premi` ere ann´ ee

Master de math´ematiques

premi` ere ann´ ee

ALG` EBRE 1

Premi` ere partie : groupes

Notes de cours de Fran¸cois DUMAS - ann´ ee 2020-2021

Table des mati` eres

1 Groupes ab´eliens finis 1

1.1 Rappels sur les groupes cycliques . . . 1

1.1.1 Ordre d’un sous-groupe, ordre d’un ´el´ement . . . 1

1.1.2 Groupes isomorphes . . . 1

1.1.3 Groupe cyclique . . . 2

1.1.4 Produit direct de groupes . . . 3

1.1.5 Produit direct de groupes cycliques . . . 4

1.2 Structure des groupes ab´eliens finis . . . 5

1.2.1 Exposant d’un groupe ab´elien . . . 5

1.2.2 Dual d’un groupe ab´elien fini . . . 6

1.2.3 Th´eor`eme de Kronecker . . . 7

1.2.4 Facteurs invariants et diviseurs ´el´ementaires . . . 8

1.2.5 Espace hermitien des fonctions complexes sur un groupe ab´elien fini . . . 9

2 Rappels et compl´ements sur les groupes non ab´eliens 11 2.1 Exemples de r´ef´erences . . . 11

2.1.1 Groupes sym´etriques . . . 11

2.1.2 Groupes di´edraux . . . 13

2.1.3 Exemple de groupe quaternionique . . . 13

2.2 Groupes quotients . . . 14

2.2.1 Classes modulo un sous-groupe, indice d’un sous-groupe . . . 14

2.2.2 Sous-groupe normal . . . 14

2.2.3 Quotient d’un groupe par un sous-groupe normal . . . 16

2.2.4 Centre, automorphismes int´erieurs, groupe d´eriv´e . . . 18

2.2.5 Propri´et´e universelle du groupe quotient . . . 18

2.2.6 Sous-groupes d’un groupe quotient . . . 20

2.3 Produit direct ou semi-direct . . . 21

2.3.1 Observations pr´eliminaires . . . 21

2.3.2 Produit direct ou semi-direct (interne) de deux sous-groupes . . . 22

2.3.3 Produit direct ou semi-direct (externe) de deux groupes . . . 23

3 Groupe op´erant sur un ensemble 25 3.1 Groupe op´erant sur un ensemble, exemples . . . 25

3.1.1 Rappel de quelques notions g´en´erales . . . 25

3.1.2 Exemples g´en´eraux d’actions . . . 26

3.2 Equation aux classes, applications auxp-groupes . . . 27

3.2.1 Indice des stabilisateurs . . . 27

3.2.2 Formule de Burnside . . . 29

3.2.3 Equation aux classes pour un groupe fini . . . 29

3.2.4 Applications auxp-groupes . . . 29

3.3 Actions transitives, applications `a la non simplicit´e . . . 30

3.3.1 Exemple fondamental d’action transitive . . . 30

3.3.2 Th´eor`eme de Frobenius . . . 31

4 Th´eor`emes de Sylow et applications 33 4.1 Les th´eor`emes de Sylow . . . 33

4.1.1 Premier th´eor`eme de Sylow . . . 33

4.1.2 Sous-groupes de Sylow . . . 34

4.1.3 Second th´eor`eme de Sylow . . . 35

4.2 Exemples d’applications . . . 36

4.2.1 Sous-groupes de Sylow d’un groupe ab´elien . . . 36

4.2.2 Quelques r´esultats de non-simplicit´e . . . 37

4.2.3 Quelques r´esultats de classification . . . 40

5 Groupe sym´etrique, groupe altern´e 43 5.1 D´ecomposition en cycles disjoints . . . 43

5.1.1 Support et orbites . . . 43

5.1.2 Cycles . . . 44

5.2 Simplicit´e deA_n pourn≥5 . . . 46

5.2.1 G´en´erateurs du groupe altern´e. . . 46

5.2.2 Simplicit´e du groupe altern´e . . . 46

5.3 Une approche directe des questions de r´esolubilit´e . . . 48

5.3.1 Sous-groupes normaux deS_n . . . 48

5.3.2 Suites normales deSn . . . 49

6 Groupes r´esolubles 51 6.1 Suites normales et groupes r´esolubles . . . 51

6.1.1 Groupes d´eriv´es successifs . . . 51

6.1.2 Notion de groupe r´esoluble. . . 52

6.1.3 Caract´erisation de la r´esolubilit´e par les suites de compositions et les suites normales. 52 6.1.4 Exemples de groupes r´esolubles . . . 53

6.1.5 Quelques compl´ements sur la notion de groupe r´esoluble . . . 55

6.2 Suites de Jordan-H¨older et groupes r´esolubles . . . 55

6.2.1 Notion de suite de Jordan-H¨older . . . 55

6.2.2 Exemples de suites de Jordan-H¨older. . . 56

6.2.3 Caract´erisation de la r´esolubilit´e d’un groupe fini par les suites de Jordan-H¨older. 57 6.2.4 A propos du th´eor`eme de Jordan-H¨older. . . 58

version provisoire du 6 juillet 2020

Ces notes correspondent au programme d’une unit´e d’enseignement de premi`ere ann´ee de master. Elles ne constituent pas un cours d’alg`ebre autonome et complet sur les notions pr´esent´ees, mais s’ins`erent entre le contenu d’enseignements pr´ealables de licence et d’enseignements ult´erieurs pour le master ou l’agr´egation. Elles incluent donc autour des r´esultats principaux `a fois quelques rappels synth´etiques sur des pr´erequis essentiels et quelques compl´ements ouvrant sur des prolongements possibles.

Le mode de r´edaction n’est pas celui d’un trait´e, mais de simples notes destin´ees `a servir de support au travail personnel des ´etudiants, `a compl´eter ´evidemment par des exercices et des probl`emes.

Les ouvrages d’enseignement en fran¸cais sur ces sujets classiques sont nombreux, et ces notes les utilisent.

Citons entre autres :

Serge Lang,Alg`ebre, ´editions Dunod,

Patrice Tauvel,Alg`ebre (agr´egation, master), ´editions Dunod, Daniel Perrin,Cours d’alg`ebre, ´editions Ellipses,

Collectif (sous la direction de Aviva Szpirglas),Math´ematiques Alg`ebre, ´editions Pearson, Jean Delcourt,Th´eorie des groupes, ´editions Dunod,

Josette Calais,El´ements de th´eorie des groupes, ´editions PUF, Josette Calais,El´ements de th´eorie des anneaux, ´editions PUF, Jean Querr´e,Cours d’alg`ebre, ´editions Masson,

Daniel Guin,Alg`ebre, tome 1 : groupes et anneaux, ´editions Belin.

Ces notes contiennent immanquablement des coquilles ou des erreurs. Merci de m’en faire part.

Francois.Dumas@uca.fr

Chapitre 1

Groupes ab´ eliens finis

1.1 Rappels sur les groupes cycliques

1.1.1 Ordre d’un sous-groupe, ordre d’un ´ el´ ement

D´ efinitions. Un groupe G est dit

fini

lorsqu’il n’a qu’un nombre fini d’´ el´ ements. Dans ce cas, le nombre d’´ el´ ements de G est appel´ e l’ordre de G. On le note o(G), ou encore

|G|. C’est un

entier naturel non-nul.

