On suppose que X et Y sont l’une et l’autre des variables al´eatoire `a densit´e

Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee universitaire 2016-2017 Deuxi`eme ann´ee du DE MI2E Probabilit´es multidimensionnelles et th´eor`emes limite

1. Vous ˆetes vivement invit´e `a lire le sujet dans son int´egralit´e avant de commencer `a composer.

2. Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, vous le signalez sur la copie et poursuivez l’examen en expliquant les raisons des initiatives que vous ˆetes amen´e `a prendre.

3. Seules les r´eponses soigneusement justifi´ees seront prises en compte.

4. Un point pourra ˆetre attribu´e en plus ou en moins suivant la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation.

5. Les notes de cours, les calculatrices ainsi que tous autres documents ou dispositifs ´electroniques sont interdits.

Exercice 1.

1. SoientX etY deux variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur un mˆeme espace de probabilit´e (Ω,A,P).

On suppose que X et Y sont l’une et l’autre des variables al´eatoire `a densit´e. Le couple (X, Y) est-il n´ecessairement un couple `a densit´e ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre-exemple.

2. SoientX etY deux variables al´eatoires r´eelles positives d´efinies sur un mˆeme espace de probabilit´e (Ω,A,P). On suppose queX² etY²sont ind´ependantes. Les variables al´eatoiresX etY sont-elles ind´ependantes ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre-exemple.

3. SoientX etY deux variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur un mˆeme espace de probabilit´e (Ω,A,P).

On suppose queX²etY²sont ind´ependantes. Les variables al´eatoiresXetY sont-elles ind´ependantes ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre-exemple.

4. SoientX etY deux variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur un mˆeme espace de probabilit´e (Ω,A,P).

On suppose que la variable al´eatoireXY est int´egrable, c’est-`a-dire queE[|XY|]<∞. Les variables al´eatoires X et Y sont-elles n´ecessairement toutes deux int´egrables ? Si oui, prouvez-le. Si non, donnez un contre-exemple.

Exercice 2.SoitU une variable al´eatoire de loi uniforme sur [0,1]. On rappelle qu’une variable al´eatoire U est de loi uniforme sur [0,1] si elle admet f(x) =1_[0,1](x) comme densit´e. On consid`ere deux nombres r´eelsaet btels que 0< a < b <1 `a l’aide desquels on d´efinit les variables al´eatoires

Y =

1 si 0< U < b 0 sinon et

Z=

1 sia < U <1 0 sinon.

1. Donner la loi du couple (Y, Z).

2. Les variables al´eatoiresY et Z sont-elles ind´ependantes ? 3. Quelle est la loi deY sachantZ = 1 ?

4. Quelle est la loi deU sachantZ= 1 ?

Exercice 3. Un joueur peut lancer deux fois de suite un simulateur de la loi uniforme sur [0,10] pour obtenir le meilleur score possible : si le score obtenu au premier lancer le satisfait il peut en rester l`a. Si ce score ne le satisfait pas, il peut lancer une deuxi`eme fois le simulateur mais le score obtenu au premier tirage est alors perdu. Le joueur d´ecide de la strat´egie suivante : il s’arrˆetera apr`es le premier tirage si il y obtient un r´esultat sup´erieur ou ´egal `a un seuilket il lancera une deuxi`eme simulation sinon. On suppose que les r´esultats des deux tirages sont ind´ependants. SoitX^k le score obtenu en suivant cette strat´egie.

1. Donner la fonction de r´epartition deX^k. 2. Calculer l’esp´erance de X^k.

3. Trouver la valeur dekqui maximise E[X^k].

4. Trouver la valeur dek qui maximiseP(X^k >6) et celle qui maximiseP(X^k >8). CalculerE[X^k] pour ces deux valeurs deket commenter.

