On suppose que X et Y sont ind´ependantes et que Y et Z sont ind´ependantes

Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee universitaire 2016-2017 Deuxi`eme ann´ee du DE MI2E Probabilit´es multidimensionnelles et th´eor`emes limite

1. Vous ˆetes vivement invit´e `a lire le sujet dans son int´egralit´e avant de commencer `a composer.

2. Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, vous le signalez sur la copie et poursuivez l’examen en expliquant les raisons des initiatives que vous ˆetes amen´e `a prendre.

3. Seules les r´eponses soigneusement justifi´ees seront prises en compte.

4. Un point pourra ˆetre attribu´e en plus ou en moins suivant la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation.

5. Les notes de cours, les calculatrices ainsi que tous autres documents ou dispositifs ´electroniques sont interdits.

Exercice 1. R´epondre `a chacune des questions suivantes en donnant suivant les cas une preuve ou un contre-exemple.

1. Soient X, Y et Z trois variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur un mˆeme espace de probabilit´e (Ω,A,P). On suppose que X et Y sont ind´ependantes et que Y et Z sont ind´ependantes. Les variables al´eatoiresX etZ sont-elles n´ecessairement ind´ependantes ?

Non. Soient U et V deux variables al´eatoires ind´ependantes d´efinies sur(Ω,A,P). Supposons par exemple queU etV sont de loi de Bernoulli de param`etre1/2. En posantX=U, Y =V et Z =U on se donne des variables al´eatoiresX, Y etZ telles queX etY sont ind´ependantes et Y etZ sont ind´ependantes. CependantX etZ ne sont pas ind´ependantes puisqueX =Z =U et que cette variable al´eatoire n’est pas constante.

2. SoientX etY deux variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur un mˆeme espace de probabilit´e (Ω,A,P) et telles que (X, Y) est un vecteur gaussien. Les variables al´eatoiresXetY sont-elles n´ecessairement ind´ependantes ?

Non. Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi N(0,1). D’apr`es un r´esultat du cours(X, Y)est un vecteur gaussien et (X, X+Y)est aussi un vecteur gaussien puisque toute combinaison lin´eaire des composantes de(X, X+Y)est une combinaison lin´eaire de X etY donc une variable al´eatoire gaussienne. Cependant on a

Cov(X, X+Y) =Cov(X, X) +Cov(X, Y) =V[X] + 0 = 1 doncX et X+Y ne sont pas ind´ependantes.

3. Soit (Xn)_n≥1 une suite de variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur un mˆeme espace de probabilit´e (Ω,A,P). On suppose que pour tout n ≥1 la variable al´eatoire Xn est int´egrable et qu’il existe une variable al´eatoire r´eelle int´egrableX d´efinie sur (Ω,A,P) telle que la suite (E[Xn])n≥1converge versE[X]. A-t-on n´ecessairementXn

→L X?

Non. SoitU une variable al´eatoire d´efinie sur(Ω,A,P)de loi donn´ee par P(U = 1) =P(U =−1) = 1/2

doncE[U] = 0etV une variable al´eatoire d´efinie sur(Ω,A,P)de loi donn´ee par P(V = 2) =P(V =−2) = 1/2.

doncE[V] = 0. En posant pour toutn≥1 Xn=

U si nest pair V si nest impair

et X = U on se donne bien une suite (X_n)_n≥1 de variables al´eatoires int´egrables telle que (E[X_n])_n≥1 converge versE[X] et cependant on n’a pasX_n →^L X puisque pour tout entiern impair on a

ϕ_Xn(t) =E[e^itXn] =E[e^itV] =1

2e^i2t+1 2e^−i2t

tandis que pour tout entiernpair on a

ϕ_Xn(t) =ϕ_X(t) =E[e^itU] = 1 2e^it+1

2e^−it et il existe donc des r´eelstpour lesquelsϕX_n(t)ne converge pas.

4. Soit (Xn)_n≥1 une suite de variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur un mˆeme espace de probabilit´e (Ω,A,P). On suppose qu’il existe deux variables al´eatoires r´eelles Y et Z d´efinies sur (Ω,A,P) telles queX_n →^L Y etX_n→^L Z.

(a) Les variables al´eatoiresY etZ sont-elles n´ecessairement de mˆeme loi ?

Oui. En effet, puisque X_n →^L Y et X_n →^L Z, pour toute application f : R→ R continue born´ee on a

E[f(X_n)]→E[f(Y)] et E[f(X_n)]→E[f(Z)]

doncE[f(Y)] =E[f(Z)]du fait de l’unicit´e des limites des suites r´eelles convergentes, donc Y etZ sont de mˆeme loi.

