E xercice 2. (Identification d’une loi) SoitX une variable aléatoire réelle qui suit une loi ex- ponentielle de paramètre. Soitλ >. Montrer queλXsuit une loi exponentielle de paramètre

(1)

X  – MAP 

PC  – Lundi  avril  – Variables al´eatoires r´eelles

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrigé des exercices non traités surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu après la PC.

E ^{xercice 1.}

(Petites queions)

() E-ce que l’ensemble des intervalles ouverts deRforme une tribu ?

() On rappelle que B(R) ela plus petite tribu deRqui contient tous les intervalles de la forme ]− ∞, a] aveca∈R. Montrer que{a} ∈ B(R) pour touta∈R.

() SoitXune variable aléatoire réelle. SoientA, B∈ B(R) deux boréliens disjoints.Que vaut P(X∈AetX∈B) ?

() Soit (E,E,Q) un espace probabilisé. Exie-t-il une variable aléatoire dont la loi e Q? (autrement dit, exie-t-il un espace probabilisé (Ω,A,P) et une variable aléatoire X : (Ω,A)→(E,E) dont la loi eQ?)

 Variables al´eatoires r´eelles

E ^{xercice 2.}

(Identification d’une loi) SoitX une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre. Soitλ >. Montrer queλXsuit une loi exponentielle de paramètre

/λ.

E ^{xercice 3.}

(Identification d’une loi) SoitX une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètreλ >. Soita >.Quelle ela loi de la variable aléatoirebaXc+?

(pour un nombre r´eelx∈R,bxcd´esigne l’unique entierktel quek≤x < k+)

E ^{xercice 4.}

(Théorème de transfert) SoitU une variable aléatoire uniforme sur [−,]. Calcu- lerE

he^Ui .

E ^{xercice 5.}

(Intégrable ou pas intégrable ?) SoitZ une variable aléatoire réelle de Cauchy (de densité _π^ · ^

+x^). Pour quelles valeurs deα∈Zla variable al´eatoireZ^αe-elle int´egrable ?

E ^{xercice 6.}

⁽A densité ou pas à densité ?) Soit^` X une variable aléatoire exponentielle de pa- ramètreeta >. La variable aléatoire min(X, a) e-elle une variable aléatoire à densité ?

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



(2)

 Variables aléatoires réelles indépendantes

E ^{xercice 7.}

^Soient ^X êt ^Y deux variables aléatoires indépendantes telles que X suit une loi exponentielle de paramètre λ >  et Y suit une loi géométrique de paramètre p. Calculer P(X > Y).

E ^{xercice 8.}

^Soient ^X êt ^Y deux variables aléatoires indépendantes telles que X suit une loi exponentielle de paramètreλ >etY suit une loi exponentielle de paramètreµ >. Identifier la loi de la variable aléatoire min(X, Y).

 Exercice `a chercher pour le mercredi  mai

E ^{xercice 9.}

^Soientⁿ^≥^êt^{θ >}. On considère des variables aléatoiresU_, . . . , U_nindépendantes qui sont diribuées uniformément sur le segment [, θ]. On pose

S= n+

n ·max(U_, . . . , U_n).

Calculer l’esp´erance et la variance deS.

 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 10.

Le cycle d’un feu de circulation e le suivant : le feu e vert sur l’intervalle [, v] et rouge sur ]v, v+r] avecv, r >. L’inant d’arrivéeU de Zoé esupposé uniformément réparti sur le cycle [, r+v].

() Exprimer en fonion de U le temps d’attente T de Zoé au feu dans le cas o ù aucun vehicule ne se trouve devant le feu à l’inant o ù elle arrive.

() Déterminer la fonion de répartition de T. E-ce une variable aléatoire discrète ou à densité ?

E xercice 11.

(Particule dans un puit de potentiel, loi d’Arrhénius et loi de Pareto) On considère une particule dans un puit de potentiel de barrière d’énergie E positive. La loi d’Arrhénius donne le temps de sortieτ(E) en fonion deEde la particule hors du puit d û aux fluuations thermiques :

τ(E) =τ_e

E kBT.

Ici, la conanteτ_eun temps de référence caraériique,T ela température absolue, etkB

ela conante de Boltzmann. On suppose que la barrière edécrite par une variable aléatoire X de loi exponentielle de paramètreλ=/E_, o ùE_ eune énergie de référence. Le temps de sortie de la particule ealors une variable aléatoire notéeY :

Y :=τ(X), o `uτ(x) =τ_e^kBT^x .



(3)

() D´eterminer la loiY.

() Montrer que pour toutt⁰>on a lim_t→+∞P(Y > t+t⁰|Y > t) =. Interpr´eter ce r´esultat.