1

5. Quelle est la probabilit´e que X^k soit le r´esultat du premier tirage sachant queX^k≥k?

On suppose `a pr´esent que le joueur peut lancer trois fois de suite un simulateur de la loi uniforme sur [0,10] pour obtenir le meilleur score possible : si le score obtenu au premier lancer le satisfait il peut en rester l`a. Si ce score ne le satisfait pas, il peut lancer une deuxi`eme fois le simulateur mais le score obtenu au premier tirage est alors perdu. Si le score obtenu au deuxi`eme lancer ne le satisfait toujours pas, il peut lancer une troisi`eme fois le simulateur mais dans ce cas le score obtenu au deuxi`eme tirage est lui aussi perdu. Le joueur d´ecide de la strat´egie suivante : il s’arrˆetera apr`es le premier tirage si il y obtient un r´esultat sup´erieur ou ´egal `a un seuilk1et il lancera une deuxi`eme simulation sinon. Il conservera le score du deuxi`eme tirage si celui-ci est sup´erieur ou ´egal `a un seuil k2 et il lancera une troisi`eme simulation sinon. On suppose que les r´esultats des trois tirages sont ind´ependants et que k1 ≥ k2. Soit Y^(k1,k2) le score obtenu en suivant cette strat´egie.

5. Donner la fonction de r´epartition deY^(k1,k2). 6. Calculer l’esp´erance de Y^(k1,k2).

On rappelle qu’une variable al´eatoire U est de loi uniforme sur [0,10] si elle admet f(x) = ₁₀¹1_[0,10](x) comme densit´e.

Exercice 4.SoitV = (X, Y) un couple de variables al´eatoires admettant pour densit´e

f(x, y) =

k si|x|+ 2|y| ≤1 0 sinon.

1. D´eterminer kainsi que les lois marginales deX et Y.

2. D´eterminer la covariance du couple (X, Y). Les variables al´eatoiresXetY sont elles ind´ependantes ?

Exercice 5.Dans cet exercice on commence par consid´erer une situation caricaturale avant de traiter la question vraiment int´eressante, ceci dans le but de se former une intuition sur le probl`eme consid´er´e.Vous ˆ

etes libre de r´epondre comme vous le voulez du moment que vous le faites de fa¸con clairement justifi´ee.

1. Vous participez `a un jeu o`u vous ˆetes mis en face de 1 000 portes identiques. Derri`ere l’une de ces portes se trouve un objet de grande valeur et derri`ere chacune des 999 autres portes on trouve un mˆeme objet de peu de valeur. Vous devez choisir une porte, ´etant entendu que vous repartirez avec l’objet qui se trouve derri`ere la porte que vous avez choisie.Le jeu se fait en pr´esence d’un

“animateur” qui sait derri`ere quelle porte se trouve l’objet de grande valeur. Apr`es que vous lui avez communiqu´e votre choix, il n’ouvre pas la porte que vous avez choisie mais il ouvre 998 portes parmi les 999 portes diff´erentes de celle que vous avez choisie. Derri`ere chacune de ces 998 portes on trouve `a chaque fois un objet de peu de valeur. L’animateur vous offre alors la possibilit´e de changer d’avis. Autrement dit, il vous offre la possibilit´e de choisir entre les deux portes qui sont demeur´ees ferm´ees. Avez-vous int´erˆet `a changer d’avis ou maintenez-vous votre premier choix ? 2. Vous participez `a un jeu reposant sur le mˆeme principe que le jeu pr´ec´edent, si ce n’est que cette

fois le choix initial est r´eduit `a 3 portes identiques : une porte derri`ere laquelle se trouve un objet de grande valeur et deux portes derri`ere lesquelles on trouve un objet de peu de valeur.L’animateur sait derri`ere quelle porte se trouve l’objet de grande valeur. Apr`es que vous avez communiqu´e votre choix `a l’animateur celui-ci ouvre l’une des deux portes que vous n’avez pas choisies. Derri`ere cette porte on trouve un objet de peu de valeur. `A nouveau l’animateur vous offre alors la possibilit´e de changer d’avis. Autrement dit, il vous offre la possibilit´e de choisir entre les deux portes qui sont demeur´ees ferm´ees. Avez-vous int´erˆet `a changer d’avis ou maintenez-vous votre premier choix ?