On rappelle qu’une variable al´ eatoire suit la loi exponentielle de param` etre µ(µ > 0) si elle admet pour densit´ e la fonction f

(1)

Lyc´ee Dominique Villars

TD

ECE 2

Variables continues - TD Sujets de concours n

^◦

2 Exercice 1 - Loi exponentielle : la loi continue sans m´ emoire - ESSEC 2010

On rappelle qu’une variable al´ eatoire suit la loi exponentielle de param` etre µ(µ > 0) si elle admet pour densit´ e la fonction f

µ

d´ efinie par

f

µ

(x) =

µe

^−µx

si x

>

0 0 si x < 0

1. Soient µ > 0 et X une variable al´ eatoire de loi exponentielle de param` etre µ.

(a) Justifier que pour tout r´ eel x positif ou nul, le nombre P(X > x) est non nul.

(b) Montrer que pour tous r´ eels positifs x et y,

P

_[X>x]

(X > x + y) = P(X > y)

2. R´ eciproquement, soit X une variable al´ eatoire positive admettant une densit´ e f continue et strictement positive sur IR

+

, et telle que pour tous r´ eels positifs x et y,

P

[X > x](X > x + y) = P(X > y)

(a) Soit R(x) = P(X > x). Justifier que R(x) est non nul pour tout r´ eel positif.

(b) On pose µ = f (0). Montrer que pour tout x r´ eel positif, on a la relation R

⁰

(x) + µR(x) = 0.

(c) Calculer la d´ eriv´ ee de x

7→

R(x)e

^µx

sur IR

₊

(d) D´ eduire que X suit une loi exponentielle dont on pr´ ecisera le param` etre.

3. Soient deux r´ eels strictement positifs µ

1

et µ

2

. Soient X

1

et X

2

deux variables al´ eatoires ind´ ependantes suivant respectivement les lois exponentielles de param` etres µ

₁

et µ

₂

.

(a) On pose Y = max(X

₁

, X

₂

). D´ eterminer la fonction de r´ epartition F

_Y

de Y et en d´ eduire la densit´ e de la variable Y .

(b) On pose Z = min(X

₁

, X

₂

). D´ eterminer la fonction de r´ epartition F

_Z

de Z et en d´ eduire la loi de Z.

Exercice 2.

Soit un r´ eel a

∈R^∗+

.

1. Montrer que, pour tout entier n tel que n

>

0, l’int´ egrale I

n

=

Z +∞

0

x

ⁿ

e

⁻^x

2

2a²

dx est convergente.

2. (a) Rappeler une densit´ e d’une variable al´ eatoire suivant la loi normale d’esp´ erance nulle et de variance a

²

. En d´ eduire : I

₀

= a

r

π 2 .

(b) Calculer la d´ eriv´ ee de l’application ϕ :

R→R

d´ efinie, pour tout x

∈R

, par : ϕ (x) = e

⁻^x

2

2a²

En d´ eduire : I

1

= a

²

.

3. (a) Montrer, pour tout entier n. tel que n

>

2 et pour tout t

∈

[0; +∞[ :

Z t

0

x

ⁿ

e

⁻^x

2

2a2

dx =

−a²

t

ⁿ⁻¹

e

⁻^t

2

2a2

+ (n

−

1) a

² Z t

0

x

ⁿ⁻²

e

⁻^x

2 2a2

dx (b) En d´ eduire, pour tout entier n tel que n

>

2 : I

_n

= (n

−

1) a

²

I

n−2

.

(c) Calculer I

2

et I

3

.

On consid` ere l’application g

_a

:

R→R

d´ efinie, pour tout x

∈R

, par : g

_a

(x) =

(

0 si x

6

0 x

a

²

e

⁻^x

2

2a2

si x > 0

1

(2)

4. Montrer que g

_a

est une densit´ e de probabilit´ e.

On consid` ere une variable al´ eatoire X admettant g

_a

comme densit´ e.

5. D´ eterminer la fonction de r´ epartition de la variable al´ eatoire X.

6. Montrer que la variable al´ eatoire X admet une esp´ erance E (X) et que E (X) = a

r

π

2 7. Montrer que la variable al´ eatoire X admet une variance V (X) et calculer V (X).

8. (a) On consid` ere une variable al´ eatoire U suivant la loi uniforme sur l’intervalle, ]0; 1]. Montrer que la variable al´ eatoire Z = a

p

−2 ln (U

) suit la mˆ eme loi que la variable al´ eatoire X

(b) En d´ eduire un programme en langage Scilab simulant la variable al´ eatoire X, le r´ eel a strictement positif ´ etant entr´ e par l’utilisateur.

Exercice 3 - EML 2006

1. Soit U une variable al´ eatoire ` a densit´ e suivant une loi normale d’esp´ erance nulle et de variance

¹₂

(a) Rappeler une densit´ e de U

(b) En utilisant la d´ efinition de la variance de U, montrer que l’int´ egrale

Z +∞

0

x

²

e

^−x²

dx est convergente et que

Z +∞

0

x

²

e

^−x²

dx =

√

π

4 Soit F la fonction d´ efinie sur

R

par :

∀x6

0, F (x) = 0

∀x >

0, F (x) = 1

−

e

^−x²

2. Montrer que la fonction F d´ efinit une fonction de r´ epartition de variable al´ eatoire dont on d´ eterminera une densit´ e f.

3. Soit X une variable al´ eatoire admettant f pour densit´ e.

(a) Montrer que X admet une esp´ erance E (X) et que E (X) =

√

π 2 . (b) D´ eterminer, pour tout r´ eel y, la probabilit´ e P X

²6

y

.

On distinguera les cas

y

6

0

et

y > 0.

(c) Montrer que la variable al´ eatoire X

²

suit une loi exponentielle dont on pr´ ecisera le param` etre.

En d´ eduire que X admet une variance V (X) et calculer V (X)

Exercice 4 - M´ ediane et mode d’une loi de probabilit´ e

Soit f la fonction d´ efinie par :







f (x) = 0 si x < 0 f (x) = xe

⁻^x

2

si x

>

0 1. V´ erifier que f est une densit´ e de probabilit´ e.

La dur´ ee de vie d’un certain composant ´ electronique est une variable al´ eatoire X dont une densit´ e est f . 2. (a) D´ eterminer la fonction de r´ epartition F de X.

(b) Calculer la m´ ediane de la loi de X c’est-` a-dire le r´ eel µ tel que

P

(X

6

µ) = 1 2 . 3. On appelle mode de la variable X tout r´ eel x en lequel f atteint son maximum.

Montrer que X a un seul mode, not´ e M

_o

, et le d´ eterminer.

4. (a) En utilisant un r´ esultat connu concernant la loi normale, ´ etablir que X a une esp´ erance et montrer que

E

(X) =

√