(b) A-t-on n´ecessairementY =Z p.s.?

Non. SoitY une variable al´eatoire d´efinie sur(Ω,A,P)de loi donn´ee par P(Y = 1) =P(Y =−1) = 1/2

etZ d´efinie sur(Ω,A,P)parZ=−Y. ClairementZetY ont mˆeme loi et la suite(Xn)_n≥1 donn´ee par Xn =Y pour tout entier n est bien telle que Xn

→L Y et Xn

→L Z sans que Y =Z pour autant.

Exercice 2. On dispose de n urnes U1, . . . , Un qui contiennent chacune trois boules. Toutes les boules sont blanches sauf une qui est noire, c’est-`a-dire qu’il y a un total de 3nboules dont 3n−1 sont blanches et une noire. On ne sait pas dans quelle urne se trouve la boule noire, qui peut ˆetre dans chaque urne avec mˆeme probabilit´e.

1. On tire sans remise deux boules de U₁. Quelle est la probabilit´e qu’elles soient toutes les deux blanches ?

On note A l’´ev´enement les deux boules tir´ees sans remise dans U1 sont blanches et Nk

l’´ev´enement la boule noire est dans Uk. Les ´ev´enements N1 et N₁^c forment un syst`eme complet d’´ev´enements donc, d’apr`es la formule des probabilit´es totales, on a

P(A) = P(A|N1)P(N₁) +P(A|N₁^c)P(N₁^c)

= 2

3×1 2 ×1

n+ 1×n−1 n

= 3n−2 3n .

2. Sachant que l’on a tir´e deux boules blanches deU1, quelle est la probabilit´e que U1 contienne la boule noire ?

D’apr`es la formule de Bayes

P(N1|A) = P(A|N1)P(N1) P(A)

= 1

3n−2.

3. Sachant que l’on a tir´e deux boules blanches deU1, quelle est la probabilit´e que U2 contienne la boule noire ?

Pour tous les entiersi, jtels que2≤i, j≤non aP(Ni|A) =P(Nj|A). CommePn

i=1P(Ni|A) = 1 on aP(N1|A) + (n−1)P(N2|A) = 1 donc

P(N2|A) = 1

n−1(1−P(N1|A))

= 3

3n−2.

Exercice 3. Soient X et Y deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes, X ´etant de loi gaussienne N(0,1) etY v´erifiantP(Y = 1) =P(Y =−1) = 1/2. On poseZ=XY.

1. Montrer queZ est de loi gaussienneN(0,1).

On dispose du syst`eme complet d’´ev´enements{{Y =−1},{Y = 1}}. Donc, d’apr`es la formule des probabilit´es totales, pour toutz∈Ron a

P(Z ≤z) = P(Z≤z|Y = 1)P(Y = 1) +P(Z≤z|Y =−1)P(Y =−1)

= P(X≤z|Y = 1)P(Y = 1) +P(−X ≤z|Y =−1)P(Y =−1)

= P(X≤z)P(Y = 1) +P(−X ≤z)P(Y =−1) (1)

= P(X≤z)P(Y = 1) +P(X≤z)P(Y =−1) (2)

= P(X≤z)

o`u (1) est vraie car X et Y sont ind´ependantes et (2) est vraie car X et −X ont mˆeme loi.

AinsiZ etX ont mˆeme fonction de r´epartition donc mˆeme loi.

2. Calculer la covariance deX et Z.

On aCov(X, Z) =E[XZ]−E[X]E[Z] =E[X²Y]−0×0 =E[X²]E[Y] = 0.

3. Les variables al´eatoiresX etZ sont-elles ind´ependantes ?

Clairement {X ∈ [1,2]} ∩ {Z ∈ [3,4]} = ∅ donc P(X ∈ [1,2], Z ∈ [3,4]) = 0. Or, X et Z ´etant toutes deux de loi N(0,1) on a P(X ∈ [1,2]) > 0 et P(Z ∈ [3,4]) > 0 donc P(X∈[1,2], Z ∈[3,4])6=P(X∈[1,2])P(Z∈[3,4]),X etZ ne sont pas ind´ependantes.

4. Est-ce que le couple (X, Z) est un couple gaussien ?

CommeCov(X, Z) = 0, s’il se trouvait que(X, Z)est un couple gaussien, les variables al´eatoires X et Z seraient ind´ependantes. On a vu `a la question pr´ec´edente que X et Z ne sont pas ind´ependantes donc(X, Z)n’est pas un couple gaussien.

