1 – Variables al´eatoires ind´ependantes

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Ind´ependance

0 – Petite question

E

^{xercice 1. Soient X et Y} deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes. Soit F : R×R →R₊ une fonion bor´elienne. Montrer queE[F(X, Y)] =E[g(Y)], o `ug :R→R ela fonion d´efinie parg(y) = E[F(X, y)] poury∈R.

1 – Variables al´eatoires ind´ependantes

E

^{xercice 2. SoientXetY} deux variables al´eatoires gaussiennes (centr´ees r´eduites) ind´ependantes. Mon- trer que les variables al´eatoires ^X+Y√_ et^X√−_^Y soient ind´ependantes.

E

^{xercice 3.} On d´efinit sur (Ω,A,P) des variables al´eatoiresU_, . . . , U_nind´ependantes et de loi uniforme sur{,, . . . , p}.

. Trouver la loi deM_n= max_≤k≤nU_k.

. Montrer que

E[M_n]

p −→

p→∞

n n+.

E

^{xercice 4.} (Formule de compensation.)Soient (X_n)_n≥une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de loiµetN une variable al´eatoire `a valeurs dansNind´ependante de la suite (X_n)_n≥.

. On suppose queµela loi de Bernoulli de param`etrep∈],[ c’e-`a-dire que µ=pδ_+ (−p)δ_,

et queN suit la loi de Poisson de param`etreλc’e-`a-dire que

P(N =k) =e^−λλ^k k!. On pose

P = XN

i=

X_i et F=N−P = XN

i=

(−X_i),

avecP =F=sur{N =}. Les variables al´eatoiresP etF repr´esentent respeivement le nombre de piles et de faces dans un jeu de pile ou face de param`etrep `aN lancers.

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



(a) D´eterminer la loi du couple (P , N).

(b) En d´eduire les lois deP etF et montrer queP etF sont ind´ependantes.

. On ne fait plus d’hypoth`ese sur les lois. Soitf :R→R₊une fonion mesurable. Montrer que E







 XN

i=

f(X_i)









=E(N) Z

R

f(x)µ(dx),

avecP_N

i=f(X_i) =sur{N =}.

E

^{xercice 5. Soit (Ω,F,P}) un espace probabilis´e etXune variable al´eatoire r´eelle d´efinie sur (Ω,F,P).

. Si deux tribusA_etA_sur (Ω,F,P) sont ind´ependantes et ont un ´el´ement communA, montrer queP(A) =ouP(A) =.

. SoitCune sous-tribu deF telle que siC∈ C, alorsP(C) =ouP(C) =. Montrer que siXeC mesurable, alorsXeconante presque s ˆurement.

Indication : on pourra introduire la fonion de r´epartitionF deX et consid´ererx_= inf{x∈R;F(x) =

}.

. Soitf :R→Rune fonion bor´elienne. On suppose quef(X) etXsont ind´ependantes. Montrer quef(X) econante presque s ˆurement.

2 – Ind´ependance et fonctions caract´eristiques

E

^{xercice 6. SoientXetY} deux variables al´eatoires r´eelles born´ees. D´emontrer queXetY sont ind´ependantes si, et seulement si :

∀k, l∈N, E hX^kY^li

=E hX^ki

E hY^li

. ()

Indication.Lire le titre de cette partie.

3 – ` A chercher pour la prochaine fois

E

^{xercice 7.} Sur un espace de probabilit´e (Ω,A,P), on consid`ere deux variables al´eatoires exponentielles ind´ependantes de param`etre, not´eesE_etE_.

. Que vautP(E_>E_) ?

. Quelle ela loi de ln (+E_/E_) ?

. On consid`ere ´egalement une famille (Pt)<sub>t</sub>≥ de variables al´eatoires r´eelles (d´efinies aussi sur (Ω,A,P)) telle que P<sub>t</sub> suit la loi de Poisson de param`etre t pour tout t >  et on suppose que (P_t)_t≥eind´ependante du couple (E_,E_). Soit finalement une variable al´eatoire r´eelleX(d´efinie aussi sur (Ω,A,P)), cara´eris´ee par le fait que

E[F(X)] = E

hF(PE_−E_)1{E_>E_}

i

P[E_>E_] pour toute fonionF:R→R₊mesurable.

Trouver la loi deX.



 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 8.}

. Mathias a deux enfants dont une fille.Quelle ela probabilit´e que l’autre enfant soit un garc¸on ?

. Mathilde a deux enfants. Le plus jeune eune fille. Quelle ela probabilit´e que l’aˆın´e soit un garc¸on ?

E

^{xercice 9.} (Processus de Poisson) Soit (X_n, n ≥ ) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P), de mˆeme loi exponentielle de param`etre. On poseT_=et pour toutn≥,

T_n=X_+. . .+X_n.

Pour toutt≥, on pose

N_t= max{n≥:T_n≤t}.

. Soitn≥. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , T_n).

. En d´eduire la loi deN_t pour toutt >.

. Pourn≥ett >, on d´efinit surΩune nouvelle mesure de probabilit´eQ^n,t par la formule

Q^n,t(A) =P(A∩ {N_t =n})

P(N_t =n) , A∈ A. Calculer la loi dun-uplet (T_, . . . , T_n) sous la mesure de probabilit´eQ^n,t.

E

xercice 10. ( ) Soient X et Y deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et telles que les variables al´eatoires X+Y etX−Y soient ind´ependantes. Montrer que les deux variables X etY sont deux variables al´eatoires gaussiennes.

Fin