Th´ eor` eme de Lagrange. Soit H un sous-groupe d’un groupe fini G. Alors H est fini, et l’ordre de H divise l’ordre de G.

Preuve.Notons|G|=n. Il est clair queH est fini. Notons|H|=m. Pour toutx∈G, notons xH ={xy;y∈H}la classe dex`a gauche moduloH. Il est facile de v´erifier que l’ensemble des classes xH lorsque x d´ecrit G est une partition de G. Comme chaque classe xH est d’ordrem, on conclut quenest ´egal au produit dempar le nombre de classes distinctes.

Proposition et d´ efinition. Soit G un groupe fini. Pour tout x

∈

G distinct du neutre e, il existe un entier n

≥

2 unique tel que :

x

ⁿ

= e et x

^k 6=

e pour tout 1

≤

k < n.

Le sous-groupe de G engendr´ e par x est alors :

hxi

=

{e, x, x²

, x

³

, . . . , x

ⁿ⁻¹}.

L’entier n est l’ordre du sous-groupe

hxi

et est appel´ e l’ordre de l’´ el´ ement x de G. On le note

|x|. C’est un diviseur de l’ordre de

G. Dans le cas o` u x = e, on a

hei

=

{e}, et|e|

= 1.

Preuve.Evidente, laiss´ee au lecteur (voir le cours de L3).

1.1.2 Groupes isomorphes

D´ efinition. Deux groupes G

₁

et G

₂

sont dits

isomorphes

lorsqu’il existe un isomorphisme de groupes de l’un sur l’autre.

• Remarques. Lorsque deux groupes sont isomorphes : si l’un est ab´elien, alors l’autre l’est aussi ; si l’un est fini, l’autre l’est aussi et ils sont de mˆeme ordre ; ils ont le mˆeme nombre de sous-groupes d’ordre donn´e ; leurs centres, leurs groupes d´eriv´es, leurs groupes d’auto- morphismes,... sont isomorphes. Deux groupes finis de mˆeme ordre sont isomorphes si et seulement si leur tables sont identiques `a une permutation pr`es des ´el´ements.

• Exemple. Soit G1 le groupe des racines quatri`emes de l’unit´e dans C. On a : G1 = {1, i,−1,−i}. La loi de groupe est ici la multiplication des complexes.

SoitG2 le groupe des rotations affines du plan euclidien conservant un carr´e. Il est constitu´e de la rotationrde centre le centre O du carr´e et d’angle ^π₂, de la sym´etrie centralesde centre O, de la rotationr⁰ de centre O et d’angle−^π₂, et de l’identit´e id. On a : G2 ={id, r, s, r⁰}.

La loi de groupe est ici la loi◦de composition des applications.

SoitG₃le groupeZ/4Zdes classes de congruences modulo 4. On a :G₃={0,1,2,3}. La loi de groupe est ici l’addition des classes de congruence.

G1 1 i −1 −i

1 1 i −1 −i

i i −1 −i 1

−1 −1 −i 1 i

−i −i 1 i −1

G2 id r s r⁰ id id r s r⁰ r r s r⁰ id s s r⁰ id r r⁰ r⁰ id r s

G3 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Il est clair qu’ils sont isomorphes, via les isomorphismes :

17→id7→0, i7→r7→1, −17→s7→2, −i7→r⁰7→3.

• Exemple.Il est bien connu (voir cours de L3) qu’il n’existe `a isomorphisme pr`es que deux groupes d’ordre 4. L’un est le groupe cyclique d’ordre 4, not´eC4 (voir ci-dessous), l’autre est appel´e groupe de Klein, not´eV. Les deux sont ab´eliens.

C4 e a b c e e a b c

a a b c e

b b c e a

c c e a b

V e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e

D’une part C4={e, a, b, c} avecb=a² et c=a³=a⁻¹; il contient, outre le neutre d’ordre 1, deux ´el´ements d’ordre 4 et un ´el´ement d’ordre 2. D’autre partV ={e, a, b, c}avecb=ac et c=ab; il contient, outre le neutre d’ordre 1, trois ´el´ements d’ordre 2.

1.1.3 Groupe cyclique

D´ efinition. Un groupe fini est dit

cyclique

lorsqu’il est engendr´ e par un ´ el´ ement.

Remarques.

1. Dire qu’un groupe fini G d’ordre n est cyclique signifie qu’il existe dans G un ´ el´ ement a qui est d’ordre n, de sorte que G =

hai

=

{e, a, a²

, . . . , a

ⁿ⁻¹}.

2. Un groupe cyclique est n´ ecessairement ab´ elien.

3. Pour tout entier n

≥

1, il existe ` a isomorphisme pr` es un unique groupe cyclique d’ordre n, not´ e C

n

. Ce groupe C

n

est isomorphe par exemple au groupe multiplicatif

Un

des racines n-i` emes de l’unit´ e dans

C

, ou encore au groupe additif

Z

/n

Z

des classes de congruences modulo n, ou encore ` a beaucoup d’autres groupes que l’on rencontre dans divers domaines des math´ ematiques.

Pour certaines valeurs de n, il existe des groupes ab´ eliens non cycliques. On a vu par exemple

ci-dessus que pour n = 4, le groupe de Klein V n’est pas cyclique puisqu’il ne contient pas

d’´ el´ ements d’ordre 4. Le th´ eor` eme suivant montre au contraire que, pour certaines valeurs de n,

le groupe C

n

est ` a isomorphisme pr` es le seul groupe d’ordre n.

Th´ eor` eme. Tout groupe fini d’ordre premier est cyclique.

En d’autres termes, pour tout nombre premier p, il existe ` a isomorphisme pr` es un et un seul groupe d’ordre p, qui est le groupe cyclique (donc ab´ elien) C

p

.

Preuve.Soientpun nombre premier etGun groupe d’ordrep. Soitaun ´el´ement deGdistinct du neutree. Consid´erons dansGle sous-groupehaiengendr´e para. D’apr`es le th´eor`eme de Lagrange, son ordre |a|divise p. Comme pest premier, on ne peut avoir que deux cas : ou bien|a|= 1, mais alorsa=e, ce qui est exclu ; ou bien|a|=p, mais alorshaiest inclus dans Get de mˆeme ordre queG, donc il est ´egal `a G. On conclut queG=haiest cyclique.

Questions. SoitCn ={e, a, a², . . . , aⁿ⁻¹} le groupe cyclique d’ordre n. Peut-on d´eterminer parmi ses ´el´ements ceux qui engendrentC_n(outreabien entendu) ? Peut-on d´eterminer tous ses sous-groupes ? Prenons par exemple n= 6. DansC₆={e, a, a², a³, a⁴, a⁵}, les diff´erents

´

el´ements engendrent les sous-groupes suivants :hei={e}d’ordre 1,ha³i={e, a³}d’ordre 2, ha²i=ha⁴i={e, a², a⁴} d’ordre 3, ethai=ha⁵i={e, a, a², a³, a⁴, a⁵}d’ordre 6. La derni`ere

´

egalit´e provient du fait que (a⁵)²=a⁴, (a⁵)³=a³, (a⁵)⁴=a², et (a⁵)⁶=e.

