. X suit une loi exponentielle de param` etre λ ssi X a pour densit´ e λe

Correction du devoir surveill´ e de probabilit´ es (mars 2008) M.-L. Chabanol

Probl` eme 1. (Application directe du cours)

Rappels : X suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre p ssi ∀k > 0, P (X = k) = p(1 − p)

^k−1

. X suit une loi exponentielle de param` etre λ ssi X a pour densit´ e λe

^−λx

1

_R+

(x).

1. Enoncer le lemme de Borel-Cantelli. ´

Soit (Ω, T , P ) un espace de probabilit´ es, et A

n

une suite d’´ ev´ enements de T . Alors : – Si la s´ erie P

P(A

n

) converge, P(limsup A

n

) = 0.

– Si les A

_n

sont ind´ ependants et si la s´ erie P P(A

_n

) diverge, alors P(limsup A

_n

) = 1

2. Donner la fonction caract´ eristique d’une variable al´ eatoire suivant une loi g´ eom´ etrique de param` etre p, ainsi que la fonction caract´ eristique d’une variable al´ eatoire suivant une loi exponentielle de param` etre λ (la d´ emonstration n’est pas n´ ecessaire).

Si X suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre p, E[e

^itX

] =

_1−(1−p)e^peit _it

. Si X suit une loi exponentielle de param` etre λ, E[e

^itX

] =

_λ−it^λ

.

3. Soit X

_n

une suite de variables al´ eatoires suivant une loi g´ eom´ etrique de param` etre

^µ_n

. Calculer la fonction caract´ eristique de Y

_n

=

^X_nⁿ

. Montrer que Y

_n

converge en loi et donner sa loi limite.

E[e

^itYn

] = E[e

^itnXn

] =

^{µei tn}

n−(n−µ)e^{i t}n

=

_µ−it+o(1)^µ(1+o(1))

. Donc quand n tend vers +∞, la fonction ca- ract´ eristique de Y

_n

converge vers la fonction caract´ eristique d’une loi exponentielle de param` etre µ : Y

_n

converge donc en loi vers une loi exponentielle de param` etre µ.

Probl` eme 2. On s’int´ eresse ` a des familles qui auront deux enfants. On suppose qu’` a chaque nais- sance, les parents choisissent le pr´ enom de leur enfant au hasard uniform´ ement dans l’un des deux ensembles de pr´ enoms Ω

₁

= {pr´ enoms masculins} et Ω

₂

= {pr´ enoms f´ eminins}. On suppose de plus que Ω

₁

∩ Ω

₂

= ∅ (ils n’envisagent pas d’appeler leur enfant Claude ou Dominique, par exemple). Les naissances sont suppos´ ees ind´ ependantes, et les sexes ´ equiprobables. Enfin, apr` es chaque naissance, ils rayent le pr´ enom choisi de l’ensemble des pr´ enoms disponibles (de telle sorte que deux enfants d’une mˆ eme famille n’ont pas le mˆ eme pr´ enom). Avant leur premier enfant, Card(Ω

1

) = N et Card(Ω

2

) = M . On suppose N ≥ 2 et M ≥ 2.

1. Soit p un pr´ enom de gar¸ con de Ω

1

. Calculer la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle p.

La probabilit´ e cherch´ ee est P(gar¸ con)P(pr´ enom=p|gar¸ con)+P(fille)P(pr´ enom = p|fille)

=P(gar¸ con)P(pr´ enom=p|gar¸ con), soit

¹_2N¹

.

2. Calculer de mˆ eme la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle p si p est un pr´ enom de fille de Ω

2

. De mˆ eme, si p est un pr´ enom de fille, la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle p est

_2M¹

. 3. Soient (r, s) deux pr´ enoms diff´ erents. Calculer la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle r et le

deuxi` eme s’appelle s.

Remarque : comme dans la question pr´ ec´ edente, les pr´ enoms r et s sont fix´ es, et pas al´ eatoires.

Mais la probabilit´ e cherch´ ee d´ epend de s’ils sont dans Ω

₁

ou dans Ω

₂

. Il faut distinguer 3 cas : – Si r et s sont deux pr´ enoms de gar¸ cons, la probabilit´ e cherch´ ee est

P(pr´ enoms=(r,s)|2 gar¸ cons)P(2 gar¸ cons), puisque les autres probabilit´ es conditionnelles sont nulles. On trouve donc

_4N(N−1)¹

.