Exercice 4.Soit (Xn)_n≥1une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi gaussienne N(0,1). On associe `a cette suite les deux suites ( ¯Xn)_n≥1et (S²_n)_n≥1 d´efinies par

X¯n= 1 n

n

X

i=1

Xi et S²_n= 1 n

n

X

i=1

(Xi−X¯n)². 1. Pour tout entiern≥1 calculerE[ ¯Xn] etE[S_n²].

Pour tout entier n≥1on a

E[ ¯X_n] = E[1 n

n

X

i=1

X_i]

= 1

n

n

X

i=1

E[Xi]

= 0.

Pour tout entier i= 1, . . . , n on a (Xi−X¯n)² = (Xi−1

n

n

X

j=1

Xj)²

= X_i²−2 n

n

X

j=1

X_iX_j+ 1 n²





n

X

j=1

X_j





2

= X_i²−2

nX_i²−2 n

n

X

j=1 j6=i

X_iX_j+ 1 n²

n

X

j=1

X_j²+ 2 n²

n

X

k,j=1 k6=j

X_kX_j

donc

E[(X_i−X¯_n)²] = E[X_i²]− 2

nE[X_i²]−2 n

n

X

j=1 j6=i

E[X_iX_j] + 1 n²

n

X

j=1

E[X_j²] + 2 n²

n

X

k,j=1 k6=j

E[X_kX_j]

= 1− 2

n−0 + 1 n²n+ 0

= n−1 n

puisqueE[X_i²] =V[X_i] = 1et, les variablesX₁, . . . , X_n´etant ind´ependantes, d`es queu6=von a E[X_uX_v] =E[X_u]E[X_v] = 0. On a donc

E[S_n²] = 1 n

n

X

i=1

E[(Xi−X¯n)²] = 1 nnn−1

n = n−1 n .

2. Montrer que la suite ( ¯X_n)_n≥1 converge presque-sˆurement vers une limite que l’on d´eterminera.

La suite(Xn)n≥1´etant une suite de variables al´eatoires ind´ependantes, de mˆeme loi, int´egrables on a d’apr`es la loi forte des grands nombres que

1 n

n

X

i=1

Xi→E[X1] = 0 p.s.

3. Montrer que la suite (S_n²)_n≥1 converge presque-sˆurement vers une limite que l’on d´eterminera.

Pour tout entier non a

S_n² = 1 n

n

X

i=1

(X_i−X¯_n)²

= 1

n

n

X

i=1

X_i²−2XiX¯n+ ( ¯Xn)²

= 1

n

n

X

i=1

X_i²−2 ¯X_n 1 n

n

X

i=1

X_i

! + 1

n

n

X

i=1

( ¯X_n)²

= 1

n

n

X

i=1

X_i²−2( ¯Xn)²+ ( ¯Xn)²

= 1

n

n

X

i=1

X_i²−( ¯Xn)².

Or, la suite (X_n²)n≥1 ´etant une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi et int´egrables, on a d’apr`es la loi forte des grands nombres que

1 n

n

X

i=1

X_i²→E[X₁²] = 1 p.s.

et commeX¯_n →0 p.s.on aS_n² →1 p.s..

4. On demande `a un ´etudiant d’illustrer la convergence de la question pr´ec´edente `a l’aide d’un petit script enR. Voici ce qu’il propose

1 n < - 1 0 0 0

2 x < - r n o r m ( n )

3 m < - m e a n ( x )

4 y < - ( 1 / ( 1 : n ))* c u m s u m (( x - m ) ^ 2 )

5 p l o t (1: n , y , t y p e = ’ l ’) et voici ce qu’il obtient en sortie

Pensez-vous que le code propos´e r´epond correctement `a la demande qui lui a ´et´e faite ? Justifier votre r´eponse.

On commente chacune des lignes du code :

1. cette ligne fixe le nombre de tirages au sort qui vont ˆetre effectu´es ;

2. cette ligne commande le tirage de n variables al´eatoires ind´ependantes de loi N(0,1) que l’on va noter par la suiteX₁, . . . , X_n et stocke les valeurs obtenues dans x;

3. cette ligne commande le calcul deX¯_n.

4. cette ligne commande le calcul pour chaque valeur dekentre 1 etnde la quantit´e 1

k

k

X

i=1

(X_i−X¯_n)²

et stocke ces valeurs dans un vecteur not´e y alors que pour illustrer la convergence de la question pr´ec´edente il aurait fallu calculer

S_k²= 1 k

k

X

i=1

(Xi−X¯k)²= 1 k

k

X

i=1

X_i²−( ¯Xk)² pour chaque valeur dek entre 1 etn.