Le r´ esultat g´ en´ eral est le suivant :

Proposition. Soit n un entier naturel non-nul. Soit C

_n

=

hai

=

{e, a, a²

, . . . , a

ⁿ⁻¹}

le groupe cyclique d’ordre n.

(i) Pour tout diviseur d de n, il existe un et un seul sous-groupe d’ordre d de C

_n

; il est cyclique, engendr´ e par a

^k

pour k =

ⁿ_d

.

(ii) Les g´ en´ erateurs de C

n

sont tous les ´ el´ ements a

^k

tels que k et n sont premiers entre eux.

Preuve. Repose sur des consid´erations simples d’arithm´etique ´el´ementaire, en particulier le th´eor`eme de B´ezout pour le point (ii). Laiss´ee au lecteur (voir le cours de L3).

1.1.4 Produit direct de groupes

Proposition et d´ efinition. Soit r un entier naturel non-nul. Soient G

1

, G

2

, . . . , G

r

des groupes, d’´ el´ ements neutres respectifs e

₁

, e

₂

, . . . , e

_r

. Le produit cart´ esien :

r

Q

i=1

G

i

= G

1×

G

2× · · · ×

G

r

=

{(x₁

, x

2

, . . . , x

r

), x

1∈

G

1

, x

2 ∈

G

2

, . . . , x

r∈

G

r}

est un groupe pour la loi d´ efinie par :

(x

1

, x

2

, . . . , x

r

).(y

1

, y

2

, . . . , y

r

) = (x

1

y

1

, x

2

y

2

, . . . , x

r

y

r

) pour tous x

i

, y

i∈

G

i

, 1

≤

i

≤

r.

Ce groupe est appel´ e le produit direct des groupes G

_i

. Son ´ el´ ement neutre est (e

₁

, e

₂

, . . . , e

_r

).

Preuve.Simple v´erification, vue en L3 et laiss´ee au lecteur.

Remarques. Il est clair que : 1. le produit direct

Qr

i=1

G

_i

est fini si et seulement si G

_i

est fini pour tout 1

≤

i

≤

r, et l’on a alors

|Qr

i=1

G

i|

=

Qr

i=1|G_i|

; 2. le produit direct

Q_r

i=1

G

_i

est ab´ elien si et seulement si G

_i

est ab´ elien pour tout 1

≤

i

≤

r ; 3. le produit direct

Qr

i=1

G

_i

est isomorphe au produit direct

Qr

i=1

G

_σ(i)

pour tout permutation

σ des indices

{1,

2, . . . , r}.

Rappelons (en l’´ enon¸cant seulement dans le cas ab´ elien) le r´ esultat suivant, qui sera utile un peu plus loin.

Lemme. Soient G

1

et G

2

deux groupes ab´ eliens et G = G

1 ×

G

2

leur produit direct. Soient H = G

1× {e₂}

et K =

{e₁} ×

G

2

. Alors :

(i) H et K sont deux sous-groupes de G, avec H

'

G

1

, K

'

G

2

, et H

∩

K =

{(e₁

, e

2

)} ; (ii) tout ´ el´ ement g

∈

G s’´ ecrit de fa¸ con unique g = hk avec h

∈

H et k

∈

K ;

(iii) G/H

'

K

'

G

₂

.

Preuve.Simple v´erification, vue en L3 et laiss´ee au lecteur.

1.1.5 Produit direct de groupes cycliques

La question ´ etudi´ ee ici est celle de savoir ` a quelles conditions un produit de groupes cycliques est cyclique.

Th´ eor` eme (dit th´ eor` eme des restes chinois). Soient G

1

, G

2

, . . . , G

r

des groupes cycliques d’ordres respectifs n

1

, n

2

, . . . , n

r

. Alors, le produit direct

Qr

i=1

G

i

est cyclique si et seulement si les entiers n

_i

sont deux ` a deux premiers entre eux.

Preuve.Pour tout 1≤i≤r, notonsGi=haii 'Cn_iavecaid’ordreni. PosonsG:=Qr i=1Gi

et e= (e1, e2, . . . , en) son ´el´ement neutre. Supposons que les ni sont deux `a deux premiers entre eux. Consid´erons dans G l’´el´ement x = (a1, a2, . . . , ar). Quel que soit k ∈ Z, on a x<sup>k</sup> = e si et seulement si a<sup>k</sup><sub>i</sub> = ei pour tout 1 ≤ i ≤ r, ce qui ´equivaut `a dire que k est multiple de chaqueni, et donc de leur ppcm. Or ce ppcm est ici le produitN:=n1n2. . . nr. Doncx^N =eetx^k 6=epour tout 1≤k < N. On conclut que l’´el´ementxest d’ordreN dans G. Or on sait queGest form´e deN ´el´ements ; on conclut queG=hxi 'CN. La r´eciproque est laiss´ee au lecteur (voir cours de L3).

Remarque. Avec les notations multiplicatives utilis´ ees ici, le th´ eor` eme s’´ enonce sous la forme : C

_n1×

C

_n2 × · · · ×

C

_nr '

C

_n1n2...nr ⇐⇒

les n

_i

sont deux ` a deux premiers entre eux.

Avec les notations additives usuelles en arithm´ etique, le th´ eor` eme s’´ enonce sous la forme :

r

Q

i=1

(

Z

/n

_iZ

)

' Z

/(n

₁

n

₂

. . . n

_r

)

Z ⇐⇒

les n

_i

sont deux ` a deux premiers entre eux.

Lemme (th´ eor` eme de Cauchy dans le cas ab´ elien). Soit G est un groupe fini ab´ elien. Alors, pour tout diviseur premier p de l’ordre de G, il existe un ´ el´ ement de G d’ordre p.

Preuve. Consid´erons x1, . . . , xr une famille finie de g´en´erateurs de G. NotonsGi le groupe cyclique engendr´e par xi pour tout 1 ≤ i ≤ r. Parce que G est ab´elien, l’application ϕ : Π^r_i=1Gi→Gqui `a toutr-uplet (y1, y2,· · · , yr) associe le produity1y2· · ·yrest un morphisme de groupes surjectif. Donc en utilisant le premier th´eor`eme d’isomorphisme sur les groupes (voir cours de L3), l’ordre deGdivise l’ordre du groupe produit Π^r_i=1G_i. Donc tout diviseur premier p de |G| divise |G_i| pour un indice 1 ≤ i ≤ r au moins, ce qui implique qu’une puissance dex_i est d’ordrepdansG.

On verra plus tard au corollaire 4.1.1 que ce r´ esultat reste vrai pour tout groupe fini mˆ eme non

ab´ elien.

