2 – Entr´ee – Convolution

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

TD  – Bouillon math´ematique `a ma fac¸on

1 – Ap´eritif – Petites questions

0)Quels sont les th´eor`emes vus en cours avec une hypoth`eseσ-fini?

1)Pour quels espaces fonionnelsF, Gpeut-on d´efinir la convol´eef ∗gavecf ∈F, g∈G?

2 – Entr´ee – Convolution

E

^{xercice 1.} (ApproximationC^∞)

. Soientf une fonion localement int´egrable surR(c’e-`a-dire int´egrable sur tout compadeR) etϕ une fonion de classeC<sup>∞</sup> `a support compa. Montrer que la fonionf ∗ϕ ed´efiniepour toutx∈Ret ede classeC^∞.

. Soitφ:x7→exp

− 

−x^

1^|x|<, montrer que cette fonion eune fonionC^∞ `a support compa.

. En d´eduire que pour toutp∈[,∞[, l’ensemble des fonions de classeC^∞ sur Redense dans L^p(R).

3 – Plat de viande – Dualit´e L

^p

− L

^q

E

^{xercice 2.} (S´equentielle compacit´e faible) Soitp∈],∞[ etqson exposant conjugu´e,Ω⊂Run ouvert de R etµ la mesure de Lebesgue. Soit (f_n) une suite born´ee deL^p(Ω) (c-`a-d que la suite (kf_nk_p)_n≥ e born´ee).

. Montrer queL^q(Ω) es´eparable (c’e`a dire qu’il contient une partie d´enombrable dense).

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.



. SoitDune partie d´enombrable dense deL^q(Ω). Montrer qu’il exie une sous-suite (f_ϕ(n)) telle que pour touth∈D,

nlim→∞

Z

Ω

f_ϕ(n)hdµexie dansR.

. Montrer que pour toutg∈L^q(Ω),

φ(g) = lim

n→∞

Z

Ω

f_ϕ(n)gdµexie dansR.

. En d´eduire qu’il exief ∈L^p(Ω) telle que l’on aitconvergence faibledansL^p(Ω) de la suite (f_ϕ(n)) versf, c’e-`a-dire :

∀g∈L^q(Ω), lim

n→∞

Z

Ω

f_ϕ(n)gdµ= Z

Ω

f gdµ.

. Le r´esultat pr´ec´edent subsie-t-il pourp=?

E

^{xercice 3.} (Petit contre-exemple) Soient E ={a, b} etµ la mesure d´efinie sur P(E) par µ({a}) = et µ({b}) =µ(E) = +∞. Cara´eriserL^∞(µ) et le dual topologique deL^(µ). Conclure.

4 – Plat de poisson – Mesures sign´ees

E

^{xercice 4. (L’espaceM(R))}

(i) Montrer que M(R) l’espace des des mesures bor´eliennes sign´ees sur R e un espace de Banach pour la norme

µ7→ kµk, o `ukµk=|µ|(R)|.

Indication : si(µ_n)_n≥eune suite de Cauchy, on pourra montrer que

nlim→∞sup{|µ(A)−µ_n(A)|;A∈ B(R)}= o`uµe`a d´eterminer.

(ii) Soit (X,A, µ) un espace mesur´e fini. Montrer que pour toutf ∈L^(X,A, µ) : kfk_=kf ·µk,

o `u (f ·µ) ela mesure absolument continue par rapport `aµde densit´ef.

 – Fromage – Pour pr´eparer le partiel `a venir

Chercher des exercices des partiels des ann´ees pr´ec´edents (les ´enonc´es sur disponibles sur le site d’en- seignement du DMA –http://www.math.ens.fr/enseignement– partieArchives p´edagogiques, puis Annales d’examens).



 – Dessert – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 5.} (Fonions `a variation finie) Soit une fonionf : [a, b]→R.

. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) f s’´ecrit comme une diff´erence de deux fonions croissantes continues `a droite.

(ii) Il exie une mesure sign´eeµsur [a, b] telle quef(x) =µ([a, x]) pour toutx∈[a, b].

(iii) f econtinue `a droite et `a variation born´ee c’e-`a-dire quef v´erifie la condition suivante sup

n≥,a≤a_<...<a_n≤b n−

X

i=

|f(a_i+)−f(a_i)|<∞.

