TD  — Espaces L

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

TD  — Espaces L

^p

1 – Petites questions

) Donner un exemple def ∈L^(R,B(R), λ) telle quef <L^p(R,B(R), λ) pour toutp >, et un exemple def ∈L^p(R,B(R), λ) avecp >telle quef <L^(R,B(R), λ).

) Soient p≥et (f_n)_n≥ une suite deL^p(E,A, µ) qui converge dans L^p versf. Rappeler pourquoi il exie une extrariceφ et une fonion h∈L^p(E,A, µ) telle que (f_φ(n))_n≥ convergeµ-p.p. vers f et

|f_φ(n)| ≤hpour toutn≥,µ-p.p.

Indication : Calquer la d´emonration de la compl´etude des espacesL^p.

) Soit (fn)_n≥une suite deL^p(E,A, µ) qui converge dansL^pversf et qui converge ´egalementµ-p.p.

versg. Montrer queg∈L^pet quef =g µ-p.p.

) Soit (fn)_n≥une suite deL^p(E,A, µ)∩L^q(E,A, µ) avecp, q∈[,+∞[ etp,q. On suppose quef_n→ dans L^p quand n → ∞et que (f_n)_n≥ eune suite de Cauchy dans L^q. Montrer quef_n → dans L^q quandn→ ∞.

2 – Espaces L

^p

Rappel(Th´eor`eme d’Egoroff– TD, Exercice). Soit (E,A, µ) un espace mesur´e tel queµ(E)<∞, et (f_n)_n≥une suite fonions qui convergeµ-p.p. versf. Alors pour toutε >il exieA_ε∈ Ade mesure µ(A_ε)≤εtel que la suitef_nconverge uniform´ement versf surE\A_ε.

E

^{xercice 1. Soit (E,A}, µ) un espace mesur´e tel queµ(E)<∞. On consid`ere une suite (f_n)_n≥ born´ee de L^p(E,A, µ),p∈],∞[ et une fonion mesurablef sur (E,A, µ) telles quef_n→f µ-p.p. quandn→ ∞.

. Montrer quef ∈L^p(E,A, µ).

. Montrer quef_n→f dansL^rquandn→ ∞pour toutr∈[, p[.

. Que se passe-t-il pourp=∞?

E

^{xercice 2.} (Lemme de Scheff´e)Soientp∈[,∞[ et (f_n)_n≥une suite deL^p(E,A, µ) qui convergeµ-p.p.

vers une fonionf deL^p(E,A, µ). Montrer l’´equivalence suivante :

nlim→∞

||f_n−f||_p= ⇐⇒ lim

n→∞

||f_n||_p=||f||_p.

Indication :consid´ererg_n =^p(|f_n|^p+|f|^p)− |f_n−f|^p, un peu comme dans la preuve du th´eor`eme de convergence domin´ee.Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



E

^{xercice 3.} (Th´eor`eme de Lusin, le retour)Soitf : [a, b]→Rune fonion mesurable. Montrer que pour toutε >il exie un compaK⊂[a, b] tel queλ([a, b]∩K_ε^c)≤εetf soit continue surK.

Indication : on pourra utiliser le th´eor`eme d’Egoroff et le fait que les fonions continues sur [a, b]

sont denses dansL^([a, b]).

E

^{xercice 4.} (In´egalit´e de Hardy)Soient (X,X, µ) et (Y ,Y, ν) deux espaces mesur´esσ-finis. On consid`ere ϕ: (X×Y ,X ⊗ Y)→(R,B(R)) une fonion mesurable et int´egrable par rapport `a la mesure produitµ⊗ν, etFla fonion d´efinie pourµ-p.t.x∈XparF(x) =

Z

Y

ϕ(x, y)ν(dy).

. Montrer queFv´erifie l’in´egalit´ekFk_Lp(µ)≤ Z

Y

kϕ(., y)k_Lp(µ)ν(dy).

. En d´eduire que pour toute fonionf ∈L^p(R^∗

+,B(R^∗

+)) avecp∈],∞[, la fonionFd´efinie surR^∗

+

parF(x) = x

Z _x

 f(t)dt, v´erifie l’in´egalit´e suivante (appel´ee in´egalit´e de Hardy) :kFk_p≤ p p−kfk_p.

E

^{xercice 5.} (Super H¨older)

. Soientp, q, r ∈[,∞] tels que ^_p+^_q =+^_r. Soientf ∈L^p(R) et g∈L^q(R). Montrer quef ∗g e d´efinie presque partout et quekf ∗gk_r≤ kfk_pkgk_q.

Indication :

|f(x−y)g(y)|= (|f(x−y)|^p|g(y)|^q)^r (|f(x−y)^p|)^p−r (|g(y)|^q)^q−r

. Soitf ∈L^etg∈L^p,p≥. Montrer que pour tout|a|<kfk⁻_^l’´equationh−af ∗h=gposs`ede une unique solution dansL^p.

E

^{xercice 6.} (Continuit´e de l’op´erateur de translation)

Soienth∈Retf : (R,B(R))→(R,B(R)) une fonion mesurable. On d´efinitτ_hf par τ_hf(x) =f(x−h), x∈R.

. V´erifier que l’op´erateur de translation τ_h eune isom´etrie de l’espace L^p(R,B(R), λ) pour p ∈ [,+∞].

. On supposep <∞. Montrer que sif ∈L^p(R,B(R), λ) alors,

hlim→kτ_hf −fk_p=,

|h|→lim+∞

kτ_hf −fk_p=^/pkfk_p.

Indication :on pourra traiter tout d’abord le cas o `uf econtinue `a support compa.

. Que deviennent les r´esultats de la queion (.) sip=∞?

. – D´eduire des queions pr´ec´edentes que siλ(A)>, alors l’ensembleA−A={x−y :x, y ∈A} contient un voisinage de.

3 – ` A chercher pour la prochaine fois



E

^{xercice 7. Soientr, s∈[,∞[ etg:R→Rune fon}ion continue. On suppose qu’il exiec >tel que :

∀y∈R, |g(y)| ≤c|y|^r/s. () SoitΦl’application deL^r(X,A, µ)→L^s(X,A, µ) d´efinie parΦ(f) =g◦f.

. V´erifier queΦ(f)∈L^s(X,A, µ).

. Montrer queΦecontinue.

Indication :on pourra utiliser le crit`ere s´equentiel de la continuit´e, et utiliser la queion) des petites extraions du d´ebut du TD.

. Que se passe-t-il si la condition () n’eplus satisfaite ?

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 8.}

. Soientp∈[,+∞[ etf ∈L^p(R₊,B(R₊), λ). On poseF(x) =R_x

f(t)dt. Montrer queFebien d´efinie et que siqel’exposant conjugu´e dep, alors

limh→

sup_x∈R|F(x+h)−F(x)|

|h|^/q =.

. En d´eduire que sigeune fonion surR₊de classeC^int´egrable telle queg⁰ ∈L^p(R₊) pour un p∈[,+∞[, alorsg(x)→quandx→+∞.

E

^{xercice 9. Soient (E,A}, µ) un espace mesur´eσ-fini etp∈[,∞[. Soitg:E→Rune fonion mesurable telle que, pour tout fonionf ∈L^p, on af g∈L^p. Montrer queg∈L^∞.

Fin

