Suites de Jordan-H¨ older et groupes r´ esolubles

6.2.1 Notion de suite de Jordan-H¨ older

D´ efinition. Soient G un groupe, et (Σ) une suite de composition de G strictement d´ ecroissante : G = G

0

. G

1

. G

2

.

· · ·

. G

n

=

{e}.

On dit que (Σ) admet un

raffinement propre

lorsqu’il existe 1

≤

i

≤

n

−

1 et un sous-groupe K tel que G

i+1

/ K / G

i

avec G

i+1 6=

K

6=

G

i

.

Remarque.CommeGi+1

/

Gi, tout sous-groupeK tel queGi+1⊂K⊂Gi v´erifieGi+1

/

K.

En cons´equence, dire que (Σ) n’admet pas de raffinement propre signifie que, quel que soit 1 ≤ i ≤ n−1, on ne peut pas trouver de sous-groupe K tel que Gi+1 ⊂ K

/

Gi avec Gi+16=K6=Gi, c’est-`a-dire queGi+1 est normal maximal dansGi.

Lemme. Soient G un groupe, et (Σ) une suite de composition de G strictement d´ ecroissante : G = G

0

. G

1

. G

2

.

· · ·

. G

n

=

{e}.

Les assertions suivantes sont ´ equivalentes : (i) (Σ) est sans raffinement propre ;

(ii) G

_i+1

est normal maximal dans G

_i

, pour tout 0

≤

i

≤

n

−

1 ; (iii) G

i

/G

i+1

est un groupe simple, pour tout 0

≤

i

≤

n

−

1.

Preuve. L’´equivalence de (i) et (ii) r´esulte de la remarque pr´ec´edente. Pour (iii), rappelons d’abord que tout sous-groupe normal H de G_i/G_i+1 est de la forme H =K/G_i+1 avecK un sous-groupe normal deGi contenantGi+1. D`es lors :

(Gi/Gi+1 simple) ⇔ Gi/Gi+16={e}et, siH

/

Gi/Gi+1, alorsH ={e} ouH =Gi/Gi+1

⇔ Gi6=Gi+1et, siGi+1⊆K

/

Gi, alorsK=Gi+1 ouK=Gi, d’o`u l’´equivalence de (ii) et (iii).

D´ efinition. Une suite de composition satisfaisant l’une des conditions ´ equivalentes du lemme ci-dessus s’appelle une

suite de Jordan-H¨older

de G.

6.2.2 Exemples de suites de Jordan-H¨ older.

Exemple 1. La suite S

₅

. A

₅

.

{e}

est de Jordan-H¨ older car S

₅

/A

₅ '

C

₂

qui est simple, et A

₅

/{e} ' A

₅

qui est simple.

Exemple 2. La suite S

₄

. A

₄

.

{e}

n’est pas de Jordan-H¨ older car A

₄

/{e} ' A

₄

n’est pas simple.

- Elle admet le raffinement propre S

₄

. A

₄

. V .

{e}, qui n’est pas de Jordan-H¨

older car V /{e} ' V n’est pas simple.

- Elle admet le raffinement propre S

4

. A

4

. V . H .

{e}, qui est de Jordan-H¨

older car tous les quotients S

₄

/A

₄ '

C

₂

, A

₄

/V

'

C

₃

, V /H

'

C

₂

et H/{e} ' C

₂

sont simples. On ne peut pas raffiner davantage.

Exemple 3 . Consid´ erons le groupe cyclique C

24

=

{e, a, a²

, . . . , a

²³}

d’ordre 24. Ses sous-groupes sont :

C

8

=

ha³i^oo

C

4

=

ha⁶i^oo

C

2

=

ha¹²_ee i

C

24

=

hai^ww_gg {e}

C

₁₂

=

ha²i^oo

C

₆

=

ha⁴i^oo

C

₃

=

ha⁸i

yy

On obtient quatre suites de Jordan-H¨ older :

C

24

. C

12

. C

6

. C

3

.

