ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 12 novembre 2004
Exercices : polynˆ omes ` a une ind´ etermin´ ee
Op´erations
Exercice 1: D´eterminez les degr´es et coefficients dominants des polynˆomes suivants : 1. P1=X3−X×(X−2 +i)2
2. P3=
n
Y
k=0
(2X−k)
3. P2= (X−2)n−(X+ 5)n 4. P4=
n
Y
k=0
(X−6)k
Exercice 2: D´eterminez l’ensemble des polynˆomesP tels queP(X2) = (X2+ 1)×P(X).
Indication : proc´edez par Analyse-synth`ese. Vous chercherez une condition n´ecessaire portant sur le degr´e d’un tel polynˆome.
Exercice 3: Simplifiez le polynˆomeP=
n
X
k=0
n k
3k(1−X)3n−2kXk
Divisions euclidiennes Exercice 4: Effectuez les divisions euclidiennes deAparB lorsque :
1.A= 1 + 6X2+ 4X3−5X4 etB=X2−5X+ 3, 2. A=X3+iX2+X etB =X−i+ 1 Exercice 5: D´eterminez les restes dans la division euclidienne de AparB lorsque :
1. A=X2n+ 2Xn+ 1 etB =X2+ 1 2. A=X2n+ 2Xn+ 1 etB = (X−i)2
3. A=Xn+ 2X−2 etB= (X−2)2 4. A=Xn+ 2X−2 etB= (X−3)3 Exercice 6 : Soitn∈Nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. D´eterminez le reste et le quotient deA par B, lorsque
A=Xn+Xn−1+X+ 1 etB = (X−1)2; A= (X−1)n+ (X+ 2)n+ 2 etB= (X−1)n. Divisibilit´e et racines multiples
Exercice 7: D´eterminez l’ordre de multiplicit´e de la racineαdu polynˆomeP lorsque : 1. α= 2 etP =X6−7X5+ 17X4−16X3+ 8X2−16X+ 16
2. α= 1 etP =Xn+1−(n+ 1)X+n
Exercice 8: Pour un entiernsup´erieur ou ´egal `a 2, on consid`ere les polynˆomesP =X2n−nXn+1+nXn−1−1 et Q=X2n+1−(2n+ 1)Xn+1+ (2n+ 1)Xn−1. Prouvez que 1 est racine triple de chacune de ces polynˆomes.
Exercice 9: 1. Factorisez dansC[X] le polynˆomeQ= (X2+X+ 1).
2. Soientm, n, ptrois entiers naturels. D´emontrez queQdiviseX3m+2+X3n+1+X3p. 3. Pour quelles valeurs de l’entier naturelnle polynˆomeX3n+X2+ 1 est-il divisible parQ?
Factorisations
Exercice 10 : D´eterminez les racines du polynˆomeX8−1. En d´eduire la factorisation de ce polynˆome dans C[X] puis dansR[X] en produit de facteurs irr´eductibles.
Exercice 11 : D´ecomposez en produits de polynˆomes irr´eductibles dansR[X] les polynˆomes suivants : 1. P1=X6+ 1,
2. P2=X9+X6+X3+ 1,
3. P3= (1−X2)3+ 8X3 4. P4=X8−2X4cos 2α+ 1 Exercice? 12 : SoitP =X7−5X6+ 8X5−4X4−4X4+ 8X2−5X+ 1∈C[X]
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1. V´erifiez que 1 et−1 sont racines de P. Pr´ecisez les multiplicit´es respectivesαetβ de 1 et−1.
2. En d´eduire une premi`ere factorisation :
P = (X−1)α×(X+ 1)β×P1
o`uP1 est un polynˆome v´erifiantP1(1)6= 0 etP1(−1)6= 0 que vous d´eterminerez.
3. V´erifiez que ∀z ∈ C? P˜1(z) = 0 si et seulement si Z = z+1
z est racine d’une ´equation de degr´e 2 `a pr´eciser.
4. En d´eduire la factorisation de P en produits d’irr´eductibles.
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Exercices suppl´ ementaires
Propri´et´es ´el´ementaires
Exercice 13 : Soient P,Q,R trois polynˆomes `a coefficients r´eels li´es par la relation : P2−XQ2=XR2
D´emontrez que ces trois polynˆomes sont nuls.
Exercice 14 : Soient P,Q,R trois polynˆomes `a coefficients r´eels li´es par la relation : (X3+ 1)P2−XQ2=X3R2−2X2RQ
D´eterminez ces trois polynˆomes.
Divisions et racines
Exercice 15 : Effectuez la division euclidienne deA=X5−7X4−X2−X+ 9 parB=X2−5X+ 4.
Exercice 16 : Soitn∈N?
D´eterminez le reste de la division euclidienne deA= (X−2)2n+ (X−1)n−2 parB lorsque – B= (X−1)(X−2)
– B= (X−1)2
– B= (X−1)2(X−2)
Exercice 17 : Soit n ∈ N? un entier naturel non nul. Effectuez- sans la poser !- la division euclidienne de A= (X−1)n+2+ (X+ 2)n+1−1 parB = (X−1)n .
Exercice 18 : Soit n ∈ N? un entier naturel non nul. Effectuez- sans la poser !- la division euclidienne de A= (X+ 1)n+1+ (X−1)n−1 parB = (X+ 1)3 .
Exercice 19 : Soitn≥2. On consid`ere les polynˆomesA=Xn+ 2X−2 etB= (X−1)2. 1. D´eterminez le resteRdans la division euclidienne deAparB.
2. En utilisant laformule de Taylor, d´eterminez le quotient de la division euclidienne deA parB.
Exercice 20 : Soitn∈N?
D´eterminez le reste de la division euclidienne deA=Xn parB lorsque – B=X+ 3
– B=X2−6X−16 – B= (X−2)2
Exercice 21 : D´eterminez un polynˆomeP∈R3[X] sachant – le reste de la division euclidienne deP parX−1 est 3 – le reste de la division euclidienne deP parX+ 1 est 3 – le reste de la division euclidienne deP parX−2 est 3.
Exercice 22 : On consid`ere les polynˆomes A=nXn+1−(n+ 1)Xn+X etB= (X−1)2. D´eterminez le quotient et le reste dans la division euclidienne deAparB.
Exercice 23 : Pour quelles valeurs denle polynˆomeP = (X+ 1)n−Xn−1 est-il divisible parX2+X+ 1 ? Exercice 24 : SoitP ∈C[X]. On d´efinit le polynˆome
Q= 1
3 P(X) +P(jX) +P(j2X)
D´emontrez queQ∈C[X3], c’est-`a-dire qu’il existe un polynˆomeR∈C[X] tel queQ(X) =R(X3).
Factorisations Exercice 25 : Factoriser P=X3−2X2+ 2X−1 dansC[X].
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Exercice 26 : SoitP =X8+X4+ 1
1. Donner la d´ecomposition deP en produits d’irr´eductibles dansC[X].
2. Donner la d´ecomposition deP en produits d’irr´eductibles dansR[X].
Exercice 27 : Factoriser dansC[X] puis dans R[X] les polynˆomes Q=Xn−a, R=Xn+a, o`u a∈R+ est un nombre r´eel positif.
Exercice 28: Factoriser dansC[X] puis dansR[X] les polynˆomesP1= 1 +X2,P2= 1 +X+X2,P3= 1 +X3. Exercice 29 : Factoriser dans C[X] le polynˆome
P= 6X4+X3+ (6i+ 10)X2+ (2 +i)X−(4 + 2i) sachant qu’il poss`ede des racines r´eelles.
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