5. cette ligne commande le trac´e du graphek7→y[k]pour des valeurs dekallant de 1 `an.

Mˆeme si les graphes en sortie sont tr`es ressemblants, il aurait plutˆot dˆu proposer par exemple

1 n < - 1 0 0 0

2 x < - r n o r m ( n )

3 m < - ( 1 / ( 1 : n ))* c u m s u m ( x )

4 y < - ( 1 / ( 1 : n ))* c u m s u m ( x ^2) - m ^2

5 p l o t (1: n , y , t y p e = ’ l ’)

Exercice 5. Soient α1, α2 et β trois nombres r´eels strictement positifs. Soient U et V deux variables al´eatoires ind´ependantes. On suppose que U est de loi Γ(α1+α2, β) et que V est de loi B(α1, α2). On rappelle que la densit´e de la loi Γ(a, b) (a, b >0) est donn´ee par

f(x) = b^a

Γ(a)x^a−1e^−bx1_]0,∞[(x)

et que la densit´e de la loiB(a, b) (a, b >0) est donn´ee par g(x) = Γ(a+b)

Γ(a)Γ(b)x^a−1(1−x)^b−11_]0,1[(x).

1. Calculer la loi du couple (X, Y) o`uX =U V et Y =U(1−V).

Soit ϕ : R×R → R une application continue born´ee. Les variables al´eatoires U et V ´etant ind´ependantes on a

E[ϕ(U V, U(1−V))]

= Z

]0,∞[×]0,1[

ϕ(uv, u(1−v)) β^α1+α2

Γ(α1+α2)u^α1+α2−1e^−βuΓ(α₁+α₂)

Γ(α1)Γ(α2)v^α1−1(1−v)^α2−1du dv

= Z

]0,∞[×]0,1[

ϕ(uv, u(1−v)) β^α1

Γ(α1)(uv)^α1−1e^−βuv β^α2

Γ(α2)(u(1−v))^α2−1e^{−βu(1−v)}u du dv.

On va utiliser la formule du changement de variable en reprenant les notations du cours. L’ap- plication

g: G=]0,∞[×]0,1[ → H =]0,∞[×]0,∞[

(u, v) 7→ (x, y) = (uv, u(1−v)) est une bijection de classe C¹ de r´eciproque

g⁻¹: H =]0,∞[×]0,∞[ → G=]0,∞[×]0,1[

(x, y) 7→ (u, v) = (x+y,_x+y^x ).

Il faut faire attention `a prendre le bon ensemble H! Le jacobien degest donn´e par

Jg(x, y) =

v u

1−v −u

=−u, donc|Jg(x, y)|=u.

Le jacobien de g ne s’annule jamais surG. Il d´ecoule de la formule du changement de variable que

E[ϕ(U V, U(1−V))] = Z

]0,∞[×]0,∞[

ϕ(x, y) β^α1

Γ(α₁)x^α1−1e^−βx β^α2

Γ(α₂)y^α2−1e^−βy dx dy.

donc la densit´e du couple(X, Y) = (U V, U(1−V))est donn´ee par hX,Y : (x, y)7→ β^α1

Γ(α₁)x^α1−1e^−βx1_]0,∞[(x)× β^α2

Γ(α₂)y^α2−1e^−βy1_]0,∞[(y). (3) 2. Calculer les lois deX etY.

La densit´e marginale deX est donn´ee par

hX(x) = Z

R

hX,Y(x, y)dy

= Z

R

β^α1

Γ(α₁)x^α1−1e^−βx1_]0,∞[(x)× β^α2

Γ(α₂)y^α2−1e^−βy1_]0,∞[(x)dy

= β^α1

Γ(α1)x^α1−1e^−βx1_]0,∞[(x) Z

]0,∞[

β^α2

Γ(α2)y^α2−1e^−βy dy

= β^α1

Γ(α₁)x^α1−1e^−βx1_]0,∞[(x)

puisque dans l’int´egrale ci-dessus on a reconnu l’int´egrale de la densit´e de la loi Γ(α2, β). La variable al´eatoire X est donc de loiΓ(α1, β). Un calcul en tout point identique montre que la variable al´eatoireY est de loiΓ(α2, β).

3. Les variables al´eatoiresX etY sont-elles ind´ependantes ?

On observe dans (3) que le produit des densit´es deXetY est une densit´e pour le couple(X, Y): les variables al´eatoiresX et Y sont ind´ependantes.