– De mˆ eme, si r et s sont deux pr´ enoms de filles, la probabilit´ e cherch´ ee est

_4M(M−1)¹

.

– Si p est un pr´ enom de gar¸ con et s un pr´ enom de fille, ou vice versa, la probabilit´ e cherch´ ee est

1 4M N

.

4. On suppose que “L´ ea” est un pr´ enom de Ω

2

. Quelle est la probabilit´ e qu’un enfant s’appelle “L´ ea” ? La probabilit´ e que le deuxi` eme enfant s’appelle L´ ea est

P

p∈(Ω1∪Ω2)\{

Lea

}

P(p, Lea) = P

p∈Ω1

1 4M N

+ P

p∈Ω2\

Lea

4M(M−1)¹

=

_2M¹

(c’est la mˆ eme que la probabilit´ e que le premier enfant s’appelle L´ ea). Donc la probabilit´ e qu’un enfant s’appelle L´ ea est

1 M

.

5. Votre voisin a deux enfants. Vous apprenez que l’un d’eux s’appelle L´ ea. Quelle est la probabilit´ e qu’il ait deux filles ?

P(deux filles |L´ ea) = P(deux filles dont une s’appelle L´ ea)/P(L´ ea). Or P(deux filles dont une s’appelle L´ ea) = 2 P

s∈Ω2\{Lea} 1

4M(M−1)

=

_2M¹

. Donc finalement la probabilit´ e qu’il ait deux filles

1

si on sait que l’un de ses enfants s’appelle L´ ea est

¹₂

(ce qui est diff´ erent de la probabilit´ e qu’il ait deux filles si on sait que l’un de ses enfants est une fille, qui est de

¹₃

...).

Probl` eme 3. Les deux parties sont ind´ ependantes.

Soit (Ω, Σ, P ) un espace probabilis´ e fix´ e et (X

1

, . . . , X

k

, . . .) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes r´ eelles de mˆ eme loi v´ erifiant P (X

1

= 1) = p et P(X

1

= −1) = 1 − p. On pose S

0

= 0 et S

n

= P

n

i=1

X

i

. 1. On suppose dans cette partie p 6=

¹₂

.

(a) Soit n ∈ N

^∗

. Calculer P (S

n

= 0).

Si n est impair, P(S

n

= 0) = 0. Si n = 2k, c’est la probabilit´ e que k X

i

soit ´ egaux ` a 1, et k

´

egaux ` a -1. Il y a

^2k_k

possibilit´ es, chacune de probabilit´ e p

^k

(1 − p)

^k

, d’o` u P (S

2k

= 0) =

^(2k)!_(k!)2

p(1 − p)

^k

.

(b) Montrer que la s´ erie P

n∈N

P (S

n

= 0) converge. (On rappelle la formule de Stirling n! ∼

√ 2πn

ⁿ_e

ⁿ

.) Quelle est la probabilit´ e que S

n

s’annule une infinit´ e de fois ? D’apr` es la formule de Stirling, P(S

2k

= 0) ∼

_∞

√4πk 2πk

(2k)^2kp^k(1−p)^k k^2k

∼

^√1

πk

(4p(1 − p))

^k

. Or si p ∈ [0, 1] est diff´ erent de

¹₂

, |4p(1−p)| < 1. Donc la s´ erie de terme g´ en´ eral (4p(1−p))

^k

converge.

D’apr` es les crit` eres de comparaison des s´ eries ` a termes positifs, puisque 0 ≤

^√1

πk

(4p(1 −p))

^k

≤ (4p(1 − p))

^k

, la s´ erie de terme g´ en´ eral

^√1

πk

(4p(1 − p))

^k

converge ´ egalement, ainsi donc que la s´ erie de terme g´ en´ eral P (S

_n

= 0).

D’apr` es le lemme de Borel Cantelli, si on note A

n

l’´ ev´ enement S

n

= 0, on a P ( limsupA

n

) = 0.

Ainsi la probabilit´ e que S

n

s’annule une infinit´ e de fois est nulle.

2. On suppose ` a partir de maintenant p =

¹₂

. (a) V´ erifier ∀t ∈ R, E[e

^tXn

] = cosh(t).

E[e

^tXn

] =

¹₂

e

^t

+

¹₂

e

^−t

= cosh(t).

(b) En d´ eduire ∀t ∈ R, E[e

^tXn

] ≤ e

^t22

. (On pourra par exemple utiliser un d´ eveloppement en s´ erie de Taylor des deux membres de l’in´ egalit´ e.)