1.2 Structure des groupes ab´ eliens finis

1.2.1 Exposant d’un groupe ab´ elien

• Remarque pr´eliminaire.On sait d’apr`es le th´eor`eme de Lagrange que, dans un groupe fini G, l’ordre de tout ´el´ementg (c’est-`a-dire l’ordre du groupe cyclique engendr´e par g) est un diviseur de l’ordre de G. On sait aussi que r´eciproquement, si d est un diviseur donn´e de l’ordre de G, il n’existe pas forc´ement dans G d’´el´ement d’ordre d(par exemple, voir plus loin en 2.1.1, le groupe altern´e A4 d’ordre 12 contient le neutre e qui est d’ordre 1, trois

´

el´ements d’ordre 2 qui sont les produits de deux transpositions disjointes, et huit 3-cycles : il ne contient donc pas d’´el´ement d’ordre 4 ni d’ordre 6). D’o`u le sens de la d´efinition suivante.

D´ efinition. Soit G un groupe fini. On appelle

exposant

de G le plus petit entier strictement positif n tel que g

ⁿ

= e pour tout g

∈

G.

Propri´ et´ es imm´ ediates. Il est clair que :

X

l’exposant de G est le ppcm des ordres des ´ el´ ements de G,

X

l’ordre de tout ´ el´ ement de G divise l’exposant de G,

X

l’exposant de G est un diviseur de l’ordre de G.

Le groupe altern´ e A

4

d’ordre 12 est d’exposant 6 et ne contient pas d’´ el´ ement d’ordre 6 ; c’est un fait qui ne peut pas se produire pour un groupe fini ab´ elien d’apr` es la proposition suivante.

Proposition. Si G est un groupe fini ab´ elien, alors l’exposant de G est le maximum des ordres des ´ el´ ements de G ; en particulier, il existe alors au moins un ´ el´ ement de G dont l’ordre est ´ egal

`

a l’exposant de G.

Preuve.SupposonsGab´elien fini. Soientg ethdeux ´el´ements de Gd’ordres respectifs`et m premiers entre eux. D’une part (gh)<sup>`m</sup> = (g^{`</sup>)<sup>m</sup>(h<sup>m</sup>)<sup>`} =e, donc l’ordre degh divise`m.

D’autre part, si k est un entier tel que (gh)^k =e, alors l’´el´ement g^k =h^−k appartient `a la fois au groupe cyclique hgi d’ordre` et au groupe cyclique hhi d’ordrem, et donc vaut e puisque`etmsont premier entre eux ; il en r´esulte quekest un multiple de`et un multiple dem, donc un multiple de leur ppcm`m. On conclut que l’ordre deghest ´egal `a `m.

Ceci ´etant, appelons n le maximum des ordres des ´el´ements de G, et g un ´el´ement de G dont l’ordre vautn. Notons par ailleursN le ppcm des ordres des ´el´ements deG, c’est-`a-dire l’exposant deG. Puisqueg est d’ordren, il est clair quendiviseN.

Par l’absurde, supposons qu’il existe un ´el´ementh∈Gdont l’ordreqne soit pas un diviseur de n. Il existerait alors un nombre premierpet des entiers n⁰, q⁰, α, β tels que n=p^αn⁰ et q=p^βq⁰ avecpqui ne divise nin⁰ ni q⁰, etβ > α. Les ´elements g^pα eth^q0 seraient d’ordres respectifsn⁰etp^β, qui sont premiers entre eux. En appliquant la premi`ere ´etape de la preuve, l’´el´ement g^pαh^q0 serait dordrep^βn⁰ > n, ce qui serait contradictoire avec la d´efinition de n.

Ainsi l’ordre de tout ´el´ement deGdivisen, doncnest un multiple du ppcmN. On conclut quen=N, ce qui ach`eve la preuve.

Remarque. Si G est un groupe fini ab´ elien, alors l’exposant de G a exactement les mˆ emes diviseurs premiers que l’ordre de G.

En effet, cela r´esulte directement du lemme final de 1.1.5 et des propri´et´es imm´ediates de l’exposant.

En d’autres termes, si

|G|

= p

^α₁¹· · ·

p

^α_s^s

est la d´ ecompositon de

|G|

en produit de facteurs

premiers, avec α

_i ≥

1 pour tout 1

≤

i

≤

s, alors l’exposant de G est de la forme = p

^β₁¹· · ·

ps

^βs

avec 1

≤

β

i≤

α

i

pour tout 1

≤

i

≤

s.

1.2.2 Dual d’un groupe ab´ elien fini

D´ efinition et proposition. Pour tout groupe fini G (ab´ elien ou non), on appelle caract` ere de G tout morphisme de groupes de G dans le groupe multiplicatif

C^∗

. Les caract` eres de G forment un groupe ab´ elien fini appel´ e le dual de G et not´ e G.

b

Preuve. Notons n l’ordre de G. Soitχ un caract`ere deG. Pour toutg ∈G, on a χ(g)<sup>n</sup> = χ(g<sup>n</sup>) = χ(e) = 1, ce qui prouve que l’image de χ est un sous-groupe du groupe Un des racines n-i`emes de l’unit´e dansC. L’ensemble Gb des caract`eres de Gest donc inclus dans l’ensembleU^Gn des applications deGdansUn.

Une cons´equence de cette observation est que, pour tout g ∈ G, on a |χ(g)| = 1 donc χ(g)⁻¹ = χ(g). En d´efinissant naturellement le produit de deux caract`eres χ et χ<sup>0</sup> par χχ<sup>0</sup>(g) =χ(g)χ<sup>0</sup>(g) pour toutg∈G, on obtient surGbune structure de groupe ab´elien, dont le neutre est le caract`ereχ0qui `a toutg∈Gassocie 1, et tel que l’inverseχ<sup>−1</sup>d’un caract`ere χ associe `a toutg∈Gle complexeχ⁻¹(g) =χ(g).

Enfin, en rappelant que l’ensemble F^E des applications d’un ensemble finiE dans un en- semble fini F est fini de cardinal (cardF)card^E, il est clair queGb est fini d’ordre≤nⁿ.

Lemme. Si G est un groupe cyclique, ou plus g´ en´ eralement un produit direct de groupes cy- cliques, alors le groupe dual G

b

est isomorphe ` a G.

Preuve.Supposons queG'C_nest cyclique d’ordren. NotonsG=hai={e, a, a², . . . , aⁿ⁻¹} o`ua est un g´en´erateur deG. Il est clair qu’un caract`ere χ deGest enti`erement d´etermin´e par la donn´ee de la valeurχ(a), puisqu’alorsχ(a^k) =χ(a)^k pour tout ´el´ement a^k∈Gavec 0≤k≤n−1. Le morphisme d’´evaluationGb→Un, χ7→χ(a) est donc bijectif, et d´etermine un isomorphisme entre Gbet Un.

Consid´erons maintenant deux groupes ab´eliens finisGetH, et leur produit directG×H. Il est facile de v´erifier directement que l’applicationφ:G\×H →Gb×Hb d´efinie par :

φ(χ)(g, h) = (χ(g, eH), χ(eG, h)) pour toutχ∈G\×H et tout (g, h)∈G×H est un morphisme de groupes, et qu’il est bijectif de bijection r´eciproqueφ⁻¹d´efinie par :

φ⁻¹(χ1, χ2)(g, h) = (χ1(g), χ2(h)) pour tous (χ1, χ2)∈Gb×Hb et tout (g, h)∈G×H. On a donc un isomorphisme G\×H ' Gb×H, ce qui ach`b eve la preuve en appliquant la premi`ere ´etape.