. Donner un exemple de fonion continue [,]7−→Rqui ne soit pas `a variation finie.

E

^{xercice 6.} (Th´eor`eme de Vitali-Saks)Soit (X,A, µ) un espace mesur´e. Une famille (ν<sub>i</sub>)<sub>i</sub>∈I de mesures surAediteabsolument ´equicontinuepar rapport `a la mesureµsi :











∀ >,∃A∈ A, µ(A)<+∞et∀i∈I, ν_i(A^c)< ,

∀ >,∃δ >,∀A∈ A, µ(A)< δ=⇒ ∀i∈I, ν_i(A)<

On suppose que A=σ(C), o `u C eune classeable par interseion finie contenantX. Le but ede prouver le r´esultat suivant

Th´eor`eme de Vitali-Saks.<sup></sup> Soit (ν<sub>n</sub>)<sub>n</sub>≥une suite de mesures finies surA, absolument ´equicontinue par rapport `a µet telle que pour toutC ∈ C, lim_nν_n(C) exie dans R₊. Alors pour toutA∈ A,ν(A) = lim_nν_n(A) exie dansR₊etνd´efinit une mesure absolument continue par rapport `aµ.

. SoitB={A∈ A;ν(A) = lim_nν_n(A) exie dansR₊}. Montrer queBe able par diff´erence propre (c-`a-d siA, B∈ BavecA⊂B, alorsB\A∈ B).

. Soient (B_k)_k≥une suite d’´el´ements deux `a deux disjoints deBetBleur r´eunion. Montrer que

nlim→∞ν_n(B) =X

k≥

nlim→∞ν_n(B_k).

. En d´eduire queB=A.

. Montrer que l’applicationνeune mesure surA, absolument continue par rapport `a la mesureµ.

Dans l’exercice suivant, on note (f ·µ) la mesure absolument continue par rapport `aµde densit´ef.

E

^{xercice 7. (Exercice  dans L} : cas particulier du th´eor`eme de Dunford-Pettis) Soit (X,A, µ) un espace mesur´e fini. On suppose queA=σ(C), o `uC eune classe d´enombrableable par interseion finie contenantX.

Contrairement `a l’´enonc´e diribu´e en TD, il faut que ce soitR₊et non pasR₊(sinon c’efaux, voir corrig´e)



. Montrer que c’ele cas lorsqueXeun espace m´etrique s´eparable muni de sa tribu bor´elienne.

Soit (f_n)_n≥une suite born´ee deL^(X,A, µ) (c`ad la suite (kf<sub>n</sub>k<sub></sub>)<sub>n</sub>≥ eborn´ee) telle que la suite de mesures (|f<sub>n</sub>| ·µ)<sub>n</sub>≥eabsolument ´equicontinue par rapport `aµ.

. Montrer qu’il exie une sous-suite (fφ(n))_n≥ telle que les deux suites de mesures d´efinies par ν_n^±:=f_n^±·µv´erifient : pour toutC∈ C, lim_nν_φ(n)^± (C) exient dansR.

. Montrer qu’il exief ∈L^(X,A, µ) v´erifiant pour toutA∈ A:

nlim→∞

Z

A

f_φ(n)dµ= Z

A

f dµ.

. En d´eduire laconvergence faibledef_φ(n)versf :

∀g∈L^∞(X,A, µ), lim

n→∞

Z

X

f_φ(n)gdµ= Z

X

f gdµ.

. Une suite (f_n)_n≥qui converge faiblement au sens de d) (mais pour la suite elle-mˆeme) converge-t- elle n´ecessairementµ-p.p. ou en normek · k_versf ? Comparer avec l’exercicedu TD.

E

^{xercice 8. Soit (g}n) une suite de fonions continues positives sur I = [,]. On note λ la mesure de Lebesgue surI etµune mesure positive de Borel surI telle que

. limng_n(x) =λ-p.p.

. R

Ig_ndλ=pour toutn≥.

. lim_nR

If g_ndλ=R

If dµpour toutf ∈ C(I).

Peut-on en d´eduire queµe´etrang`ere `aλ?

Fin