On a ∀t ∈ R, cosh(t) = P

n≥0 t²ⁿ

(2n)!

et e

^t22

= P

n≥0 t²ⁿ

2ⁿn!

. Il suffit donc pour obtenir l’in´ egalit´ e voulue de v´ erifier pour tout n ≥ 0 2

ⁿ

n! ≤ (2n)!. On peut le d´ emontrer ais´ ement par r´ ecurrence, ou remarquer (2n)! = n! Q

2n

i=n+1

(i). Il y a n termes dans le produit, qui sont tous sup´ erieurs

`

a 2 si n ≥ 1. Si n = 0, on v´ erifie ais´ ement l’in´ egalit´ e.

Remarque : on a besoin de tout le d´ eveloppement de la s´ erie. A partir d’un d´ eveloppement limit´ e, on n’obtient qu’une in´ egalit´ e valide au voisinage de 0.

(c) Montrer que pour tous a > 0, n ≥ 1 et u > 0 on a P(S

_n

> a) ≤ e

^nu22−ua

(on pourra majorer P (e

^uSn

> e

^ua

) en utilisant une in´ egalit´ e de Markov...).

La fonction exp ´ etant strictement croissante, et u ´ etant strictement positif, P (S

n

> a) = P (e

^uSn

> e

^ua

). D’apr` es l’in´ egalit´ e de Markov, (e

^uSn

est born´ ee par e

^un

, donc int´ egrable), P (e

^uSn

> e

^ua

) ≤

^E[e_e^uSnua ^]

. Or, puisque les X

i

sont ind´ ependantes, E[e

^uSn

] = E[e

^uX1

]

ⁿ

= cosh(u)

ⁿ

. En utilisant la question pr´ ec´ edente, on obtient bien pour tout r´ eel u P (S

n

> a) ≤ e

^nu

2 2 −ua

.

(d) En d´ eduire P(S

n

> a) ≤ e

^−a2n2

, puis P (|S

n

| > a) ≤ 2e

^−a2n2

.

On va choisir u de fa¸ con ` a minimiser e

^nu22−ua

. Il faut donc minimiser nu

²

− 2ua, c’est-` a-dire choisir u =

^a_n

. On obtient alors P(S

_n

> a) ≤ e

^−a2n2

.

Enfin, P(|S

n

| > a) = P (S

n

> a) + P (S

n

< −a). Mais X

i

et −X

i

ont mˆ eme loi, donc S

n

et −S

n

ont mˆ eme loi, donc P(S

n

< −a) = P (−S

n

< −a) = P (S

n

> a). FInalement, P (|S

n

| > a) ≤ 2e

^−a

2 2n

.

(e) Soit c > 1. Utiliser le lemme de Borel-Cantelli pour montrer que avec probabilit´ e 1, S

n

≤ c √

2n ln n pour tout n sauf ´ eventuellement un nombre fini d’entre eux.

On note A

n

l’´ ev´ enement {S

n

> c √

2n ln n}. On a donc P (A

n

) ≤ e

^−c2lnn

, soit P (A

n

) ≤ n

^−c2

. La s´ erie de terme g´ en´ eral n

^−c2

converge puisque c > 1 ; par cons´ equent, d’apr` es le lemme de Borel Cantelli, la probabilit´ e qu’une infinit´ e de A

n

se produise est nulle. Remarque : on ne peut rien d´ eduire de la divergence de P

P (S

n

≤ c √

2n ln n}, puisque les ´ ev´ enements ne sont pas ind´ ependants.

2

Probl` eme 4. On suppose que sur une voie d’autoroute, toutes les voitures ont la mˆ eme vitesse (qu’on prendra ´ egale ` a 1), et sont s´ epar´ ees par des distances L

1

, L

2

, . . . L

n

, . . . compt´ ees de l’arri` ere du v´ ehicule de devant (num´ ero n − 1) ` a l’avant du v´ ehicule de derri` ere (num´ ero n). On consid` ere que le conducteur de la voiture j a un temps de r´ eaction R

_j

, et que son v´ ehicule a une distance de freinage (avant immobilisation) D

_j

: ainsi, ` a partir du moment o` u le v´ ehicule qui le pr´ ec` ede commence ` a freiner, il parcourt une distance de R