{e},

C

24

. C

8

. C

4

. C

2

.

{e},

C

₂₄

. C

₁₂

. C

₄

. C

₂

.

{e},

C

₂₄

. C

₁₂

. C

₆

. C

₂

.

{e}.

Exemple 4. Le groupe additif

Z

n’admet aucune suite de Jordan-H¨ older.

En effet, consid´erons une suite de compositionG0 =Z

.

G1

.

· · ·

.

Gn−1

.

Gn ={0}

strictement d´ecroissante. Rappelons que tout sous-groupe de Z est de la forme kZ avec k∈N. Il existe donc icik∈N^∗ tels queGn−1=kZ

.

Gn ={0}. Soit alors le sous-groupe H = 2kZ deZ. C’est un sous-groupe deG_n−1 =kZ, distinct dekZet de{0}, de sorte que la suite de compositionG₀=Z

.

G₁

.

· · ·

.

G_n−1

.

H

.

G_n ={0} est un raffinement propre de la suite (quelconque) donn´ee au d´epart. Cette derni`ere n’est donc pas une suite de Jordan-H¨older.

Proposition 1. Tout groupe fini non-trivial admet au moins une suite de Jordan-H¨ older.

Preuve. Si Gest simple, alors G=G0

.

G1 ={e} est une suite de Jordan-H¨older (et c’est la seule suite de composition strictement d´ecroissante). On suppose donc maintenant queG n’est pas simple. L’ensembleH des sous-groupes normaux dansGdistincts deGet{e}est alors non-vide. Il est fini (puisqueGest fini). Il admet donc (au moins) un ´el´ement maximal H₁. Ce sous-groupeH₁´etant normal maximal dansG, il r´esulte du lemme 6.2.1 queG/H₁est simple. SiH₁est simple, c’est fini carG

.

H₁

.

{e}est alors une suite de Jordan-H¨older. Sinon, l’ensemble H1 des sous-groupes normaux dans H₁ distincts deH₁ et {e} est fini non-vide, donc admet (au moins) un ´el´ement maximalH2, et il r´esulte du lemme 6.2.1 queH1/H2est simple. SiH2est simple, c’est fini carG

.

H1

.

H2

.

{e}est alors une suite de Jordan-H¨older.

Sinon, on r´eit`ere. CommeGn’a qu’un nombre fini de sous-groupes, le processus s’arrˆete : il existe un rangk `a partir duquel on obtient n´ecessairement un sous-groupe Hk simple, et la suite strictement d´ecroissanteG

.

H1

.

H2

.

· · ·

.

Hk

.

{e} est alors de Jordan-H¨older.

Proposition 2. Un groupe ab´ elien admet au moins une suite de Jordan-H¨ older si et seulement s’il est fini non trivial.

Preuve.Un sens est clair d’apr`es la proposition pr´ec´edente. Pour la r´eciproque, donnons-nous un groupe ab´elienG admettant une suite de Jordan-H¨older G=G₀

.

G₁

.

· · ·

.

G_n ={e}.

Pour tout 0≤i≤n−1, le groupeG_i/G_i+1 est simple (par d´efinition d’une suite de Jordan-H¨older) et ab´elien (carGl’est), et donc (d’apr`es la proposition 5 du 4.2.2) cyclique d’ordre premier. Notonsp_i+1=|G_i/G_i+1|= [G_i:G_i+1].

D’apr`es la formule des indices (voir 2.2.6), les ´egalit´es [G : G1] = p1 et [G1 : G2] = p2

impliquent queG2est d’indice fini dansG, et [G:G2] = [G:G1][G1:G2] =p1p2. De mˆeme, [G:G2] =p1p2 et [G2:G3] =p3impliquent [G:G3] =p1p2p3. En it´erant, on obtient ainsi [G:Gn] =p1p2· · ·pn, ce qui, commeGn={e}, montre queGest fini d’ordrep1p2· · ·pn.