Remarque. la loi deY ela loi de Pareto. C’eune loi de puissance qui a des applications non seulement en physique mais aussi en sciences sociales, en geion de qualit´e, etc.

E xercice 12.

(Détruquer une pièce) On dispose d’une pièce truquée qui renvoiepileavec une probabilité p et on souhaite s’en servir pour générer un pile ou face équilibré. John von Neumann a imaginé l’algorithme suivant :

Lancer la pièce

Lancer la pièce Lancer la pièce pile

face pile

face

face pile

Renvoyer

“face”

Renvoyer

“pile”

DEBUT

FIN

On noteT ∈ {,,, . . .} la variable aléatoire donnée par le nombre de lancers nécessaires pour que l’algorithme se termine, etR∈ {pile,face}le résultat de l’algorithme.

() Que valentT etRsi on obtient comme premiers tiragesP P P P FFP P P FFP? () D´emontrer que pour toutk≥,

P(T =k) = (p^+ (−p)^)^k⁻^p(−p),

en d´eduire que l’algorithme se termine presque-s ˆurement :P(T <+∞) =.

() Démontrer que l’algorithme renvoie bien pile ou face avec même probabilité, c’e-à-dire queP(R=pile) =/.

() D´emontrer queE[T] =_p(^₋_p).

E xercice 13.

(Générer une loi uniforme avec des variables de Bernoulli)SoitX_, X_, . . .des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre/. On poseZ=P∞

k=⁻^kX_k. () On note

D=











n

X

k=

ik

^k :n≥, i_, . . . , i_n∈ {,}











l’ensemble des nombres dyadiques de [,], qui sont denses dans [,]. Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans [,] dont la fonion de répartition F_Y vérifieF_Y(t) =t pour toutt∈ D. Montrer queY eune variable aléatoire uniforme sur [,].

() Montrer que pour tousi_, . . . , i_p ∈ {,}on a P

X_=i_, . . . , X_p=i_p

=P





 Z∈







p

X

i=

i_j⁻^j,

p

X

j=

i_j⁻^j+⁻^p











 .



(4)

En d´eduit que queZ eune variable al´eatoire uniforme sur [,].

() Réciproquement, montrer que siY eune variable aléatoire uniforme sur [,], alors les bits de son écriture en baseforment une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre/.

() Que se passe-t-il en baseb≥avec la loi uniforme sur{, . . . , b−}?

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 14.

(Support d’une loi) SoitXune variable al´eatoire r´eelle.

() On suppose que pour toutA∈ B(R), on aP(X∈A)∈ {,}. Montrer queX epresque- s ˆurement conante (c’e-`a-dire qu’il exiec∈Rtel queP(X=c) =).

() On suppose que l’ensemble{P(X∈A), A∈ B(R)}edénombrable. Montrer que p.s.Xne peut prendre qu’un nombre dénombrable de valeurs (c’e-à-dire, il exie un ensemble dénombrableΓ tel queP(X∈Γ) =).

E xercice 15.

^{(Une que}ion de mesurabilit´e) Soit (Ω,A) un espace probabilisable et (A_i)_i≥

un syème complet d’événements (on rappelle que cela signifie queA_i ∈ Apour touti≥, que

∪_i_≥_A_i =Ωet queA_i∩A_j =∅sii ,j).

On considère l’applicationX:Ω→N^∗définie parX(ω) =i, o ùi etel queω∈A_i. Montrer queX eune variable aléatoire (N^∗ étant dénombrable, on le munit naturellement de la tribu P(N^∗)).

E xercice 16.

(Exemple d’ensemble non mesurable)SoitPla loi d’une variable aléatoire uniforme sur [,π] (muni de la tribu borélienne sur [,π]). On voit [,π] comme le cercle unité Sen identifiant les deux pointsetπ. Choisissonsα >tel queα/(π) soit irrationel, et no- tonsR_αla rotation d’angleαsur le cercle, définie parR_α(eîθ) =eî(θ+α). On noteR⁽ⁿ⁾α la composée n-ième deR_α pourn∈Z.

Si z∈ S, l’orbite de z e par d´efinition l’ensemble{R⁽ⁿ⁾α (z) :n∈ Z} ⊂S. Comme α/(π) e irrationnel, on peut montrer que toutes les orbites sont infinies (et mˆeme denses).

Notons (O_i)_i∈I l’ensemble des orbites, et en utilisant l’axiome du choix choisissons pour tout i ∈I un repr´esentantz_i ∈O_i. Posons finalement

E={z_i :i ∈I}.

() Montrer queS=S

n∈ZR⁽ⁿ⁾α (E) et que cette union edisjointe.

() En supposant queEemesurable, aboutir `a une contradiion.