_j

+ D

_j

avant de s’arrˆ eter. On suppose que les L

_i

sont toutes distribu´ ees selon une loi de densit´ e l sur R

⁺

, que les R

_j

suivent toutes une loi de densit´ e r sur R

⁺

, et les D

_j

suivent une loi de densit´ e d sur R

⁺

. On suppose de plus que toutes ces variables sont ind´ ependantes. On suppose (encore...) que ` a l’instant 0, le v´ ehicule num´ ero 0 s’arrˆ ete instantan´ ement (donc D

0

= R

0

= 0), et on cherche la probabilit´ e qu’il y ait un accident. On consid` ere pour cela qu’il ne peut y avoir d’accident qu’entre un v´ ehicule ` a l’arrˆ et et un v´ ehicule en mouvement, et qu’un conducteur qui voit le v´ ehicule qui le pr´ ec` ede freiner se mettra aussi ` a freiner le plus tˆ ot possible (c’est-` a-dire apr` es son temps de r´ eaction R

j

).

1. Montrer que la probabilit´ e pour que le v´ ehicule 1 s’arrˆ ete sans collision est Z Z Z

{x+y<z}

r(x)d(y)l(z)dxdydz

Le v´ ehicule 1 a besoin d’une distance de R

₁

+ D

₁

pour s’arrˆ eter. R

₁

, D

₁

et L

₁

´ etant ind´ ependantes, la densit´ e du triplet est le produit des densit´ es, donc

P(1 s’arrˆ ete sans collision) = P(R

₁

+ D

₁

< L

₁

) = R R R

{x+y<z}

r(x)d(y)l(z)dxdydz.

2. Calculer cette probabilit´ e si les R

i

suivent toutes une loi uniforme sur [r

1

, r

2

], les D

i

une loi uni- forme sur [d

1

, d

2

] et les L

i

une loi exponentielle de param` etre λ.

Toutes les fonctions ´ etant mesurables positives, on peut appliquer Fubini-Tonelli et obtenir R R R

{x+y<z}

r(x)d(y)l(z)dxdydz =

_(r2−r ¹

1)(d₂−d₁)

R

r₂ r₁

( R

d₂

d₁

( R

+∞

x+y

λe

^−λz

dz)dy)dx

=

_(r2−r ¹

1)(d₂−d1)

R

r2

r1

( R

d2

d1

e

^−λ(y+x)

dy)dx =

^(e−λr1_λ^−e2(r2−r^−λr2)(e1)(d^−λd₂−d^1−e1)^−λd2)

.

3. On note pour n ≥ 1, A

n

l’´ ev´ enement “Les v´ ehicules de 1 ` a n se sont arrˆ et´ es sans collision”, B

1

= {R

1

+ D

1

< L

1

}, et B

n

= {R

n

+ D

n

< L

n

+ D

n−1

} si n > 1. Justifier A

n

= ∩

ⁿ_k=1

B

k

. On fonctionne par r´ ecurrence. On a d´ ej` a vu que B

₁

= A

₁

. On suppose que A

_n

= ∩

ⁿ_k=1

B

_k

. On a de toute ´ evidence A

_n+1

⊂ A

_n

. De plus, si les n premiers v´ ehicules s’arrˆ etent sans collision, ` a partir du moment o` u la n-i` eme freine, celle-ci va encore avancer de D

_n

jusqu` a l’arrˆ et, et celle de derri` ere de R

_n+1

+D

_n+1

. Elle ne rentrera pas dans celle de devant si et seulement si R

_n+1

+D

_n+1

< L

_n+1

+D

_n

. Ainsi, A

_n+1

= ∩

ⁿ_k=1

B

_k

. On a donc bien A

_n

= ∩

ⁿ_k=1

B

_k

.

4. Dans le cas o` u les D

n

sont d´ eterministes ´ egaux ` a d

0

(c’est-` a-dire P (D

n

= d

0

) = 1), exprimer P (A

n

) en fonction de l et r. Montrer que s’il existe un r´ eel α > 0 tel que R

+∞

α

r(x)dx > 0 et R

α

0

l(x)dx > 0, alors P (∩

^∞_k=1

B

k

) = 0. Que peut-on en d´ eduire sur la probabilit´ e qu’il y ait un accident ? (On suppose qu’il y a une infinit´ e de voitures.)

