D´eterminer N de sorte que SN soit une valeur approch´ee de S `a 10−2 pr`es

MASTER 1 - M´etiers de L’Enseignement en Math´ematiques La Mi-Voix - ULCO

ANALYSE 2 Mai 2012 - Semestre 1, Session 2

Dur´ee de l’´epreuve : 3h00 Documents interdits. Calculatrice autoris´ee.

(Les quatre exercices sont ind´ependants. Un soin tout particulier sera apport´e `a la r´edaction des r´eponses) Exercice 1

1. Justifier que la s´erie X

k≥1

sink

k² est convergente.

On noteS sa somme et on cherche `a d´eterminer une valeur approch´ee de S `a 10⁻² pr`es.

On noteS_n=

n

X

k=1

sink k² .

2. D´emontrer que, pour tout n >1,

|sinn|

n² ≤ 1 n−1 − 1

n. En d´eduire que, pourN ≥1,

|S−S_N| ≤ 1 N.

3. D´eterminer N de sorte que S_N soit une valeur approch´ee de S `a 10<sup>−2</sup> pr`es. Peut-on calculer num´eriquement la valeur exacte de SN? Une valeur approch´ee de SN `a 10<sup>−2</sup> pr`es est-elle une valeur approch´ee de S `a 10<sup>−2</sup> pr`es ?

4. D´eterminer une valeur approch´ee de S `a 10<sup>−2</sup> pr`es.

Exercice 2 Int´egrales de Wallis.

Soit In= Z ^π

2

0

sinⁿ(x)dxsi n∈N.

1. Montrer que (I_n)_n est positive d´ecroissante.

2. Montrer queIn+2= n+ 1

n+ 2Inet expliciter In, en d´eduire Z 1

−1

(x²−1)ⁿdx.

3. Montrer queI_n∼I_n+1.

4. `A l’aide de (n+ 1)I_nI_n+1 montrer que I_n∼ r π

2n. 5. En d´eduire 1.3. . .(2n+ 1)

2.4. . .(2n) ∼2 rn

π. Exercice 3

1. On consid`ere les r´eelsIn= Z 1

0

tⁿ

n!e^1−tdt pour toutnentier non nul et I0 = Z 1

0

e^1−tdt.

(a) CalculerI₀ etI₁.

(b) En utilisant une int´egration par parties, montrer que pour tout entier naturel non nul, on a I_n−In−1 =−1

n!.

(c) En d´eduire que pour tout entier naturelnon aIn=e−

n

X

p=0

1 p!. 2. (a) Montrer que pour tout entier naturel non nul, 0≤I_n≤ 1

n!. (b) En d´eduire la limite de la suite (In) et un encadrement de e.

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Exercice 4 Pour toutnde N^?, on pose u_n=

2n

X

k=n+1

1 k = 1

n+ 1+ 1

n+ 2+. . .+ 1 2n. De mˆeme on posevn=

n

X

k=1

(−1)^k−1

k = 1− 1 2+1

3 −. . .+(−1)ⁿ⁻¹

n .

1. Pour toutx∈R^?+, montrer que 1

x+ 1≤ln(x+ 1)−ln(x)≤ 1 x. 2. Encadrer la sommeu_n et en d´eduire lim

n→+∞u_n= ln 2.

3. Montrer queun=v2n pour toutnde N^?, et en d´eduire lim

n→+∞vn= ln 2.

4. On veut retrouver la limite de la suite (vn), mais directement.

Montrer quevn= ln 2−(−1)ⁿJn avec Jn= Z 1

0

tⁿ

1 +tdt et conclure.

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