E xercice 2. Soit X une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de pa- ramètre. Soitλ >. Montrer queλXsuit une loi exponentielle de paramètre/λ.

(1)

X  – MAP 

PC  – Lundi  mai  – Variables al´eatoires r´eelles

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

E ^{xercice 1.}

(Petites queions)

() On rappelle queB(R) ela plus petite tribu deRqui contient tous les intervalles de la forme ]− ∞, a] aveca∈R. Montrer que{a} ∈ B(R) pour touta∈R.

() SoitXune variable aléatoire réelle. SoientA, B∈ B(R) deux boréliens disjoints.Que vautP(X∈AetX∈B) ?

() Soit (E,E,Q) un espace probabilisé. Exie-t-il une variable aléatoire dont la loi e Q? (autrement dit, exie-t-il un espace probabilisé (Ω,A,P) et une variable aléatoireX: (Ω,A)→(E,E) dont la loi eQ?)

 Variables al´eatoires r´eelles

E ^{xercice 2.}

^Soit ^X une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de pa- ramètre. Soitλ >. Montrer queλXsuit une loi exponentielle de paramètre/λ.

E ^{xercice 3.}

^Soit ^X une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de pa- ramètreλ >. Soita >.Quelle ela loi de la variable aléatoirebaXc+?

(pour un nombre r´eelx∈R,bxcd´esigne l’unique entierktel quek≤x < k+)

E ^{xercice 4.}

^Soit^f ^:^R^→^Rla fonion définie parf(x) =xe⁻^x^^/1_x>. () Vérifier quef ebien une densité.

() SoitX une variable aléatoire réelle dont la loi a pour densité f. Reconnaˆıtre la loi de la variable aléatoireX^.

E ^{xercice 5.}

^Soit^X une variable aléatoire exponentielle de paramètre  eta > . La variable aléatoire min(X, a) e-elle une variable aléatoire à densité ?

E ^{xercice 6.}

^Soit ^Z une variable aléatoire réelle de Cauchy (de densité _π^ · ^

+x^). Pour quelles valeurs deα∈Rla variable al´eatoire|Z|^αe-elle int´egrable ?

E ^{xercice 7.}

^SoitÛ une variable aléatoire uniforme sur [−,]. CalculerE heÛi

.

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



(2)

 Variables aléatoires réelles indépendantes

E ^{xercice 8.}

^Soient^Xêt^Y deux variables aléatoires indépendantes telles queXsuit une loi exponentielle de paramètreλ >etY suit une loi géométrique de paramètrep. Calculer P(X > Y).

E ^{xercice 9.}

^Soient^X êt^Y deux variables aléatoires indépendantes telles queX suit une loi exponentielle de paramètreλ > etY suit une loi exponentielle de paramètre µ >.

Identifier la loi de la variable al´eatoire min(X, Y).

E xercice 10.

^Soientn≥etθ >. On considère des variables aléatoiresU_, . . . , Unindépendantes qui sont diribuées uniformément sur le segment [, θ]. On pose

S= n+

n ·max(U_, . . . , U_n).

Calculer l’esp´erance et la variance deS.

 Exercice `a chercher pour le lundi  mai

E xercice 11.

Calculer les esp´erances et les variances des lois suivantes : () Variable al´eatoire uniforme sur [a, b].

() Variable al´eatoire exponentielle de param`etreλ >.

() Variable al´eatoire normale de loiN(m, σ^).

 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 12.

^Soit^Zune variable al´eatoire de loi exponentielle de param`etre. Pour tout α, β >on poseX=βZ^/α.

() Quelle ela fonion de r´epartition deX? () La loi deX admet-elle une densit´e ?

La loi deXeappelée loi de Weibull de paramètre (α, β). Elle eutilisée (entre autres) pour modéliser des temps de panne.

E xercice 13.

(Générer une loi uniforme avec des variables de Bernoulli) SoitX_, X_, . . .des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre/. On poseZ=P∞

k=⁻^kX_k. () On note

D=









 Xn k=

i_k

^k :n≥, i_, . . . , i_n∈ {,}













(3)

l’ensemble des nombres dyadiques de [,], qui sont denses dans [,]. SoitY une variable aléatoire à valeurs dans [,] dont la fonion de répartition F_Y vérifie F_Y(t) = t pour tout t ∈ D. Montrer queY e une variable aléatoire uniforme sur [,].

() Montrer que pour tousi_, . . . , i_p∈ {,}on a P

X_=i_, . . . , Xp=ip

=P





 Z∈







p

X

i=

ij⁻^j,

p

X

j=

ij⁻^j+⁻^p











 .

En d´eduit que queZeune variable al´eatoire uniforme sur [,].

() Réciproquement, montrer que si Y e une variable aléatoire uniforme sur [,], alors les bits de son écriture en base  forment une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre/.

() Que se passe-t-il en baseb≥avec la loi uniforme sur{, . . . , b−}?

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 14.

Soit (Ω,A) un espace probabilisable et (A_i)_i≥un syème complet d’événements (on rappelle que cela signifie queA_i ∈ Apour touti≥, que∪_i_≥_A_i =Ωet queA_i∩A_j=∅ sii,j).

On considère l’applicationX :Ω→ N^∗ définie par X(ω) =i, o ùi e tel queω ∈ A_i. Montrer que X eune variable aléatoire (N^∗ étant dénombrable, on le munit naturelle- ment de la tribuP(N^∗)).

E xercice 15.

(Exemple d’ensemble non mesurable) SoitP la loi d’une variable aléatoire uniforme sur [,π] (muni de la tribu borélienne sur [,π]). On voit [,π] comme le cercle unitéSen identifiant les deux pointsetπ. Choisissonsα >tel queα/(π) soit irrationel, et notonsR_α la rotation d’angleαsur le cercle, définie parR_α(eîθ) =eî(θ+α). On noteR⁽ⁿ⁾α la composéen-ième deR_α pourn∈Z.

Siz∈S, l’orbite de zepar d´efinition l’ensemble{R⁽ⁿ⁾α (z) :n∈Z} ⊂S. Commeα/(π) eirrationnel, on peut montrer que toutes les orbites sont infinies (et mˆeme denses).

Notons (O_i)_i∈Il’ensemble des orbites, et en utilisant l’axiome du choix choisissons pour touti∈I un repr´esentantz_i∈O_i. Posons finalement

E={z_i :i ∈I}. () Montrer queS=S

n∈ZR⁽ⁿ⁾α (E) et que cette union edisjointe.

() En supposant queEemesurable, aboutir `a une contradiion.

