TD sur: Variables al´ eatoires ` a densit´ e

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TD sur: Variables al´ eatoires ` a densit´ e

Exercices ` a chercher

. Exercice 1 :

Soient a un r´eel et f la fonction d´efine par :

f :







R → R

t 7→

( a

√t+ 2 si −2< t62,

0 sinon

1. Déterminer a pour que f soit une densité. On suppose désormais que a prend cette valeur.

2. Soit X une variable aléatoire de densité f. Déterminer la fonction de répartition deX.

3. D´eterminer P (X² >1).

. Exercice 2 :

Soit F la fonction d´efinie par :

∀x∈R, F (x) = x²

x²+ 11_R⁺(x).

1. Montrer que F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X dont on donnera une densité.

2. Montrer queX admet une esp´erance et la calculer.

3. Si X admet une variance, la calculer.

. Exercice 3 :

Soient X une variable à densité suivant la loi uniforme sur [−1,2]. Déterminer la loi de −X et celle deX².

. Exercice 4 :

Soient (Ω,T, P) un espace probabilis´e etX une variable al´eatoire suivant une loi uniforme sur [0,1].

Pour tout ´el´ement ω de Ω, on pose : Y(ω) =

(−ln (X(ω)) si X(ω)6= 0 0 si X(ω) = 0. D´eterminer la loi de Y.

. Exercice 5 :

Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre λ avec λ un réel strictement positif. Montrer que pour tout réels positifs t et h, on a :

P(X>t)(X > t+h) = P(X > h).

Cette propriété est appelée propriété d’invariance temporelle, elle est caractéristique de la loi exponentielle.

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. Exercice 6 :

SoitY une variable al´eatoire suivant une loi uniforme surh

−π 4,π

4 i

. Montrer que la variable al´eatoire tan(Y) admet une esp´erance et la calculer.

. Exercice 7 :

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois exponentielles, respecti- vement de paramètresλ etµavecλ etµdeux réels strictement positifs. Déterminer la loi de X+Y.

. Exercice 8 :

Une société de service en informatique va réaliser le portail web du lycée d’Alzon. Le responsable de projet estime que la durée nécessaire, en jours de travail, pour réaliser le site demandé suit une loi normale de paramètres 400 et 20.

1. Quelle est la probabilit´e que le projet soit fini avant 400 jours, avant 410 jours ?

2. Quelle dur´ee devrait-il annoncer au client pour avoir 90% de chances de finir dans les temps ? 3. Le commercial d´ecide qu’on peut toujours travailler plus vite et annonce au client que le projet

est r´ealisable en 350 jours. Quelle est la probabilit´e que le projet soit fini dans les temps ?

Exercices ` a faire pendant la classe

- Exercice 9 :

1. Déterminer la loi debXcet son espérance avec X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

2. Soient a un r´eel et f la fonction suivante : f :x7→

( a

1 +x² si x>0 0 sinon

.

(a) Déterminer a pour que f soit une densité. On appellera alors X une variable dont une densité est f.

(b) D´eterminer la loi de Y avec Y = arctan(X).

- Exercice 10 :

Trois personnes, Messieurs A, B et C, se présentent à l’ouverture d’une poste comportant deux guichets. Messieurs A et B accèdent immédiatement à un guichet, Monsieur C attend qu’un des deux guichets se libère. On note X, Y et Z les temps de passage aux guichets de Messieurs A, B et C, on suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent chacune une loi uniforme sur [0; 1].

1. D´eterminer une densit´e de X−Y.

2. Montrer que|X−Y| est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité.

3. Quelle est la probabilité que Monsieur C soit la dernière personne à sortir ?

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- Exercice 11 :

Une usine a une chaˆıne de montage avec n machines qui travaillent en parallèle. On commence à fabriquer des objets à l’instant 0. Pour tout i de J1, nK, on note X_i le temps de fabrication d’un objet sur la i-ème machine et on suppose que X_i suit une loi uniforme sur [0,1]. Lorsque l’objet est fabriqué, la machine s’arrête.

Soient t un élément de [0; 1] et N_t le nombre d’objet fabriqués à l’instantt.

1. Reconnaˆıtre la loi de N_t.

2. Pour tout entier naturel non nulk, on noteT_k le temps n´ecessaire `a la fabrication dek objets.

(a) Relier (T_k 6t) et (N_t>k).

(b) En déduire que T_k est une variable à densité.