Ce lemme est en fait une ´ etape vers le r´ esultat plus g´ en´ eral que l’on montrera plus loin en 1.2.3 suivant lequel l’isomorphisme entre G et G

b

est vrai pour tout groupe ab´ elien fini. On a pour cela besoin d’un autre r´ esultat interm´ ediaire non trivial, qui est le lemme suivant.

Lemme (dit lemme de prolongement des caract` eres). Soient G un groupe ab´ elien fini, et H un sous-groupe de G. Alors tout caract` ere de H se prolonge en un caract` ere de G. En d’autres termes, l’application canonique de restriction G

b→

H

b

est surjective.

Preuve. On proc`ede par r´ecurrence sur l’indice r= [G:H] de H dans G. Rappelons que r est l’ordre du groupe quotientG/H. Sir= 1, alorsH=Get le r´esultat est clair. Supposons r≥2 et supposons le r´esultat du lemme vrai pour tous les sous-groupes d’indice strictement inf´erieur `a r. CommeH 6=G, on peut choisir un ´el´ement g ∈G tel que g /∈H. SoitK le sous-groupe deGengendr´e parH et parg. Le principe de la preuve consiste `a construire pour tout caract`ereχ deH un caract`ere χ⁰ deK prolongeantχ. Puisque [G:K]<[G:H] =r,

on peut alors appliquer `a Kl’hypoth`ese de r´ecurrence pour prolongerχ⁰ en un caract`ereχ⁰⁰ deG.

Comme G/H est d’ordre r, on ag^r ∈H; notons m le plus petit entier strictement positif tel queg^m∈H, c’est-`a-dire l’ordre deg dansG/H, qui divise doncr. Puisqueg<sup>m</sup>∈H, on peut consid´ererω=χ(g<sup>m</sup>)∈C<sup>∗</sup>. Tout ´el´ement dek∈Kpeut s’´ecrire sous la formek=hg<sup>`</sup> avech∈H et `entier tel que 0≤` < m. Cette ´ecriture est unique car si hg^{`</sup>=h<sup>0</sup>g<sup>`0}, alors g^`−`0 =h⁰h⁻¹ ∈ H, d’o`u `−`<sup>0</sup> = 0 par minimalit´e de m, et finalement ` = `<sup>0</sup> et h= h<sup>0</sup>. On pose alorsχ<sup>0</sup>(k) =χ<sup>0</sup>(hg<sup>`</sup>) =χ(h)ζ<sup>`</sup> o`uζd´esigne une racinem-i`eme deωarbitrairement choisie, ce qui d´efinit bien une applicationχ<sup>0</sup> :K→C<sup>∗</sup> dont la restriction `a H est χ.

Pour montrer que χ⁰ un morphisme de groupes, consid´erons deux ´el´ements quelconques k, k⁰ ∈K. Il existeh, h⁰∈H et `, `⁰∈ {0,1, . . . , m−1} tels quek=hg^{`</sup> et k<sup>0</sup>=h<sup>0</sup>g<sup>`0}. Parce queGest ab´elien, on akk⁰=hh⁰g^`+`0. Deux cas sont possibles. Si 0≤`+`⁰< m, on calcule directement :

χ⁰(kk⁰) =χ⁰(hh⁰g^`+`0) =χ(hh⁰)ζ^`+`0 =χ(h)χ(h⁰)ζ^{`</sup>ζ<sup>`0} =χ(h)ζ^{`</sup>χ(h<sup>0</sup>)ζ<sup>`0} =χ⁰(k)χ⁰(k⁰).

Si m≤`+`⁰<2m, alors 0≤`+`⁰−m < m, et on calcule en utilisant le fait queg^m∈H : χ⁰(kk⁰) =χ⁰(hh⁰g^`+`0) =χ⁰(hh⁰g^mg^`+`0−m) =χ(hh⁰g^m)ζ^`+`0−m=χ(h)χ(h⁰)χ(g^m)ζ^`+`0−m, puis comme χ(g^m) =ζ^m:

χ⁰(kk⁰) =χ(h)χ(h⁰)ζ^mζ^`+`0−m=χ(h)χ(h⁰)ζ^`+`0 =χ⁰(k)χ⁰(k⁰).

On a ainsi montr´e queχ⁰ est un caract`ere deKqui prolongeχ. On applique l’hypoth`ese de r´ecurrence pour conclure, comme indiqu´e au d´ebut de la preuve, qu’il existe un caract`ereχ<sup>00</sup> deGdont la restriction `aK estχ⁰, et donc dont la restriction `aH estχ.

1.2.3 Th´ eor` eme de Kronecker

Th´ eor` eme et d´ efinition. Soit G un groupe ab´ elien fini d’ordre n

≥

2. Il existe un unique entier r

≥

1 et des entiers d

₁

, . . . , d

_r≥

2 uniques, dont le produit vaut n, et qui v´ erifient :

(1) d

i

divise d

i+1

pour tout 1

≤

i

≤

r

−

1,

(2) G est isomorphe au produit direct de groupes cycliques C

_d1 ×

C

_d2× · · · ×

C

_dr

.

On dit que ces entiers d

₁

, d

₂

, . . . , d

_r

, qui caract´ erisent G ` a isomorphisme pr` es, forment la suite des facteurs invariants de G.

Preuve : On proc`ede par r´ecurrence sur l’ordre deG. Si Gest d’ordre 2, alors G 'C<sub>2</sub> et le r´esultat est ´evident. Consid´erons maintenant un groupeGd’ordren≥3 et supposons le th´eor`eme vrai pour tout groupe d’ordre strictement inf´erieur `a n.

D´esignons pard l’exposant deG. D’apr`es la proposition 1.2.1, il existe dansGun ´el´ement xd’ordre d. Le groupe cyclique H =hxi est isomorphe au sous-groupe Ud de C<sup>∗</sup>. Prenons un isomorphisme de groupes χ : H →Ud; c’est en particulier un caract`ere deH. D’apr`es le second lemme de 1.2.2, il existe un caract`ere χedeGprolongeantχ. Parce que d’apr`es la proposition 1.2.1 tout ´el´ement deGest d’ordre divisantd, le caract`ereχeest en fait `a valeurs dans Ud; il d´efinit donc un morphisme de groupes χe : G → Ud. Ceci permet d’introduire l’application :

φ : G → (G/H)×H g 7→ (g , χ⁻¹◦χ(g))e .

Il est clair queφest un morphisme de groupes. Soitg∈Kerφ. On ag=ec’est-`a-direg∈H, doncχ(g) =e χ(g), donc χ<sup>−1</sup>(χ(g)) =e g, d’o`u g=e. Ainsiφ est injectif. Les groupes finisG

et (G/H)×H ´etant de mˆeme ordre, cela suffit pour d´eduire queφest bijectif, et d´etermine donc un isomorphisme de groupes deGsur (G/H)×H.

