie de un (ou deux) exercice(s) sur les chapitres ci-dessous.
CALCULS ALG´ EBRIQUES
— Symboles Σ et Π, manipulations d’indices.
— Sommes de suites arithm´etiques, g´eom´etriques. Factorisation dean−bn.
— Sommes doubles.
— Coefficients binomiaux, formule du binˆome.
ARITHM´ ETIQUE
— Multiples et diviseurs, division euclidienne ;
— PGCD et PPCM ;
— Nombres premiers, d´ecomposition en produit de nombres premiers.
CARDINAL D’UN ENSEMBLE FINI
— Cardinal d’un ensemble fini,
— Applications entre ensembles de cardinaux finis.
— Op´erations sur les cardinaux.
Questions de cours
Il peut vous ˆetre demand´e une d´efinition de cours en plus d’une d´emonstration :
D´efinitions exigibles :
Formule de la somme de termes d’une suite arithm´etique/g´eom´etrique, identit´e an−bn, coefficient bi- nomial, propri´et´es des coefficients binomiaux, Formule du Binˆome de Newton, d´efinition du PGCD et PPCM, formule du PGCD et PPCM avec la d´ecomposition en facteurs premiers, d´efinition d’un ensemble fini, cardinal d’un produit cart´esien, cardinal de Ap, cardinal de l’ensemble des p-listes d’´el´ements dis- tincts, cardinal de l’ensemble des permutations de A, nombre de parties de A, nombre de parties `a p
´el´ements de A.
D´emonstrations exigibles :
• Formule du Binˆome de Newton (p.9)
• Factorisation de an−bn (p.5)
• Calcul de la somme Sn =
n
X
k=1
1
k(k+ 1) (p.3)
• a divise b si, et seulement si, pour tout ppremier, la p-valuation dea est inf´erieure `a celle de b (p.8)
• Nombre d’injections deE dans F, en utilisant le nombre de p-listes d’´el´ements distincts def. (p.14) Il peut aussi vous ˆetre demand´e `a tout moment pour v´erifier que vous connaissez bien votre cours de donner n’importe quelle d´efinition ou propri´et´e essentielle du cours.
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 2019-2020
