E xercice 2. SoitX= (X, . . . , Xn) un ´echantillon de taillende variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi exponentielle de param`etre/θ >avecθinconnu. Soitθ>etα∈],[. On poseSn=X+· · ·+Xn.

X  – MAP 

PC  –  juin  – Te s

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrig´e des exercices non trait´es surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu apr`es la PC.

 Te s

E ^{xercice 1.}

Sur un ´echantillon repr´esentatif depersonnes, on rapporte les avis favorables pour une femme politique. En novembre, il y avait% d’avis favorables, et % en d´ecembre. Une ´editorialie dans son journal prend tr`es au s´erieux cette chute depoints. Le but de cet exercice ede confirmer ou d’infirmer la position de la journalie.

On note p la proportion d’avis favorables en novembre, et q cette proportion en d´ecembre, et on se propose de teH_:p−q=contreH_:p−q,au niveau%. On notebp_nla proportion d’avis favorables dans un ´echantillon repr´esentatif denpersonnes en novembre (et de mˆemebq_npour d´ecembre).

() D´emontrer que√

n(bpn−p,bqn−q) converge en loi vers un veeur gaussien dont on pr´ecisera la matrice de covariance. En d´eduire que

√ n(bp_n−

bq_n)−

√

n(p−q) −→^loi

n→∞

N(, p(−p) +q(−q)).

() ´Etudier le comportement de

T_n=

√ n(bp_n−

bq_n) p

bp_n(−

bp_n) +bq_n(− bq_n) lorsquen→ ∞.

() Conruire un tede niveau asymptotique% deH_contreH_ en se servant deT_n. Faire l’applica- tion num´erique.

E ^{xercice 2.}

^{SoitX= (X}, . . . , X_n) un ´echantillon de taillende variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi exponentielle de param`etre/θ >avecθinconnu. Soitθ_>etα∈],[. On poseS_n=X_+· · ·+X_n.

On souhaite teerH_={θ=θ_}contreH_ ={θ > θ_}au niveauα.

() Rappeler pourquoiS_nsuit une loiΓ dont on identifiera les param`etres.

() D´emontrer que sousH_,

Z_n=Sn

θ_

suit une loi duχ^ `a un nombre de de degr´es de libert´ed_nqu’on pr´ecisera.

On rappelle qu’une loi du χ^ `a d degr´es de libert´e e la loi de la somme des carr´es de d gaussiennes centr´ees r´eduites ind´ependantes, et qu’une densit´e de cette loi e



^dΓ(d/)t^d−e^−t1t≥.

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



On rappelle que la densit´e de la loiΓ(a, λ)e _Γ^_(a)λ^ax^a−e^−λx1_x>. () En d´eduire une r´egion de rejet de la forme

W_n={S_n≥c}

avecc une conante qu’on exprimera en fonion deθ_ etz_−α, le quantile d’ordre−α de la loi duχ^ `ad_ndegr´es de libert´e.

() On suppose que θ e le temps moyen d’attente du RER B `a la gare de Loz`ere. Une association d’usagers et la RATP souhaitent teer si le RER B respee un temps d’attente moyen r´eglementaire d’au plusθ_=min. Tee-t-on

H_={θ≤θ_}contreH_={θ > θ_} ou H_={θ≥θ_}contreH_={θ < θ_}?

 E imateurs du maximum de vraisemblance

E ^{xercice 3.}

La hauteur maximale en m`etres de la crue annuelle d’un fleuve emod´elis´ee par une variable al´eatoire de Rayleigh de param`etreaqui a pour densit´e :

f(x) =x

ae^−xa1x≥

o `uaeun param`etre inconnu.

() D´eterminer l’esimateur du maximum de vraisemblanceba_ndea.

() Si X suit une loi de Rayleigh de param`etre a, d´emontrer queX<sup></sup> suit une loi exponentielle de pa- ram`etre/(a).

() L’eimateurba_ne-il sans biais ?

() Trouver un intervalle de confiance asymptotique pouraau niveau%.

On rappelle que la variance d’une loi exponentielle de param`etreλe/λ^.

() Une compagnie d’assurance eime qu’une catarophe correspond `a une crue de plus dem. Trou- ver un intervalle de confiance asymptotique pour la probabilit´ep qu’une catarophe se produise durant une ann´ee au niveau%.

 Plus appliqu´e

E ^{xercice 4.}

On consid`ere les d´ecimales du nombre π e on souhaite savoir si elles sont uniform´ement r´eparties sur X ={, . . . , n}. On calcule π `a ⁻ⁿ pr`es avec n =, ce qui nous donne lesn premi`eres d´ecimales deπ. On trouveN_ =,N_=,N_ =,N_=,N_=,N_ =,N_=, N_=,N_=etN_=.

Teer l’hypoth`ese que les d´ecimales deπsont uniform´ement r´eparties au niveau%.



 Q uelques exercices pour finir...

E ^{xercice 5.}

D´emontrer qu’il n’epas possible de truquer deux d´es ind´ependants de fac¸on `a ce que la somme des points obtenus en les lanc¸ant ind´ependamment suive la loi uniforme sur l’ensemble{,,, . . . ,}.

Indication.On pourra noterU etV deux variables al´eatoires ind´ependantes `a valeurs dans{,, . . . ,}, supposer queS=U+V suit la loi uniforme sur{,, . . . ,}et exploiter le fait queE

hx^Si

=E hx^Ui

·E hx^Vi

.

E ^{xercice 6.}

Selon Shakespeare, C´esar dit `a Brutus au moment de mourir : “Et tu, Brute ? Then fall, Cæ- sar !”. Eimez la probabilit´e que vous inhaliez `a cet inant l’une des mol´ecules d’air exhal´ees par C´esar prononc¸ant cette ultime phrase.

On supposera qu’il y a^mol´ecules d’air en tout, qu’il y a environ·^mol´ecules d’air dans.

litres d’air et qu’une inhalation ou une exhalation repr´esentent.litres d’air.