Puisque|G/H|<|G|, l’hypoth`ese de r´ecurrence implique l’existence d’entiersd1, d2, . . . , d<sub>r−1</sub> sup´erieurs ou ´egaux `a 2 tels quedi divise di+1 etG/H'Cd₁×Cd₂× · · · ×Cdr−1. On pose de plusdr=d. CommeH 'Cd_r, il vient :

G'(G/H)×H 'Cd1×Cd2× · · · ×Cdr−1×Cdr.

Il est clair que, si l’on d´esigne paraun g´en´erateur du groupeCdr−1 et parei l’´el´ement neutre deCd_i pour tout 1≤i≤r, l’´el´ement (e1, e2, . . . , er−2, a, er) est d’ordredr−1. On a d´ej`a vu que l’ordre de tout ´el´ement deGdivise l’exposantdr, donc icidr−1 divisedr, ce qui ach`eve la preuve de l’existence de la d´ecomposition.

Pour l’unicit´e, supposons qu’il existe un isomorphisme de groupes θ de G sur un produit de groupes cycliques Cn₁ ×Cn₂ × · · · ×Cn_s avec s ≥ 1 et ni qui divise ni+1 pour tout 1≤i≤s−1. Pour tout 1≤i≤s, notonsai un g´en´erateur de Cni etei l’´el´ement neutre de C_ni. Il est clair que l’´el´ement (e₁, . . . , e_s−1, a_sest d’ordren_sdansK. De plusaⁿ_i^s =e_ipour tout 1≤i≤spuisque n_i divisen_s; il en r´esulte que tout ´el´ement deKest d’ordre inf´erieur ou ´egal `a n_s. En d’autres termesn_sest l’exposant deK. On en d´eduit via l’isomorphismeθ quen_s=d_r et donc :

C_d1×C_d2× · · · ×C_dr−1×C_dr 'C_n1×C_n2× · · · ×C_ns−1×C_dr, d’o`u il r´esulte par passage au quotient (voir point (iii) du lemme 1.1.4) que :

C_d1×C_d2× · · · ×C_dr−1 'C_n1×C_n2× · · · ×C_ns−1.

L’hypoth`ese de r´ecurrence permet alors de conclure ques−1 =r−1 et n<sub>i</sub>=d<sub>i</sub> pour tout 1≤i≤r−1, ce qui ach`eve la preuve.

Corollaire. Pour tout groupe ab´ elien fini G , le groupe dual G

b

est isomorphe ` a G.

Preuve.R´esulte imm´ediatement du th´eor`eme pr´ec´edent et du premier lemme de 1.2.2.

1.2.4 Facteurs invariants et diviseurs ´ el´ ementaires

I

En utilisant le th´ eor` eme ci-dessus et le th´ eor` eme des restes chinois, on d´ eduit par exemple qu’il existe ` a isomorphisme pr` es quatre groupes ab´ eliens d’ordre 36, qui sont :

C

36'

C

9×

C

4

, C

3×

C

12'

C

3×

C

3×

C

4

,

C

₂×

C

₁₈'

C

₂×

C

₂×

C

₉

, C

₆×

C

₆'

C

₃×

C

₃×

C

₂×

C

₂'

C

₆×

C

₃×

C

₂

, ou encore que tous les groupes ab´ eliens d’ordre

≤

12 sont, ` a isomorphisme pr` es, donn´ es par :

n= 1 C1

n= 2 C2

n= 3 C3

n= 4 C4 C2×C2

n= 5 C5

n= 6 C6'C2×C3

n= 7 C7

n= 8 C8 C2×C4 C2×C2×C2

n= 9 C9 C3×C3

n= 10 C10'C2×C5

n= 11 C11

n= 12 C12'C3×C4 C2×C6'C2×C2×C3

I

Plus g´ en´ eralement, si l’on consid` ere un groupe ab´ elien fini G donn´ e par sa d´ ecomposition suivant les facteurs invariants d

₁

, . . . , d

_r

, on peut d´ ecomposer chaque groupe cyclique C

_di

en produit de groupes cycliques dont l’ordre est une puissance d’un nombre premier. En notant d

i

=

Q

j

p

^α_j^i,j

la d´ ecomposition en facteurs premiers de d

_i

, les entiers d

_ij

= p

^α_j^i,j

s’appellent les

diviseurs

´

el´ementaires

de G. Le th´ eor` eme des restes chinois permet de passer de la d´ ecomposition suivant

les facteurs invariants ` a la d´ ecomposition suivant les diviseurs ´ el´ ementaires et r´ eciproquement.

Sans formaliser d’´ enonc´ e sur ce point, donnons quelques exemples.

Consid´ erons le groupe G = C

54×C₃₆₀

d’ordre 19440. On a C

54'

C

2×C₂₇

et C

360'

C

8×C₉×C₅

. La suite des diviseurs ´ el´ ementaires de G est 2, 2

³

, 3

²

, 3

³

, 5. On en d´ eduit les facteurs invariants d

₁

= 2

×

3

²×

5

⁰

= 18 qui divise d

₂

= 2

³×

3

³×

5 = 1080, d’o` u la d´ ecomposition G

'

C

₁₈×

C

₁₀₈₀

. Soit G un groupe ab´ elien d’ordre 360. On d´ eduit de 360 = 2

³×

3

²×

5 les diff´ erentes possibilit´ es pour les diviseurs ´ el´ ementaires et les facteurs invariants de G ; ` a isomorphisme pr´ es, six cas sont possibles :

C

₈×

C

₉×

C

₅'

C

₃₆₀

C

8×

C

3×

C

3×

C

5'

C

3×

C

120

C

2×

C

4×

C

9×

C

5'

C

2×

C

180

C

₂×

C

₄×

C

₃×

C

₃×

C

₅'

C

₆×

C

₆₀

C

₂×

C

₂×

C

₂×

C

₉×

C

₅'

C

₂×

C

₂×

C

₉₀

C

₂×

C

₂×

C

₂×

C

₃×

C

₃×

C

₅'

C

₂×

C

₆×

C

₃₀

Citons pour finir ` a titre d’exemple une autre application du th´ eor` eme de Kronecker, qui est la version simple (dans le cas des groupes ab´ eliens) d’un r´ esultat important de la th´ eorie des caract` eres pour les groupes finis quelconques.

1.2.5 Espace hermitien des fonctions complexes sur un groupe ab´ elien fini Soit G un groupe fini. On note

C^G

l’ensemble des applications de G dans

C

. C’est de fa¸con

´

evidente un espace vectoriel de dimension finie n =

|G|. Il est bien connu et facile de v´

erifier que

C^G

est muni d’un produit hermitien d´ efini par :

hϕ, ψi

=

_|G|¹ P

g∈G

ϕ(g)ψ(g), pour tous ϕ, ψ

∈C^G

. Proposition. Soit G un groupe fini. Avec les notations ci-dessus :

(i) le groupe dual G

b

est une famille orthonormale dans

C^G

;

(ii) si de plus G est ab´ elien, le groupe dual G

b

est une base orthonormale de

C^G

.

