CORRECTION - DEVOIR – CHAPITRE 5 – LES TRIANGLES SEMBLABLES 1) Détermine les triangles semblables, justifie puis écris les proportions
correspondantes. Calcule les inconnues.
ABD
car : EBC
On déduit les proportions :
XYT
car : XZW
On déduit les proportions :
2) Couché sur un transat de 50 cm de haut à 1 m du bord de la piscine, le vacancier peut voir le fond. Quelle est la profondeur de la piscine si sa longueur vaut 8m ?
ACB
DAE
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
B B car B et B sont des angles
opposés par le sommet
ˆ ˆ ˆ ˆ
A E car A et E sont des angles
alternes ‐ internes déterminés par AD // CE
AB AD BD AB 5 3
EB EC BC 4 6 BC
AB 5 10
6 AB 20 AB
4 6 3
5 3 18
5 BC 18 BC
6 BC 5
ˆ ˆ ˆ
X X car X est un angle
commun aux deux triangles
ˆ ˆ ˆ ˆ
Y Z car Y et Z sont des angles
correspondants déterminés par AD // CE
XY XT YT 2 3 4
XZ XW ZW XZ XW 10
2 4
4 XZ 20 XZ 5
XZ 10
4 3 15
4 XW 30 BC
10 XW 2
AB BC 100 50 800.50
EA 400 cm
DE EA 800 EA 100
3) Dans le parallélogramme ABCD, une droite passant par A coupe BC en en P et DC en Q. Démontre que : |BP| . |CQ| = |AB| . |CP|.
Hypothèse : ABCD parallélogramme AP BC = {P}
AQ DC = {Q}
Thèse :|BP| . |CQ| = |AB| . |CP|
Démonstration ABP
car : QCP
On en déduit que :
↓
Le produit des moyens est égal au produit des extrêmes.
4) Soit les triangles ABC et A’B’C’ semblables. Si |AB| = 5 cm et |A’B’| = 12 cm et si l’aire de ABC vaut 15 cm², quelle est l’aire de A’B’C’.
5) Soit deux triangles semblables XYZ et X’Y’Z’. On donne : aire de XYZ = 25 cm² et aire de X’Y’Z’ = 900 cm². Si |XY| = 10 cm, que mesure |X’Y’| ?
2
Le rapport de similitude est r = 12( 2,4) 5
12 144
Donc le rapport entre les aires est égal à (5,76)
5 25
144 432
Aire de A'B'C' = 15 . (15.5,76) ( 86,4)
25 5
Le rapport entre les aires est égal à : 900 36 25 Le rapport de similitude est donc 36 6
X'Y' XY .6 10.6 60 cm
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
P P car P et P sont des angles opposés par le sommet
ˆ ˆ
ˆ ˆ
A Q car A et Q sont des angles alternes ‐internes déterminés par AB // DC
AB AP BP BP AB
BP . QC AB . CP QC QP CP CP QC