6.2.3 Caract´ erisation de la r´ esolubilit´ e d’un groupe fini par les suites de Jordan-H¨ older.

On a d´efini la notion de groupe r´esoluble par le caract`ere stationnaire de la suite des groupes d´eriv´es. Nous avons donn´e au th´eor`eme 6.1.3 une d´efinition ´equivalente en termes de suite de composition ou en terme de suites normales. Le th´eor`eme suivant donne une autre d´efinition

´

equivalente, dans le cas des groupes finis, en termes cette fois de suites de Jordan-H¨older.

Th´ eor` eme. Soit G un groupe fini non trivial. Le groupe G est r´ esoluble si et seulement s’il existe une suite de Jordan-H¨ older de G dont tous les quotients sont (cycliques) d’ordre premier.

Preuve.Supposons qu’il existe une suite de Jordan-H¨older deGdont tous les quotients sont d’ordre premier. Chaque quotient est alors cyclique, donc ab´elien, de sorte que la r´esolubilit´e deGd´ecoule directement du th´eor`eme 6.1.3. R´eciproquement, supposons queGest r´esoluble.

Comme G est suppos´e fini, il r´esulte de la proposition 1 de 6.2.2 qu’il existe une suite de

Jordan-H¨older G = G0

.

G1

.

· · ·

.

Gn = {e}. Donc, pour tout 0 ≤i ≤n−1, le quotient Gi/Gi+1 est simple. PuisqueGest r´esoluble, il en est de mˆeme de chaque sous-groupeGiet de chaque quotientGi/Gi+1, par application de la proposition 6.1.2. Ainsi, tous les quotients G_i/G_i+1 sont simples et r´esolubles, donc cycliques d’ordre premier d’apr`es la proposition 2 de 6.1.4

6.2.4 A propos du th´ eor` eme de Jordan-H¨ older.

D´ efinition. Deux suites de composition G = G

₀

. G

₁

.

· · ·

. G

_n

=

{e}

et G = K

₀

. K

₁

.

· · ·

. K

_p

=

{e}

d’un groupe G sont dites

´equivalentes

lorsque n = p et qu’il existe une permutation σ

∈

S

_n

telle que G

i

/G

i+1'

K

_σ(i)

/K

_σ(i)+1

pour tout 0

≤

i

≤

n

−

1.

Exemple. Reprenons l’exemple 3 de 6.2.2. Les quatre suites de Jordan-H¨older de C24 sont

´

equivalentes, car les quotients correspondants sont respectivement isomorphes `a :

suites quotients

C₂₄

.

C₁₂

.

C₆

.

C₃

.

{e} C₂, C₂, C₂, C₃ C₂₄

.

C₈

.

C₄

.

C₂

.

{e} C₃, C₂, C₂, C₂ C24

.

C12

.

C4

.

C2

.

{e} C2, C3, C2, C2

C24

.

C12

.

C6

.

C2

.

{e} C2, C2, C3, C2

Cette propri´et´e est un cas d’application du th´eor`eme g´en´eral suivant (que nous citons pour m´emoire, mais ne d´emontrerons pas ici).

Th´ eor` eme (dit de Jordan-H¨ older). Si G est un groupe admettant une suite de Jordan-H¨ older (en particulier si G est un groupe fini), alors toutes les suites de Jordan-H¨ older de G sont

´

equivalentes.

Preuve.Voir ouvrage de r´ef´erence.

En particulier, toutes les suites de Jordan-H¨ older d’un groupe G admettant des suites de Jordan-H¨ older sont de mˆ eme longueur. On appelle cette longueur commune la longueur de G.

Par exemple, il r´ esulte de l’exemple pr´ ec´ edent que C

₂₄

est de longueur 4.

En reprenant la preuve du th´ eor` eme de 6.1.4, on v´ erifie ais´ ement que tout groupe d’ordre p

ⁿ

(avec p premier et n

≥

1) est de longueur n.

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