Preuve.Rappelons (voir 1.2.2) que, dans le groupeGb :

(l’´el´ement neutreχ0est le caract`ere constant ´egal `a 1, l’inverseχ⁻¹d’un caract`ereχ est ´egal au conjugu´eχ deχ.

Pour tous χ, χ⁰ ∈ G, on ab hχ, χ⁰i=hχ0, χχ⁰i=hχ0, χ⁻¹χ⁰i. Commehχ0, χ0i= 1, il suffit pour montrer (i) de v´erifier quehχ0, χi= 0 pour toutχ∈Gbdistinct deχ0.

Soit donc χun caract`ere de Gdistinct deχ0. Il existeh∈Gtel queχ(h)6= 1. On calcule : χ(h)hχ0, χi=χ(h)_|G|¹ P

g∈G

χ(g) =_|G|¹ P

g∈G

χ(h)χ(g) = _|G|¹ P

g∈G

χ(hg) = _|G|¹ P

g⁰∈G

χ(g⁰).

Doncχ(h)hχ0, χi=hχ0, χi, d’o`uhχ0, χi= 0, ce qui montre le r´esultat voulu.

Puisque la famille form´ee des ´el´ements deGb est orthonormale, elle est libre. Si l’on suppose de plus que Gest ab´elien, il r´esulte du corollaire 1.2.3 que le cardinal de cette famille est

´

egale `a|G|, qui n’est autre que la dimension deC^G, de sorteGb est une base deC^G.

Chapitre 2

Rappels et compl´ ements sur les groupes non ab´ eliens

2.1 Exemples de r´ ef´ erences

2.1.1 Groupes sym´ etriques

Proposition et d´ efinition. Pour tout entier n

≥

1, l’ensemble des bijections d’un ensemble fini ` a n ´ el´ ements sur lui-mˆ eme est un groupe fini d’ordre n! pour loi

◦. On l’appelle le

n-i` eme groupe sym´ etrique et on le note S

_n

. Les ´ el´ ements de S

_n

sont appel´ es les permutations sur n

´

el´ ements.

Preuve.Vue en L3 ; `a r´eviser.

Exemple. Pour n = 1, le groupe S

1

est le groupe trivial

{e}

d’ordre 1. Pour n = 2, le groupe S

2

est d’ordre 2, donc S

2

= C

2

=

{e, τ}

o` u e = (

^{1 2}_{1 2}

) et τ = (

^{1 2}_{2 1}

), qui v´ erifie bien τ

²

= e.

Exemple. Pour n = 3, le groupe S

₃

est d’ordre 6. On a : S

₃

=

{e, γ, γ²

, τ

₁

, τ

₂

, τ

₃}

avec : e = (

^{1 2 3}_{1 2 3}

) , γ = (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) , γ

²

= (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) , τ

₁

= (

^{1 2 3}_{1 3 2}

) , τ

₂

= (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) , τ

₃

= (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) .

e γ γ

²

τ

₁

τ

₂

τ

₃

e e γ γ

²

τ

₁

τ

₂

τ

₃

γ γ γ

²

e τ

₃

τ

₁

τ

₂

γ

²

γ

²

e γ τ

₂

τ

₃

τ

₁

τ

₁

τ

₁

τ

₂

τ

₃

e γ γ

²

τ

₂

τ

₂

τ

₃

τ

₁

γ

²

e γ τ

3

τ

3

τ

1

τ

2

γ γ

²

e

Le groupe S

3

n’est pas ab´ elien. C’est le plus petit groupe non ab´ elien (car les groupes d’ordre 2, 3 ou 5 sont ab´ eliens car cycliques d’apr` es le th´ eor` eme 1.1.3, et les deux seuls groupes d’ordre 4 sont ab´ eliens comme on l’a rappel´ e en 1.1.2.

Il admet trois sous-groupes d’ordre 2 qui sont

{e, τ₁},{e, τ₂}

et

{e, τ₃}, et un sous-groupe d’ordre 3 qui est {e, γ, γ²}.

D´ efinition. On appelle

transposition

de S

n

toute permutation τ qui ´ echange deux ´ el´ ements i et j en laissant fixe les n

−

2 autres. On note alors τ = [i, j]. On a de fa¸ con ´ evidente τ

²

= e.

Th´ eor` eme. Toute permutation de S

_n

est un produit de transpositions. En d’autres termes, le groupe S

n

est engendr´ e par ses transpositions.

Preuve.Vue en L3 ; `a r´eviser. On pourra proc´eder par r´ecurrence surn.

• Remarque. Il n’y a pas unicit´e de la d´ecomposition d’une permutation en produit de transpositions. Par exemple, dansS4, on a [2,4][1,4][4,2][1,3] = [2,3][1,2]. N´eanmoins, on a le lemme suivant.

Th´ eor` eme et d´ efinitions.

(i) Si une mˆ eme permutation σ de S

n

se d´ ecompose d’une part en un produit de m transpo- sitions, d’autre part en un produit de m

⁰

transpositions, alors les entiers naturels m et m

⁰

sont de mˆ eme parit´ e. On appelle signature de σ le nombre (−1)

^m

, o` u m d´ esigne le nombre de transpositions d’une d´ ecomposition quelconque de σ en produit de transpositions. On la note ε(σ).

(ii) L’application signature ε : S

n→ {−1,

1} est un morphisme de groupes.

(iii) L’ensemble des permutations de signature 1 (ie. qui se d´ ecomposent en un nombre pair de transpositions) est un sous-groupe de S

n

appel´ e groupe altern´ e, not´ e A

n

, d’ordre

^n!₂

.

Preuve.Vue dans le cours de L3. A r´eviser.

Exemple. Pour n = 2, on a A

₂

=

{e}. Pour

n = 3, on a A

₃

=

{e, γ, γ²}

avec γ = (

^{1 2 3}_{2 3 1}

).

Exemple. Pour n = 4, le groupe altern´ e A

₄

est d’ordre 12.

Le groupe A

4

contient les trois produits de deux transpositions disjointes :

a = [1, 2][3, 4] = (

^{1 2 3 4}_{2 1 4 3}

), b = [1, 3][2, 4] = (

^{1 2 3 4}_{3 4 1 2}

), c = [1, 4][2, 3] = (

^{1 2 3 4}_{4 3 2 1}

).