On a alors B

1

= {R

1

+ d

0

< L

1

}, et si n > 1, B

n

= {R

n

+ d

0

< L

n

+ d

0

} = {R

n

< L

n

}. Les B

i

sont donc ind´ ependants (remarque : si les D

n

sont al´ eatoires, ce n’est a priori pas le cas), et P(A

n

) = Q

n

k=1

P (B

_k

) = P (R

₁

+d

₀

< L

₁

)(P (R

₁

< L

₁

))

ⁿ⁻¹

= ( R R

x+d0<y

r(x)l(y)dxdy)( R R

x<y

r(x)l(y)dxdy)

ⁿ⁻¹

. On suppose maintenant qu’il existe un r´ eel α > 0 tel que R

+∞

α

r(x)dx > 0 et R

α

0

l(x)dx > 0. Alors P (R

1

≥ L

1

) ≥ P(R

1

≥ α et L

1

≤ α), donc P (R

1

≥ L

1

) > R

+∞

α

r(x)dx R

α

0

l(x)dx > 0. Par cons´ equent, 0 ≤ P(R

1

< L

1

) < 1, et donc lim

n→∞

P (R

1

< L

1

)

ⁿ⁻¹

= 0. Or pour tout n > 0, P (∩

^∞_k=1

B

k

) ≤ P (∩

ⁿ_k=1

B

k

) ≤ P(R

1

< L

1

)

ⁿ⁻¹

. Par cons´ equent, P (∩

^∞_k=1

B

k

) = 0, et la probabilit´ e qu’il y ait un accident est donc 1.

5. On suppose dans cette question que les D

_n

, n ≥ 1 sont d´ eterministes, tous ´ egaux ` a d

₀

, que les R

_i

suivent une loi uniforme sur [r

₁

, r

₂

] et les L

_i

suivent une loi exponentielle de param` etre 1.

(a) Calculer P(A

n

).

R R

x+d₀<y

r(x)l(y)dxdy =

_r ¹

2−r1

R

r₂ r₁

( R

+∞

x+d₀

e

^−y

dy) =

_r ¹

2−r1

R

r₂

r₁

e

^−x−d0

= e

^−d0e−r_r^1−e−r2

2−r1

, et de mˆ eme, R R

x<y

r(x)l(y)dxdy =

^e−r_r^1−e−r2

2−r₁

. Donc P (A

n

) = e

^−d0

(

^e−r_r^1−e−r2

2−r₁

)

ⁿ

.

(b) Montrer que s’il y a une infinit´ e de voitures, il y aura presque sˆ urement un accident. Soit r

0

∈]r

1

, r

2

[. On a P(R > r

0

) > 0 et P (L < r

0

) > 0. D’apr` es la question 3, il y a donc presque

3

sˆ urement un accident. (On aurait aussi pu v´ erifier en utilisant le th´ eor` eme des accroissements finis 0 ≤

^e−r_r^1−e−r2

2−r1

< 1 pour justifier lim

_n

P(A

_n

) = 0)

(c) On note N le num´ ero du premier v´ ehicule qui rentre dans son voisin de devant (d’apr` es la question pr´ ec´ edente, N est presque sˆ urement fini). Donner la loi de N .

P (N = 1) = 1 − P (A

1

) = 1 − e

^−d0e−r_r^1−e−r2

2−r1

.

Si n > 1, P (N = n) = P (A

n−1

) − P(A

n

) = e

^−d0

(

^e−r_r^1−e−r2

2−r1

)

ⁿ⁻¹

(1 −

^e−r_r^1−e−r2

2−r1

). Le fait que B

1

joue un rˆ ole particulier fait que N ne suit pas tout-` a-fait une loi g´ eom´ etrique.

(d) On pose a = e

^−d0

et p = 1 −

^e−r_r^1−e−r2

2−r₁

. On note U = p(N − 1).

i. Calculer la fonction caract´ eristique de N . E[e

^itN

] = P

n≥1

e

^itn

P (N = n) = (1 − e

^−d0e−r_r^1−e−r2

2−r1

)e

^it

+ P

n≥2

e

^itn

e

^−d0

(

^e−r_r^1−e−r2

2−r1

)

ⁿ⁻¹

(1 −

^e−r_r^1−e−r2

2−r1

)

= e

^it

(1 − a(1 − p)) + ap

_1−e^e2itit^(1−p)(1−p)

.

ii. Montrer que lorsque p tend vers 0, U converge en loi vers une variable de loi (1 − a)δ

0

+ ae

^−x

1

_R+

(x)dx.

