Examen LM346 ”Processus et simulations”, 2`eme session 2013–2014, sans document, ni calculatrice.
1. Partie 1. Rappels et d´efinitions. Soit C un domaine compact et connexe dans R2. Une variable al´eatoire `a valeurs dansR2 est de loi uniforme sur C si sa densit´e
f(x, y) = 1
aire(C)1C(x, y).
Soit
E=n(x, y)∈R2: x2 a2 +y2
b2 = 1o − − une ellipse, son aire est Aire(E) =πab.
Soit
P = [−a, a]×[−b, b] − − un rectangle.
Une variable al´eatoire Z est de loi de Bernoullli de param`etrep siP(Z = 1) =p, P(Z = 0) = 1−p.
Une variable al´eatoire S est de loi Binomiale de param`etres (n, p) si P(S = k) = Cnkpk(1−p)n−k, k= 0,1,2, . . . , n.
Donner la densit´e du vecteur al´eatoire U~ = (X, Y) de loi uniforme surP. En d´eduire la densit´e et la loi de variables al´eatoiresX etY, qui sont ses composantes.
X et Y, sont-elles ind´ependantes ? Pourquoi ?
2. D´eduire de la question pr´ec´edente une m´ethode de simulation d’un vecteur al´eatoire de loi uniforme sur P. Comment simuler une suite de vecteurs al´eatoires ind´ependants de cette loi ?
3. SoitU~1, ~U2, ~U3, . . .une suite de vecteurs al´eatoires de loi uniforme surP. Soient des variables al´eatoires Bi= 1E(U~i),i= 1,2, . . . (L’ellipseE est d´efini ci-dessus). Donner la loi de Bi pour i= 1,2, . . ..
4. En vous appuyant sur les questions pr´ec´edentes, proposer une m´ethode de simulation d’une suite de variables al´eatoires de loi de Bernoulli de param`etre p = π/4. (Il s’agit de proposer une m´ethode diff´erente de celle du cours !)
5. Comment pourrait-on alors simuler une variable al´eatoire de la loi Binomiale de param`etres (n, π/4)
`
a partir de votre proposition de la question pr´ec´edente ?
6. Soit ν= min{n≥1 :U~n∈ E}. DonnerP(ν =k) pour k= 1,2, . . ..
7. Calculer P(U~ν ∈A) pour un ensemble bor´elienA⊂ E. Que pouvez-vous dire de la loi deUν ? 8. En vous appuyant sur les questions pr´ec´edentes, proposer une m´ethode de simulation d’un vecteur
al´eatoire de loi uniforme surE.
9. Calculer l’esp´erance Eν.
10. Partie 2. Une population doit ´elire un des 5 candidats A, B, C, D, F au suffrage universel pour un poste important. On veut tester l’hypoth`ese que A aura 50% de voix, B et C auront 20% de voix chacun, et Q et F r´ecolteront 5% de voix chacun. On fait un sondage de 10000 personnes : 4800 personnes se prononcent pourA, 2300 personnes se prononcent pourB, 1800 personnes pourC et 400 pour Det 700 pour F.
Pour tester cette hypoth`ese avec le niveau de fiabilit´e 0.95, notons χα,r la quantile d’une v.a. χ2(r) de la loi χ deux avec r degr´es de libert´e (c’est-`a-dire P(χ2(r) > χα,r) =α). Vous allez utiliser dans votre test un des nombres suivants : χ0.005,3= 12,84, χ0.05,3 = 7,81, χ0.05,4 = 9,84,χ0.005,5= 16,75).
Pr´eciser lequel et d´ecrire le test.
Si vous n’avez pas de calculatrice : ´ecrivez quelles quantit´es vous allez comparer et expliquez si vous allez accepter ou rejeter l’hypoth`ese en fonction du r´esultat de la comparaison.
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11. Formuler le th´eor`eme de convergence en loi sur lequel est bas´e le test deχ2 et donner la d´efinition de la loi limite.
12. Partie 3. On consid`ere une chaˆıne de Markov (Xn)n≥0 de matrice de transition
1 0 0 0 0 0
0 1/2 0 2/3 0 0
1/8 0 1/8 1/4 1/4 1/4
0 0 0 2/5 0 3/5
1/8 1/4 1/4 1/4 1/8 0
0 3/4 0 0 0 1/4
Donner les classes d’´etats de cette chaine de Markov, dire si elles sont r´ecurrentes ou transientes.
13. Soit h2i =P(T2 <∞ |X0=i) o`u T2 = inf{n >0 :Xn= 2}. Calculer h2i pouri= 1,2,3,4,5,6.
14. On note Ni =P∞n=01{i}(Xn) le nombre de visites dans l’´etat i. Donner P(N6 = k|X0 = 2) k = 0, pour k= 2 et pour k=∞. Donner P(N6 =k|X0= 3)k= 0, pourk= 2 et pourk=∞.
15. On noteh1i =P(T1 <∞ |X0 =i) avec T1 = inf{n >0 :Xn=i}. Calculerh1i, pouri= 1,2,3,4,5,6.
16. Donner toutes les mesures invariantes de cette chaine de Markov.
17. Donner limn→∞P(Xn= 2|X0=i) pour i= 1,2,3,4,5,6.
18. Calculer P(X3 = 6|X0= 4).
19. Soit A={1,2,4,6}. SoitτA= min{n >0 :Xn∈A}.
Calculer E(τA|X0= 3).
20. Soit T2 = min{n >0 :Xn= 2}. DonnerE(T2 |X0 = 2). (Ceci ne demande pas beaucoup de calculs si les calculs pr´ec´edents sont corrects.)
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![1) SoitU une variable al´eatoire de loi uniforme sur ]0,1]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)