Il contient aussi les huit permutations qui permutent circulairement trois ´ el´ ements i, j, k en fixant le quatri` eme, et qui sont donc de la forme [i, k][i, j]. De tels ´ el´ ements sont appel´ es des 3-cycles.

x

1

= (

^{1 2 3 4}_{1 3 4 2}

), y

1

= (

^{1 2 3 4}_{1 4 2 3}

) = x

²₁

, x

2

= (

^{1 2 3 4}_{3 2 4 1}

), y

2

= (

^{1 2 3 4}_{4 2 1 3}

) = x

²₂

, x

3

= (

^{1 2 3 4}_{2 4 3 1}

), y

3

= (

^{1 2 3 4}_{4 1 3 2}

) = x

²₃

, x

4

= (

^{1 2 3 4}_{2 3 1 4}

), y

4

= (

^{1 2 3 4}_{3 1 2 4}

) = x

²₄

. e a b c x

₁

y

₁

x

₂

y

₂

x

₃

y

₃

x

₄

y

₄

e e a b c x

₁

y

₁

x

₂

y

₂

x

₃

y

₃

x

₄

y

₄

a a e c b x

₃

x

₄

y

₃

y

₄

x

₁

x

₂

y

₁

y

₂

b b c e a y

₄

x

₂

y

₁

x

₃

y

₂

x

₄

y

₃

x

₁

c c b a e y

2

y

3

x

4

x

1

y

4

y

1

x

2

x

3

x

1

x

1

y

4

y

2

x

3

y

1

e c x

4

x

2

a b y

3

y

1

y

1

y

3

x

4

x

2

e x

1

x

3

b c y

4

y

2

a x

2

x

2

x

4

y

3

y

1

b y

4

y

2

e a x

1

x

3

c y

2

y

2

x

3

x

1

y

4

y

3

c e x

2

x

4

b a y

1

x

3

x

3

y

2

y

4

x

1

x

4

a b y

1

y

3

e c x

2

y

₃

y

₃

y

₁

x

₂

x

₄

c y

₂

y

₄

a e x

₃

x

₁

b x

₄

x

₄

x

₂

y

₁

y

₃

a x

₃

x

₁

c b y

₂

y

₄

e y

₄

y

₄

x

₁

x

₃

y

₂

x

₂

b a y

₃

y

₁

c e x

₄

Les trois ´ el´ ements a, b, c sont d’ordre 2, et le sous-groupe V =

{e, a, b, c}

de A

4

est le groupe de Klein.

Les huit 3-cycles x

_i

, y

_i

pour 1

≤

i

≤

4 sont d’ordre 3. On obtient donc quatre sous-groupes cycliques G

_i

=

{e, x_i

, y

i}, pour 1≤

i

≤

4.

On observe au passage que, bien que 4 et 6 soient des diviseurs de

|A₄|

= 12, le groupe A

₄

ne contient pas d’´ el´ ement d’ordre 4 ni 6, puisqu’il est form´ e de huit ´ el´ ements d’ordre 3, trois

´

el´ ements d’ordre 2, et du neutre e d’ordre 1.

On montrera plus loin que, non seulement A

₄

n’admet pas d’´ el´ ement d’ordre 6, mais qu’il n’admet

en fait pas de sous-groupe d’ordre 6 ; en revanche, A

₄

admet le sous-groupe V d’ordre 4 bien

qu’il n’admette pas d’´ el´ ement d’ordre 4.

2.1.2 Groupes di´ edraux

Exemple. Soit

D6

le sous-groupe des isom´ etries du plan affine euclidien conservant un triangle

´

equilat´ eral (ABC ).

On montre ais´ ement que

D6

est form´ e de l’identit´ e e, de la rotation r de centre l’isobarycentre O de (ABC) et d’angle 2π/3, de la rotation r

²

de centre O et d’angle 4π/3, et des r´ eflexions s

1

, s

2

, s

3

par rapport aux trois m´ edianes (ou hau- teurs) du triangle (faire un dessin !).

Il est clair que

D6

est isomorphe au groupe sym´ etrique S

₃

.

e r r

²

s

1

s

2

s

3

e e r r

²

s

1

s

2

s

3

r r r

²

e s

3

s

1

s

2

r

²

r

²

e r s

2

s

3

s

1

s

₁

s

₁

s

₂

s

₃

e r r

²

s

₂

s

₂

s

₃

s

₁

r

²

e r s

₃

s

₃

s

₁

s

₂

r r

²

e Exemple. Soit

D8

le sous-groupe des isom´ etries du plan affine euclidien conservant un carr´ e (ABCD).

On montre que

D8

est form´ e de l’identit´ e e, de la rotation r de centre le centre O du carr´ e et d’angle π/2, de la sym´ etrie centrale r

²

de centre O, de la rotation r

³

de centre O et d’angle 3π/2, des r´ eflexions s

₁

, s

₂

par rapport aux deux m´ edianes du carr´ e, et des r´ eflexions t

1

, t

2

par rapport aux deux diagonales (faire un dessin).

On a t

₁

= rs

₁

, s

₂

= r

²

s

₁

, t

₂

= r

³

s

₁

, donc

D8

est engendr´ e par les deux ´ el´ ements r et s

1

.

e r r

²

r

³

s

1

s

2

t

1

t

2

e e r r

²

r

³

s

1

s

2

t

1

t

2

r r r

²

r

³

e t

1

t

2

s

2

s

1

r

²

r

²

r

³

e r s

2

s

1

t

2

t

1

r

³

r

³

e r r

²

t

2

t

1

s

1

s

2

s

1

s

1

t

2

s

2

t

1

e r

²

r

³

r s

₂

s

₂

t

₁

s

₁

t

₂

r

²

e r r

³

t

₁

t

₁

s

₁

t

₂

s

₂

r r

³

e r

²

t

₂

t

₂

s

₂

t

₁

s

₁

r

³

r r

²

e D´ efinition. Pour tout entier n

≥

2, on appelle groupe di´ edral d’ordre 2n, not´ e

D2n

, le sous- groupe des isom´ etries affines conservant un polygone r´ egulier ` a n cˆ ot´ es.

On montre en g´ eom´ etrie que

D2n

est form´ e de 2n ´ el´ ements distincts :

D2n

=

{e, r, r²

, r

³

, . . . , r

ⁿ⁻¹

, s, sr, sr

²

, sr

³

, . . . , sr

ⁿ⁻¹},

engendr´ e par deux ´ el´ ements r et s v´ erifiant les relations :

r

ⁿ

= e, s

²

= e, sr

^k

= r

^n−k

s pour tout 1

≤

k

≤

n.

Convention. Dans le cas n = 2,

D4

est le groupe des isom´ etries conservant un segment ; il est clair que

D4

est isomorphe au groupe de Klein V .

2.1.3 Exemple de groupe quaternionique Exemple. Le sous-ensemble Q

8

de GL

2

(

C

) form´ e des huit matrices :

e = (

^{1 0}_{0 1}

),

−e

=

^{−1 0}_{0 −1}

, j =

₀ⁱ_−i⁰

,

−j

=

⁻ⁱ₀ ⁰_i

, k =

_{−1 0}^{0 1}

,

−k

=

⁰_{1 0}⁻¹

,

` =

⁰_{i 0}ⁱ

,

−`

=

_−i^{0 −i}₀

.

est un groupe, d’ordre 8, non ab´ elien, appel´ e

groupe des quaternions.

e −e j −j k −k ` −`

e e −e j −j k −k ` −`

−e −e e −j j −k k −` `

j j −j −e e ` −` −k k

−j −j j e −e −` ` k −k

k k −k −` ` −e e j −j

−k −k k ` −` e −e −j j

` ` −` k −k −j j −e e

−` −` ` −k k j −j e −e

Le groupe Q

₈

n’est pas isomorphe ` a

D8

; en effet Q

₈

ne contient qu’un ´ el´ ement d’ordre 2, alors

que

D8

en contient cinq.