MPSIA 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 12 (du lundi 7 au vendredi 11 janvier) lyc´ee Chaptal
Premier programme de l’ann´ee civile, l’occasion pour moi de souhaiter `a tous de bonnes fˆetes avant et vous pr´esenter mes meilleurs vœux pour l’ann´ee 2013 !
Remarque : aucun exercice n’a ´et´e encore trait´e sur les polynˆomes. Les exercices porteront donc plutˆot sur les espaces vectoriels (´eventuellement de polynˆomes...)
Espaces vectoriels
Reprise du programme pr´ec´edent
IV. Projections et sym´ etries
Projecteurs et sym´etries. D´efinition de la projection sur un s.e.v parall`element `a un s.e.v suppl´ementaire : c’est un projecteur. Idem avec les sym´etries. Propri´et´es.
VI. Sous-espaces affines
Translations, d´efinition d’un sous-espace affine (s.e.a) d’un espace vectoriel, direction.
Parall´elisme, intersection de deux s.e.a. Application : barycentres et convexit´e.
Exemples des ´equations lin´eaires. Structure de l’espace des solutions.
Polynˆ omes ` a une ind´ etermin´ ee (cours seul)
I. L’alg` ebre K [X]
Structure de K(N) (suites `a support fini) : de K-espace vectoriel ; produit et structure d’anneau. Composition, ind´etermin´eeX, notation
∞
X
k=0
akXk, calculs.
Degr´e d’un polynˆome : d´efinition et propri´et´es.K[X] est int`egre.
Divisibilit´e dansK[X] ; polynˆomes associ´es ; ensembles des diviseurs, des multiples d’un polynˆome. Division euclidienne dansK[X], algorithme. Exemples.
II. Fonctions polynomiales
Fonction polynomiale associ´ee `a un polynˆome.
Evaluation de la valeur d’une fonction polynomiale en un point : comparaison d’algo- rithmeshhna¨ıfsiiet de celui de Horner.
D´erivation des polynˆomes, des fonctions polynomiales, d´eriv´ees successives. Formules de Leibniz et de Taylor.
III. Racines d’un polynˆ ome
1. d´efinition, caract´erisation `a l’aide de la divisibilit´e, cas de p racines distinctes, exemples.
Ordre de multiplicit´e d’une racine. Caract´erisation de l’ordre de multiplicit´e d’une racine `a l’aide des d´eriv´ees successives.
Nombre maximal de racines (en comptant leur multiplicit´e) d’un polynˆome non nul.
Applications au morphismeP 7→P, `˜ a l’unicit´e des polynˆomes de Tchebychev.
2. relations coefficients/racines : polynˆomes scind´es, fonctions sym´etriques. Exemples.
3. factorisation dansC[X] : th´eor`eme fondamental de d’Alembert-Gauss, irr´eductibles deC[X], d´ecomposition primaire. Exemple deXn−1.
4. factorisation dans R[X] : conjugaison des polynˆomes et racines, conjugu´e d’une racine non r´eelle ; irr´eductibles deR[X], d´ecomposition primaire.
5. polynˆomes interpolateurs de Lagrange.
Questions de cours
Q.1 D´efinition de la multiplication sur l’ensemble des suites `a support finiK(N). D´emon- trer que
K(N),+,×
est un anneau.
Q.2 Division euclidienne dansK[X] : ´enonc´e et d´emonstration.
Q.3 Ecriture Maple d’algorithmes d’´´ evaluation d’un polynˆome en un point : na¨ıfs et `a l’aide de la m´ethode de Horner. Estimation du nombre d’op´erations.
Q.4 D´emontrer la formule de Taylor pour les polynˆomes.
Q.5 D´emontrer la formule de Leibniz pour les polynˆomes.
Q.6 Caract´erisation de l’ordre de multiplicit´e d’une racine `a l’aide des d´eriv´ees succes- sives : ´enonc´e et d´emonstration.
Q.7 Interpolation de Lagrange.
Q.8 D´eterminer les polynˆomes irr´eductibles deC[X] etR[X].
Q.9 Factoriser, dansC[X] etR[X] le polynˆomeX5+ 32.
A venir : arithm´` etique dansK[X], fonctions num´eriques.