Exercices bonus

_) Exercice 12 :

On d´efinit une application f par : ∀x∈R, f(x) = ³₂x²1_[0,1[(x) + ³₂(2−x)²1_[1,2[(x).

1. Montrer quef est une densité de probabilité. On considère une variable aléatoireX de densité f.

2. D´eterminer la fonction de r´epartition de X.

3. Soit x∈]0,1[,calculer P(|X−1|6x).

4. Montrer que pour toutx∈]0,1[,les événements (X >1) et (|X−1|6x) sont indépendants.

_) Exercice 13 :

Soit f la fonction définie sur Rpar : ∀x∈R, f(x) = _x¹21[1,+∞[(x). 1. Montrer quef est une densité d’une variable aléatoire réelle X.

2. X admet-elle un esp´erance ? M Exercice 14 :

Soient σ un réel strictement positif, Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi normale centrée de variance σ² etY une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de variance σ². Donner la loi de−X et celle de −Y.

_) Exercice 15 : On pose : Y = ln(1−X)

a et Z = cos(πX) avec a un réel strictement positif et X une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur [0,1]. Montrer que X et Z sont des variables à densité admettant des variances et donner leur loi, leur espérance et leur variance.

M Exercice 16 :

Pour tout entier naturel non nuln, soitfnla fonction suivante : fn :







R → R

x 7→

( c_n

1− x n

n

si 06x < n,

0 sinon

avecc_nun réel tel quef_n soit une densité de probabilité. Soitnun entier naturel non nul. On appelle X_n une variable aléatoire ayant pour densité f_n.

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1. D´eterminer c_n.

2. Trouver Fn la fonction de r´epartition deXn. 3. Expliciter F d´efinie par :

Pour tout r´eel x, on pose :F(x) = lim

n→+∞(F_n(x)).

4. Montrer que F ainsi définie est une fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle

`

a densit´e.

_) Exercice 17 :

1. On suppose que T est une variable aléatoire réelle positive représentant l’instant où un atome sujet à désintégration se désintègre.

On suppose que T est ”sans m´emoire”, ce qui signifie que, (a) Pour tout t r´eel strictement positif, P(T > t)>0

(b) Pour tout réel positif, la probabilité que l’événement surgisse après l’instant t+ssachant qu’il surgira après l’instant t est indépendante de t.

On pose, pour tout r´eel strictement positift,g(t) = ln (P(T > t)). On va montrer qu’alorsT suit une loi exponentielle. Soit F la fonction de r´epartition de T. On suppose que F est une fonction de classe C¹ surR⁺.

(a) Expliciter F sur R⁻?.

(b) Montrer que pour tout (t, s)∈(R⁺?)², on a :

g(t+s) =g(t) +g(s).

(c) Montrer que g⁰ est constante surR⁺.

(d) En d´eduire la fonction de r´epartition puis la loi de T.

2. On suppose que l’on a, à l’instant zéro du processus une population de N (N entier naturel non nul ) atomes de type A pouvant se désintégrer en atomes de type B. Pour tout n de J1, NK, on note T_n l’instant de désintégration de l’atome n. On a donc prouvé que, pour un certain réel strictement positif λ, chaque T_n suit une loi exponentielle de paramètre λ et les T_n sont indépendants dans leur ensemble. A un instant t strictement positif, on note N(t) la proportion d’atomes encore de type A, le reste s’étant transformé en atomes de typeB. (a) Exprimer N(t) à l’aide de fonctions indicatrices d’événements ayant trait aux variables

T_n.

(b) Quelle est l’espérance deN(t) ? A quel instanttla population a-t-elle diminué, en moyenne, de moitié ?

(c) Quelle est la varianceV_N de N(t) ? (d) Que vaut lim

N→+∞(V_N) ?

(e) Proposer une interpr´etation physico-raisonnable de ce fait.

(5)

M Exercice 18 :

Soit X une variable al´eatoire de densit´e f avec : f :







R → R

x 7→ 1

π(1 +x²) 1. Montrer queX est bien d´efinie.

2. D´eterminer P(X 60), P(X >1) et P(X <−1).

3. Expliciter l’esp´erance de X si X admet une esp´erance.

_) Exercice 19 :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0,1]. On pose Y =X². 1. Montrer queY est une variable à densité et déterminer sa loi.

2. Expliciter, si elles existent, l’esp´erance et la variance de Y.