  () ˆ ˆ e e J = = e ⎧⎨⎩⎫⎬⎭ i C () 22ˆ 22 J J = = d d r E r r × × A E × B () () () ∫ ∫ J = × ˆ ˆ J J ˆ = = d rE ˆ r ×∇ e × A e ˆ + − E c.c. ˆ × A , i = x , y , z e = e + i e , ˆ e = i e + e ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∫ L L ⎡⎣⎢⎤⎦⎥ C ˆ ˆ ⎡⎣⎤⎦ = ( − i ) C e e + c.c. × e e

PHY  3320     26  janvier  2011   Exercices,  série  2    

1. Moment  cinétique  classique    

Le  moment  cinétique  classique  du  champ  transverse  s’écrit    

J_trans =ε₀∫d³r r×(E_⊥×B)  ^.  

Après  quelques  laborieuses  manipulations  mathématiques  sans  intérêt  (voir  Jackson  ou   Mandel  et  Wolf),  cette  équation  se  transforme  en  

J_trans =ε0 d³r E_⊥i(r× ∇)^A⊥i+E_⊥×A_⊥

∑i

⎧⎨

⎩

⎫⎬

∫ ⎭ ^{, i= x,y,z}  

Le   premier   terme   à   droite   est   analogue   à   un   moment   cinétique   orbital   alors   que   le   second   est   intrinsèque   au   champ   de   rayonnement.   Dans   ce   qui   suit,   on   ne   s’intéresse   qu’à  ce  deuxième  terme  :  

J^S =ε₀∫d³r E_⊥×A_⊥^.    

a) Exprimez   J^S   en   termes   des   variables   normales  αns   et  α^∗_ns.   Note  :   on   doit   avoir   eˆ_ns =eˆ_ns^∗ .  

La  relation  de  Parseval-­‐Plancherel  permet  d’écrire,  dans  l’espace  réciproque,    

J^S = ε₀ L³

E_⊥^∗_ns×  A_⊥ns'

∑ss'

∑n

= ε₀

L³ (−i)⎡⎣C_neˆ_ns^∗α_ns^∗e^−ik·r+ c.c.⎤⎦ × C_n ωn

eˆ_ns'α_ns'e^ik·r+ c.c.

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

∑ss'

∑n

=iε0

L³

C²_n ωn

∑ss'

∑n _⎡⎣

(

)

Les  termes  qui  comportent  e^2ik·r  s’annulent  dans  la  sommation  puisqueα_ns =α_ns^∗ .  Il   suit  que  

J^S =iε0

L³

C_n²

ω_n αnsαns'

∗ eˆ_ns ×eˆ^∗_ns'− c.c.

( )

∑ss'

∑n  ^.  

b) Simplifiez  cette  expression  en  utilisant  une  base  de  polarisation  circulaire    

eˆ_n+= 2

2 (eˆ_n1+iˆe_n2)^{, ˆe}n− = 2

2 (ieˆ_n1+eˆ_n2)

PHY  3320     26  janvier  2011   Exercices,  série  2    

eˆ_n+×eˆ_n+^∗ =−ieˆ_n1×eˆ_n2 =−ikˆ_n ; ˆe_n− ×eˆ_n−^∗ =ikˆ_n ; ˆe_n+ ×eˆ_n−^∗ =eˆ_n− ×eˆ_n+^∗ =0.    

On  peut  donc  écrire  eˆ_nλ ×eˆ_nλ'^∗ =−iλk^ˆ_nδ_λλ' , λ= ±1,  d’où    

J^S = ε0

L³ C_n² ωn

λkˆ_n

(

)

∑nλ  

2. Soient   A   et   B   deux   observables   telles   que   [ ]A,B ^=C   et   soit   l’écart   quadratique ΔA= (A− A )^{2 ,  où   A = ψ Aψ} .  Montrez  qu’alors  

( )ΔA ²( )^{ΔB 2 ≥ 1}

4 iC ²  .    

Solution    

On  commence  par  introduire  trois  nouveaux  opérateurs  :      

U =A− A , V = B− B , P=U+iλV,  où  λ  est  un  paramètre  à  déterminer.  

Soit   φ =P ψ .  Il  suit  que   φ φ = ψ P^†Pψ = ψ U² ψ + ψ λ²V² ψ +iλ [U,V] ^.  

Mais  [U,V]⁼[ ]^{A,B =C},  de  telle  sorte  que   φ φ = U² +λ² V² +iλ C .  Or,   φ φ ≥0.   Trouvons  son  minimum  par  rapport  à  λ  :  

  d φ φ

dλ ^{=0 ⇒ 2}λ V² +i C =0 ⇒ λ_min = −i C 2 V²  .    

Par  suite,    

φ φ _min = U² +( )i C ²

4 V² −( )i C ² 2 V² ≥0,    

de  telle  sorte  que    

U² V² =( )ΔA ²( )^{ΔB 2 ≥ 1}

4 iC ²  .