La fonction caract´ eristique de U est donc

E[e

^itp(N−1)

] = e

^−itp

E[e

^itpN

] = 1 − a(1 − p) + ap

_1−e^eitpitp^(1−p)(1−p)

. Lorsque p tend vers 0, la fonction caract´ eristique de U converge donc vers 1 − a +

_1−it^a

. Or si X suit une loi (1 − a)δ

₀

+ ae

^−x

1

_R+

(x)dx, E[e

^itx

] = (1 − a) + a R

+∞

0

e

^−x+itx

= 1 − a +

_1−it^a

. Donc U converge en loi vers une variable de loi (1 − a)δ

0

+ ae

^−x

1

_R+

(x)dx.

6. Les D

n

ne sont plus suppos´ ees d´ eterministes. Soit > 0. Montrer que lim

_n→+∞

P (D

n

> n) = 0.

Que peut-on en d´ eduire pour la variable

^D_nⁿ

?

P (D

n

> n) = P (D

1

> n). Or la suite d’´ ev´ enements {D

1

> n} est d´ ecroissante, donc

lim

n→+∞

P(D

n

> n) = P (∩

n

(D

n

> n)) = P(∅) = 0. Remarque : l’in´ egalit´ e de Markov fournit aussi une d´ emonstration, valide uniquement si les D

n

sont int´ egrables.

On a donc pour tout > 0, lim

n→+∞

P (|

^D_nⁿ

| > ) = 0. Donc

^D_nⁿ

converge en probabilit´ e vers 0.

7. On suppose que les R

i

et les L

i

sont int´ egrables d’esp´ erance respectivement ρ et λ. On note Y

n

=

1 n

P

n

i=1

R

i

−

¹_n

P

n

i=1

L

i

+

^D_nⁿ

. Que peut-on dire sur la convergence de la suite de variables al´ eatoires Y

n

?

Les R

i

sont ind´ ependantes identiquement distribu´ ees et int´ egrables : d’apr` es la loi forte des grands nombres,

Pn i=1R_i

n

converge donc presque sˆ urement vers ρ, et donc ´ egalement en probabilit´ e. De mˆ eme, les L

i

sont ind´ ependantes identiquement distribu´ ees et int´ egrables : d’apr` es la loi forte des grands nombres,

Pn i=1L_i

n

converge donc presque sˆ urement, et a fortiori en probabilit´ e, vers λ. On a vu que

^D_nⁿ

converge en probabilit´ e vers 0. Donc Y

n

converge en probabilit´ e vers ρ − λ. Si on applique juste la loi faible des grands nombres, on trouve simplement des convergences en loi, et on a bien le droit de les ajouter car ce sont des convergences vers des constantes (d’autre part on sait aussi que la convergence en loi vers une constante implique la convergence en probabilit´ e).

8. On dit qu’un v´ ehicule n est en ´ etat de risque si P

n

i=1

R

_i

+ D

_n

− P

n

i=1

L

_i

> 0. On suppose ρ < λ.

(a) On note C

_n

= { P

n

i=1

R

_i

+D

_n

− P

n

i=1

L

_i

> 0}. V´ erifier que C

_n

est inclus dans le compl´ ementaire de A

n

.

On suppose que A

n

se produit, c’est -` a-dire que tous les B

n

se produisent. En sommant toutes les in´ egalit´ es, on obtient alors P

n

i=1

R

i

+ P

n

i=1

D

i

< P

n

i=1

L

i

+ P

n

i=2

D

_i−1

, soit P

n

i=1

R

i

+ D

n

− P

n

i=1

L

i

< 0. Donc A

n

est inclus dans le compl´ ementaire de C

n

, et C

n

est donc inclus dans le compl´ ementaire de A

n

. Ainsi, si C

n

se produit, un accident de produira.

(b) Montrer lim

_n→+∞

P (C

_n

) = 0. En d´ eduire que presque sˆ urement, il existe un v´ ehicule qui n’est pas en ´ etat de risque.

P (C

n

) = P(Y

n

> 0). Or Y

n

converge en probabilit´ e vers ρ − λ < 0. Soit = −ρ + λ. Alors P (Y

n

> 0) = P(Y

n

− (ρ − λ) > −ρ + λ) ≤ P(|Y

n

− (ρ − λ)| > ) converge vers 0 quand n tend vers +∞. On peut aussi utiliser la convergence en loi. P (Y

n

> 0) = 1 − F

Y_n

(0) converge vers 1 − F

_ρ−λ

(0) = 0, en notant F

x

la fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire constante

´

egale ` a x, F

x

(t) = 1

_t≥x

. Ainsi, P (∩

n

C

n

) = 0, donc presque sˆ urement il existe un v´ ehicule qui n’est pas en ´ etat de risque.

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